高階性、挑戰(zhàn)度目標(biāo)下的矩陣運算的課堂教學(xué)

柏靈

【摘要】課堂教學(xué)的重要性不言自明.在現(xiàn)代信息化學(xué)習(xí)平臺輔助下，學(xué)生能提前完成獨自勝任的預(yù)學(xué)內(nèi)容，課堂上，教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋創(chuàng)建問題情境引入概念、原理和抽象內(nèi)容講解，學(xué)生將自己的自學(xué)體驗和老師的引導(dǎo)講授結(jié)合在一起，共同有效完成課堂教學(xué)的高階性、挑戰(zhàn)度目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】線性方程組;矩陣運算;向量;矩陣乘法;幾何意義

【基金項目】吉林大學(xué)本科教學(xué)教改項目（2019XZD024）：公共數(shù)學(xué)課的課前引學(xué)內(nèi)容設(shè)計與實踐

疫情期間的全國范圍“停課不停學(xué)”的實踐在保證教學(xué)基本目標(biāo)完成的同時，讓教師不斷反思如何在現(xiàn)有的條件下，使教學(xué)過程實現(xiàn)線上和線下教育的有效融合.

而后的順利開學(xué)更讓教師和學(xué)生都認(rèn)識到線下課堂教學(xué)獨特的不可替代性.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，在有限的時間內(nèi)，教師幾乎都是一味采用灌輸?shù)淖龇?，遇到概念和定理更是一筆帶過，很少花精力去分析和引導(dǎo).但在信息現(xiàn)代化教學(xué)平臺的輔助下，教師完全可以合理優(yōu)化分配教學(xué)時間和內(nèi)容.例如，教師可以通過學(xué)習(xí)平臺發(fā)布自己制作的預(yù)學(xué)課件或網(wǎng)上教學(xué)資源，向?qū)W生推送課程預(yù)習(xí)任務(wù)和問題，使學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容有一個初步整體的認(rèn)識; 教師可以設(shè)計課前、課中、課后學(xué)習(xí)任務(wù)測試等靈活的考核內(nèi)容來考察學(xué)生自主學(xué)習(xí)的效果.課堂上，教師只講解概念定理的產(chǎn)生背景和涉及重難點需要深入理解的內(nèi)容，對抽象理論的闡述按照認(rèn)知規(guī)律，由淺入深，從具體到抽象，由形象直觀到理性的思維模式遞進(jìn)，這樣既沒有過度增加學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知負(fù)擔(dān)，又倒逼學(xué)生自主預(yù)學(xué)掌握能力范圍的新內(nèi)容，以期到后續(xù)階段達(dá)到完成深度學(xué)習(xí)的效果.

線性代數(shù)是一門大學(xué)公共基礎(chǔ)課的必修通識課程，一般都是在大學(xué)第一年進(jìn)行講授，課時少而內(nèi)容繁.剛從高考刷題模式訓(xùn)練脫離的學(xué)生面對這門抽象性和邏輯性難度大幅提升的課程，經(jīng)常是無所適從，且這類基礎(chǔ)課基本都采用大班授課制，很多課堂學(xué)生人數(shù)超過150人，甚至有200多人的規(guī)模，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力明顯參差有別.這些短期內(nèi)不能改善的現(xiàn)狀極大增加了大學(xué)數(shù)學(xué)課程高階性目標(biāo)實現(xiàn)的難度，對教師課堂教學(xué)質(zhì)量的提高提出了嚴(yán)峻的考驗.

課堂教學(xué)的有效性和高階性如何實現(xiàn)？下面以大學(xué)數(shù)學(xué)公共課——線性代數(shù)的矩陣運算版塊學(xué)習(xí)為例提出幾點建議.

教學(xué)過程分為兩個階段：

一、課前準(zhǔn)備內(nèi)容

1.學(xué)生自行搜索矩陣的發(fā)展歷史，對矩陣的整個發(fā)展過程能做簡單總結(jié)，了解具有代表性人物的貢獻(xiàn).結(jié)合教材的例子，通過具體實例，體會如何用“矩陣”來描述一些生活現(xiàn)象等.

2.學(xué)生了解高等數(shù)學(xué)中的空間解析幾何的基本內(nèi)容：笛卡兒坐標(biāo)系，三維向量的坐標(biāo)，單位向量的坐標(biāo)表示，向量的加法和數(shù)乘運算及幾何意義，向量的數(shù)量積.

3.學(xué)生觀看學(xué)習(xí)通相應(yīng)課節(jié)視頻，學(xué)會矩陣的基本運算，會算例題.

4.教師布置思考題：矩陣乘法為什么不是直覺上的同型矩陣對應(yīng)元素做數(shù)的乘法？

從形式上看，矩陣的加法和數(shù)乘運算與數(shù)和向量的運算相一致，學(xué)生很容易接受.但是，學(xué)生對矩陣的乘法出現(xiàn)的運算規(guī)則幾乎是不明所以的，只會照搬法則簡單計算.因此，教師課堂上的講解就集中在對矩陣乘法法則的理解上，明確這個法則的定義淵源和深層意義.

二、以線性方程組的矩陣表示做引例展開

根據(jù)學(xué)生的自主預(yù)學(xué)，課堂前期可以適當(dāng)設(shè)計測試題檢測，然后課堂上引出思考問題并討論（進(jìn)階學(xué)習(xí)階段）：

1.矩陣的乘法運算可以不是同型矩陣相乘，但是為什么必須滿足左乘矩陣的列的個數(shù)和右乘矩陣的行的數(shù)必須相等呢？

2.注意兩個情形： A矩陣和向量相乘與同維度的行列向量相乘的區(qū)別.

3.課前思考題的解答過程作為重點內(nèi)容強調(diào).

用每一個學(xué)生都熟悉的線性方程組作為引例.

對乘加法則其實體現(xiàn)了A陣行向量和B 陣列向量的數(shù)乘關(guān)系.這樣的表示形式也說明矩陣相乘未必滿足交換律.矩陣的相乘未必是同型矩陣，只要求左乘矩陣的列和右乘矩陣的行數(shù)相同.這和同型矩陣的加法運算極大地不同，原因就在于運算規(guī)則的應(yīng)用背景不同.

三、總 結(jié)

矩陣的乘法是矩陣代數(shù)運算的核心，課堂上具體展示方程組用矩陣和向量相乘的例子，并在形式上復(fù)合表示多個方程組，使學(xué)生充分理解矩陣的乘法運算法則的原理，對初學(xué)者而言必是矩陣運算內(nèi)容的高階性要求.這個運算法則和矩陣的加法和數(shù)乘運算不一樣，不是簡單的矩陣對應(yīng)元素的數(shù)相乘，其中既有向量的數(shù)乘又有向量的加法運算，正所謂線性運算的組合，體現(xiàn)了“線性”關(guān)系.

在展開課堂教學(xué)之前，學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容必須有一定的自主學(xué)習(xí)體驗，學(xué)會了力所能及的內(nèi)容.學(xué)生提前預(yù)學(xué)的配合，可以糾正學(xué)生高中一味刷題做題模型化的習(xí)慣，也使學(xué)生正視大學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容概念理論系統(tǒng)化，倒逼學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)和主動思考的意識.教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果通過測試反饋有了一定的掌握和了解，對后續(xù)學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生的問題提前有了準(zhǔn)備.這樣的課堂教學(xué)才給質(zhì)量的提升提供了前提保障.有了這樣的實踐和反思才可能會有數(shù)學(xué)課堂上的創(chuàng)新、高階和課程難點.

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