新舊人教A版“復(fù)數(shù)”比較分析

夏靜 高明

【摘要】隨著新人教A版的頒布和逐步使用，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的要求逐步施行的過程中，一線教師需要對新教材進行深入理解.教材對比分析有助于教師對新教材的理解.從知識點的角度對比分析“復(fù)數(shù)”部分內(nèi)容，在內(nèi)容上增加了對復(fù)數(shù)幾何意義的考查，增加了對復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解方程問題，突出了復(fù)數(shù)的價值.復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生、復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的三角表示是進行數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史滲透的一線材料.

【關(guān)鍵詞】教材對比;復(fù)數(shù)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》進一步明確了普通高中教育的定位，優(yōu)化了課程結(jié)構(gòu)，更新了教學(xué)內(nèi)容，研制了學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對課程內(nèi)容進行了調(diào)整：算法初步、線性規(guī)劃、生活中的優(yōu)化問題舉例、幾何概型等內(nèi)容被刪除;增加了復(fù)數(shù)的三角表示、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容.相關(guān)內(nèi)容的排布和位置也有一定的變化.面對新的教材，面對教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求的變化，對新舊人教A版教材內(nèi)容的比較分析有助于一線教師對課程標(biāo)準(zhǔn)的理解及對課堂教學(xué)的把握.

數(shù)系的擴充體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，是人類社會的結(jié)晶，同時體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求.對復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生整體把握數(shù)系的擴充過程，有利于學(xué)生體會社會生產(chǎn)生活實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾與統(tǒng)一，有利于學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.對新舊人教A版“復(fù)數(shù)”部分進行比較分析，以期幫助一線教師更好了解新教材并適應(yīng)新教材.

新舊人教A版“復(fù)數(shù)”章節(jié)：

舊人教A版

選修2-2（理） 選修1-2（文） 第三章

3.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念

3.1.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念

3.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義

3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算

3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義

3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除運算

新人教A版

必修第二冊 第七章

7.1 復(fù)數(shù)的概念

7.1.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念

7.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義

7.2 復(fù)數(shù)的四則運算

7.2.1 復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義

7.2.2 復(fù)數(shù)的乘、除運算

7.3 復(fù)數(shù)的三角表示（選學(xué)）

7.3.1 復(fù)數(shù)的三角表示式

7.3.2 復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義

一、位置比較

數(shù)學(xué)知識具有內(nèi)在的邏輯關(guān)系，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)順序影響著學(xué)生的學(xué)習(xí).因此，教學(xué)順序必須遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.比如，在初中階段學(xué)習(xí)“對應(yīng)說”觀點下的函數(shù)概念，是建立在集合的知識下，采用自然語言進行描述.進入高中后引入了“變量說”的函數(shù)概念，是在集合和映射的知識前提下，對函數(shù)概念的進一步認(rèn)識.

新人教A版教材中復(fù)數(shù)的位置與舊人教A版教材相比有了一定的調(diào)整.內(nèi)容順序排布上考慮到數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯，復(fù)數(shù)的幾何意義需要用到向量知識，新教材將“復(fù)數(shù)”放置“平面向量及其運用”之后，更加凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系.比如，利用復(fù)數(shù)求解兩點的距離，一方面，體現(xiàn)了復(fù)數(shù)解決問題的價值;另一方面，與后續(xù)知識點“兩點間的距離公式”產(chǎn)生聯(lián)系.

二、內(nèi)容比較

新舊人教A版“復(fù)數(shù)”知識點比較如下表：

新舊教材關(guān)于必學(xué)部分的復(fù)數(shù)內(nèi)容都安排了4個課時，兩套教材對于教學(xué)內(nèi)容、內(nèi)容的組織順序、習(xí)題、拓展等方面有不同的編排.兩個版本含有的知識點基本一致，新人教A版增加了“復(fù)數(shù)的三角表示”作為選學(xué)部分.知識點雖然都基本相同，但其敘述的方式有一定的差異.

1.復(fù)數(shù)的引入

新人教A版教材中明確提出，一元二次方程無解的實質(zhì)是判別式小于零.從一般形式的一元二次方程無解的問題中提煉出x2+a=0（a>0）無解，再歸結(jié)到x2+1=0無解.體現(xiàn)了一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，彰顯一元二次方程無解的本質(zhì).

2.共軛復(fù)數(shù)

兩個版本的教材都提出了共軛復(fù)數(shù)，但出現(xiàn)的位置不同.新人教A版中共軛復(fù)數(shù)出現(xiàn)在“復(fù)數(shù)的幾何意義”部分，舊人教A版出現(xiàn)在“復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算”部分.兩個版本都是從例題中總結(jié)得出共軛復(fù)數(shù)的概念，并提出共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點的關(guān)系的思考題.舊人教A版在此基礎(chǔ)上進一步提出共軛復(fù)數(shù)相乘的結(jié)果是怎樣一個數(shù)的問題，新人教A版則在“復(fù)數(shù)的乘、除運算”部分以“旁白”的形式提出兩共軛復(fù)數(shù)相乘的問題.

3.復(fù)數(shù)的模

新人教A版教材在正文部分提出了復(fù)數(shù)的模長公式，并在例題和習(xí)題中加以練習(xí).舊人教A版教材只在“旁白”資料卡片中提出復(fù)數(shù)的模長公式，沒有相關(guān)例題和習(xí)題.

4.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

新人教A版教材將復(fù)數(shù)定義為“形如a+bi的數(shù)”，沒有提出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，在選學(xué)內(nèi)容“復(fù)數(shù)的三角形式”中提出了a+bi是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.舊人教A版教材明確提出z=a+bi叫作復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

5.復(fù)數(shù)的三角形式

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算就是相應(yīng)平面向量的加減運算;復(fù)數(shù)乘除運算的幾何意義是借助復(fù)數(shù)三角形式的探究而得到的平面向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮變化.新人教A版教材將復(fù)數(shù)的三角形式作為選學(xué)部分，不做考試的要求，為學(xué)有余力的學(xué)生提供了知識拓展的途徑，也希望“不做考試要求”的選學(xué)部分能在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的道路上發(fā)揮一定的作用.

三、例題、習(xí)題比較

舊人教A版教材將習(xí)題分為A，B兩個部分，習(xí)題難度具有梯度.新人教A版將習(xí)題分為復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用、拓廣探索三個部分，大部分的練習(xí)還是沿用舊人教A版教材的練習(xí)內(nèi)容，題目的順序做了一定的調(diào)整，結(jié)合教材內(nèi)容增加了部分題目對應(yīng)的練習(xí).

1.復(fù)數(shù)模長的新增

“復(fù)數(shù)的幾何意義”部分增加了有關(guān)復(fù)數(shù)模長的例題和習(xí)題.題1-3：“復(fù)數(shù)的加、減運算”中增加利用復(fù)數(shù)減法運算和復(fù)數(shù)模長求兩點之間的距離.題4：新人教A版教材復(fù)數(shù)在兩點間的距離公式之前學(xué)習(xí)，舊人教A版教材復(fù)數(shù)在兩點間的距離公式之后學(xué)習(xí).

題1（例2，新人教A版教材第71頁）：設(shè)復(fù)數(shù)z1=4+3i，z2=4-3i.

（1）在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點和向量;

（2）求復(fù)數(shù)z1，z2的模，并比較它們的模的大小.

題2（例3，新人教A版教材第72頁）：設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點為Z，那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

（1）|z|=1;

（2）1<|z|<2.

題3（練習(xí)，新人教A版教材第73頁）：已知復(fù)數(shù)2+i，-2+4i，-2i，4，32-4i，

（1）在復(fù)平面內(nèi)畫出這些復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量;

（2）求這些復(fù)數(shù)的模.

題4（例2，新人教A版教材第77頁）：根據(jù)復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）之間的距離.

2.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程題型的新增

與舊人教A版教材相比，新人教A版教材在“復(fù)數(shù)的乘、除運算”部分增加復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的例題，并在練習(xí)和習(xí)題部分均有相關(guān)練習(xí).題5：復(fù)數(shù)的擴充和引入是為了解決一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解的問題，新人教A版教材增加了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的例題和習(xí)題，與復(fù)數(shù)的擴充與引入部分相呼應(yīng).

題5（例6，新人教A版教材第79頁）：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：

（1）x2+2=0;

（2）ax2+bx+c=0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ=b2-4ac<0.

四、知識拓展閱讀

1.復(fù)數(shù)的擴充和引入的歷史背景

自然數(shù)來源于對數(shù)量的刻畫，分?jǐn)?shù)源于對平均分的刻畫，無理數(shù)源于對長度的刻畫，而復(fù)數(shù)在實際生活中找不到實際的背景.因此，在復(fù)數(shù)教學(xué)中，教師首先必須向?qū)W生闡述清楚“為什么要引入復(fù)數(shù)”.復(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史并不是教材中介紹的（因為一元二次方程在實數(shù)集中無解，所以要對數(shù)集進行擴充），而是在解一元三次方程問題時出現(xiàn)了認(rèn)識上的矛盾，利用“卡當(dāng)公式”討論和為10，乘積為40的兩數(shù)問題時，出現(xiàn)了（5+-15）×（5--15）=40這個矛盾.兩個版本的教材都在章前提到了復(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史.

兩個版本都以資料卡片的形式介紹復(fù)平面、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點一一對應(yīng)的幾何意義、復(fù)數(shù)與復(fù)平面中向量一一對應(yīng)的幾何意義、創(chuàng)建過程中的數(shù)學(xué)名人，以及直觀的幾何表示對復(fù)數(shù)探究的價值.

2.代數(shù)基本定理

兩個版本的教材都在章末部分呈現(xiàn)了代數(shù)基本定理，代數(shù)基本定理為學(xué)生提供了理解“復(fù)數(shù)是存在”的一個依據(jù).對于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也就是韋達定理，是學(xué)生熟悉并且常用的.代數(shù)基本定理使學(xué)生關(guān)于一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的認(rèn)知進一步得到提高.

結(jié) 語

在內(nèi)容上增加了對復(fù)數(shù)幾何意義的考查，并增加了對復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解方程問題，突出了復(fù)數(shù)的價值.復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生、復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的三角表示是滲透數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的一線材料.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確提出要將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，但并不是所有的數(shù)學(xué)課堂都適合進行數(shù)學(xué)文化的滲透.復(fù)數(shù)這章節(jié)的內(nèi)容對于數(shù)學(xué)文化滲透來說是一個很好的融入平臺.在數(shù)學(xué)文化滲透思想下對復(fù)數(shù)及教學(xué)內(nèi)容進行設(shè)計，是探索復(fù)數(shù)教學(xué)的一個角度.無論是一線教師發(fā)表的期刊還是本科、碩士論文，對以數(shù)學(xué)文化或者是數(shù)學(xué)史作為指導(dǎo)方向的復(fù)數(shù)教學(xué)都進行了一定的探究.隨著新教材的使用，對于復(fù)數(shù)課程的研究應(yīng)該體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)中的思想，緊跟時代的步伐.特別是作為選學(xué)部分的“復(fù)數(shù)的三角表示”內(nèi)容，其教學(xué)還需要更進一步的探索.在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)下，教師探索復(fù)數(shù)教學(xué)模式，為學(xué)生提供培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的機會.

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[5]張彬.APOS理論下的“數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入”教學(xué)研究[D].揚州：揚州大學(xué)，2019.