考慮化學(xué)腐蝕作用的砂板巖損傷本構(gòu)模型

劉志航，王 偉，李雪浩，李 堯，王 輝

(1.河海大學(xué)a.巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.土木與交通學(xué)院巖土所，江蘇南京210098；2.山西省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院，山西太原030012)

當(dāng)前環(huán)境問題日益嚴(yán)峻，巖體賦存的水環(huán)境越來越復(fù)雜，酸雨、受污染的地下水及地表水等對巖體腐蝕的現(xiàn)象也越來越多。水巖之間的相互作用會(huì)影響巖體的強(qiáng)度與穩(wěn)定性[1]，甚至?xí)斐晒こ淌鹿?。針對這一現(xiàn)狀，眾多學(xué)者開展了水巖相互作用的研究，對經(jīng)化學(xué)溶液浸泡后的砂巖進(jìn)行壓縮試驗(yàn)，分析浸泡試樣的力學(xué)特性[2-3]、細(xì)觀結(jié)構(gòu)以及溶液成分[4]等。Xie等[5]分別對自然狀態(tài)和經(jīng)化學(xué)腐蝕的多孔石灰?guī)r進(jìn)行三軸試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)化學(xué)腐蝕會(huì)減小石灰?guī)r孔隙率，從而降低其黏聚力與彈性模量。工程中常見的板巖在化學(xué)腐蝕作用后，巖石內(nèi)部膠結(jié)物除發(fā)生化學(xué)反應(yīng)還會(huì)發(fā)生劇烈水解反應(yīng)，溶蝕效應(yīng)較大，顆粒大量流失，孔隙與裂隙逐漸發(fā)育，礦物顆粒間的接觸面減少，巖石的宏觀性能也發(fā)生了改變，使得巖石強(qiáng)度降低。因此研究化學(xué)腐蝕作用下砂板巖的性質(zhì)具有重要的工程意義。

Hu等[6]以化學(xué)動(dòng)力學(xué)為基礎(chǔ)，提出了考慮應(yīng)力路徑和化學(xué)損傷雙重影響的耦合彈塑性模型；鄧華峰等[7]以浸泡-風(fēng)干循環(huán)水巖作用的砂巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將損傷效應(yīng)耦合到統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型中，建立了水巖作用下砂巖的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，但該本構(gòu)模型未考慮損傷閾值的影響；姜立春等[8]基于統(tǒng)計(jì)損傷理論，提出了考慮礦山酸性排泄水蝕化和應(yīng)力耦合影響的砂巖損傷本構(gòu)模型；劉建等[9]采用改進(jìn)的Duncan模型模擬不同水溶液作用下砂巖的應(yīng)力應(yīng)變曲線；夏冬等[10]基于飽水閃長巖在不同浸水時(shí)間下的單軸壓縮聲發(fā)射試驗(yàn)結(jié)果，建立了與浸水時(shí)間相關(guān)的聲發(fā)射損傷模型，但并未對應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)行研究。上述本構(gòu)模型研究對象主要是砂巖等，針對砂板巖這種孔隙多、單軸條件下壓密效應(yīng)明顯、塑性變形差[11]的巖石考慮較少。因此，文中以砂板巖為研究對象，采用文獻(xiàn)[11]中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，引入損傷力學(xué)方法，建立化學(xué)腐蝕后砂板巖的分段單軸壓縮統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，將模型分段處理，并通過具體試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，其研究結(jié)果對化學(xué)腐蝕作用下砂板巖的力學(xué)性能研究具有一定意義。

1 統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型的建立

1.1 耦合損傷變量

巖石材料的損傷會(huì)引起其微觀與宏觀方面某些性質(zhì)的改變，因此可從不同角度對損傷變量進(jìn)行相應(yīng)定義。根據(jù)文獻(xiàn)[12-14]，巖石受化學(xué)腐蝕作用后，其彈性模量、抗剪強(qiáng)度、抗壓強(qiáng)度、孔隙率等均有不同程度的下降，產(chǎn)生一個(gè)初始化學(xué)損傷值，相應(yīng)的化學(xué)損傷變量D1可定義如下[15]

式中：Et為經(jīng)歷不同化學(xué)腐蝕時(shí)間后巖石的彈性模量；E0為未受化學(xué)腐蝕巖石的彈性模量。

在外荷載的作用下，巖石內(nèi)部的力學(xué)性質(zhì)是隨機(jī)分布的，由此帶來的微損傷也是隨機(jī)分布的，可采用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法描述這種力學(xué)性質(zhì)。假設(shè)巖石中微元的破壞服從Weibull分布，相應(yīng)的概率密度函數(shù)φ(ε)如下[16]

式中：m，ε0為Weibull統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)；ε 為巖石材料應(yīng)變。當(dāng)巖石被加載到應(yīng)變水平ε 時(shí)，對式(2)進(jìn)行積分得相應(yīng)的受荷損傷變量D2，表達(dá)式如下

結(jié)合式(1)，(3)得到同時(shí)考慮化學(xué)損傷與受荷損傷的耦合損傷D 表達(dá)式[8]，如

1.2 損傷模型

根據(jù)Lemaitre提出的應(yīng)變等價(jià)原理[17]，假設(shè)損傷各向同性，結(jié)合文獻(xiàn)[8]中推廣后的應(yīng)變等價(jià)原理，以巖石的天然損傷狀態(tài)為第1狀態(tài)，以巖石腐蝕后并加荷的損傷狀態(tài)為第2狀態(tài)，可得推廣后名義應(yīng)力與有效應(yīng)力之間的關(guān)系：

式中：[σ*] 為有效應(yīng)力矩陣；[σ ] 為名義應(yīng)力矩陣。

引用的試驗(yàn)采用單軸壓縮方法[11]，為方便理解計(jì)算，可根據(jù)廣義胡克定律與式(5)推導(dǎo)出考慮耦合損傷的單軸條件下本構(gòu)關(guān)系：

式中：σ 與ε 分別表示軸向應(yīng)力與軸向應(yīng)變。將式(4)代入式(6)，可得考慮耦合損傷的砂板巖單軸壓縮統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型：

式中：σe與εe分別為不同腐蝕時(shí)間下試驗(yàn)曲線彈性階段起點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力與應(yīng)變；σp與εp分別為彈性階段終點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力與應(yīng)變；m1，ε01，m2，ε02為統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)，下標(biāo)用于區(qū)分不同階段。式(8)第一式為壓密階段的模型，僅采用相應(yīng)的形式來表征壓密階段試驗(yàn)曲線的變形特征；受荷損傷是從屈服階段開始的，但單軸下砂板巖塑性變形不明顯，很難分辨出變化，通過分段的方法將式(8)第三式起點(diǎn)移至(εp,σp)，“放大”了塑性階段的變化，用相應(yīng)的參數(shù)體現(xiàn)開展程度，研究浸泡時(shí)間對巖樣延性的影響。此法會(huì)使得峰后出現(xiàn)一個(gè)“人為殘余強(qiáng)度”，但單軸條件下砂板巖峰后變形較差，試驗(yàn)值較難測得，研究意義不大。故文中重點(diǎn)分析砂板巖峰前尤其是壓密至線彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變曲線。

2 模型參數(shù)的確定與驗(yàn)證

2.1 參數(shù)確定

統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型的關(guān)鍵在于分布參數(shù)的選取，通常用兩種方法確定分布參數(shù)：試驗(yàn)數(shù)據(jù)線性擬合法[7]；試驗(yàn)曲線極值法[18]。模型第一段對應(yīng)壓密階段，數(shù)據(jù)較豐富，宜采用線性擬合的方法；砂板巖脆性較強(qiáng)，單軸下塑性變形不明顯，且達(dá)到峰值強(qiáng)度后迅速降低，對于峰后試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集較少，為模擬砂板巖的塑性變形，第三段參數(shù)宜采用試驗(yàn)曲線極值法。

1)當(dāng)0 ≤ε ≤εe時(shí)，將式(8)第一式進(jìn)行變形可得

對兩邊同時(shí)取對數(shù)得

再進(jìn)行移項(xiàng)然后兩邊取對數(shù)得

壓密階段選取使Y 與X 能夠較好呈現(xiàn)線性段的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，得到相應(yīng)參數(shù)m1與ε01的值。

2)當(dāng)ε ＞εp時(shí)，試驗(yàn)曲線在峰值處應(yīng)力最大，因此峰值處的應(yīng)力應(yīng)變當(dāng)滿足以下條件

式中σc與εc為不同腐蝕時(shí)間下試驗(yàn)曲線峰值應(yīng)力與峰值應(yīng)變。將上述條件代入式(8)第三式，偏導(dǎo)可得

根據(jù)式(8)第三式與式(14)可得參數(shù)m2與ε02的值：

模型中σe，εe，σp，εp為不同腐蝕時(shí)間巖石試驗(yàn)曲線上特定的應(yīng)力與應(yīng)變，先找尋近似直線段作為彈性階段，其平均斜率為彈性模量Et；σe與εe為該近似直線段起點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力與應(yīng)變，σp與εp為該近似直線段終點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力與應(yīng)變，從而確定相關(guān)分布參數(shù)。

2.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

由于篇幅的限制，文中選用文獻(xiàn)[11]中pH=4酸性溶液腐蝕砂板巖的單軸壓縮試驗(yàn)部分結(jié)果，驗(yàn)證所建模型的合理性與適用性。根據(jù)式(12)與式(15)得到的統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)如表1，砂板巖單軸分段模型曲線與試驗(yàn)曲線見圖1，浸泡時(shí)間為0 d的是天然試樣。

從圖1可看出：砂板巖初始孔隙較多，壓密效應(yīng)占比明顯，表明將壓密段單獨(dú)考慮較為合適；砂板巖塑性變形較差，彈性模量降低不明顯，但峰值強(qiáng)度的降低與峰值應(yīng)變的增加表現(xiàn)出化學(xué)腐蝕作用對巖樣的軟化效應(yīng)。

將圖1中試驗(yàn)數(shù)據(jù)與分段模擬結(jié)果進(jìn)行對比可以看出：所建統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型曲線與試驗(yàn)曲線較為相符，表明文中所建模型能夠較好地反映化學(xué)腐蝕作用下砂板巖峰前應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系；浸泡初期巖樣較脆，天然試樣與浸泡10 d的試樣在壓縮過程中彈性模量降低不明顯，同時(shí)實(shí)際屈服點(diǎn)與峰值點(diǎn)相隔較近，塑性階段占比較少，沒有明顯的塑性屈服階段，從而使得在選取近似直線段作為彈性階段時(shí)，易將不明顯的塑性屈服階段劃至彈性階段內(nèi)，峰值點(diǎn)與屈服點(diǎn)被認(rèn)為“重合”，無法用式(15)進(jìn)行參數(shù)計(jì)算，因此表1 中天然試樣與浸泡10 d 的試樣第三段參數(shù)無法得出；對于全過程應(yīng)力應(yīng)變曲線，隨著浸泡時(shí)間的延長，峰值應(yīng)變逐漸增大，砂板巖脆性降低，延性增加，根據(jù)第三段Weibull參數(shù)，塑性變形的程度依舊很小，浸泡180 d 巖樣的塑性變形依然不明顯，當(dāng)達(dá)到峰值應(yīng)力時(shí)巖樣迅速破壞。

表1 砂板巖損傷本構(gòu)模型統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)Tab.1 Statistical distribution parameters of damage constitutive model of sandy slate

圖1 砂板巖模型曲線與試驗(yàn)曲線Fig.1 Model curves and test curves of sandy slate

綜上，文中以試驗(yàn)曲線壓密點(diǎn)與屈服點(diǎn)建立的分段模型可模擬砂板巖在峰前壓密至線彈性階段的本構(gòu)關(guān)系，驗(yàn)證了模型的合理性與適用性。但由于砂板巖單軸條件下塑性變形較差，沒有明顯的塑性階段，其塑性階段以及峰后軟化階段的試驗(yàn)曲線較難獲得，對模擬峰值應(yīng)力改變與峰后的跌落情況，達(dá)不到與其他浸泡巖樣相同的模擬效果。因此，對于化學(xué)腐蝕作用下砂板巖的損傷本構(gòu)關(guān)系還需進(jìn)一步分析。

3 模型的修正

砂板巖塑性變形階段模擬達(dá)不到理想的效果，但文中對于壓密階段至彈性階段的考慮可為塑性變形較好的巖樣提供參考。對于常見的砂巖等，塑性變形較好，壓密至線彈性階段可采用式(8)第一式與第二式進(jìn)行模擬。砂巖塑性變形較好，峰后軟化試驗(yàn)曲線較易得到，若采用式(8)第三式進(jìn)行模擬，會(huì)產(chǎn)生“人為殘余強(qiáng)度”。因此，參考文獻(xiàn)[18，20]，將式(8)第三式進(jìn)行修正，具體表達(dá)式與參數(shù)計(jì)算式如下：

式中γ0為不同腐蝕時(shí)間下單軸壓縮試驗(yàn)曲線彈性階段直線延長至應(yīng)變軸對應(yīng)的截距[20]。式(16)中減去γ0是為了消除初始孔隙壓密帶來的應(yīng)變，式(17)同式(15)采用試驗(yàn)曲線極值法推導(dǎo)。

為驗(yàn)證修正模型的適用性，選取pH=1酸性溶液腐蝕砂巖的單軸壓縮試驗(yàn)部分?jǐn)?shù)據(jù)[21]，未修正與修正模型參數(shù)見表2，模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果如圖2。

表2 砂巖損傷本構(gòu)模型統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)Tab.2 Statistical distribution parameters of damage constitutive model of sandstone

從圖2 可看出：本文建立的修正模型在峰前能夠較好地模擬砂巖應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，峰后也能展現(xiàn)下降趨勢，雖吻合程度不太理想，但修正模型曲線更接近試驗(yàn)曲線；化學(xué)腐蝕對巖樣造成一定損傷，浸泡9 d的巖樣在加載中途產(chǎn)生局部破壞，應(yīng)力突降，因此表2 中第三段的參數(shù)規(guī)律有差異，但從模擬結(jié)果看效果較好。

圖2 砂巖模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較Fig.2 Comparison between simulation value and test value of sandstone

4 結(jié) 論

1)假設(shè)經(jīng)化學(xué)腐蝕的巖石受荷后微元的破壞服從Weibull 分布，結(jié)合耦合損傷作用與壓密效應(yīng)，以試驗(yàn)曲線壓密點(diǎn)與屈服點(diǎn)建立分段模型，采用試驗(yàn)數(shù)據(jù)線性擬合法與試驗(yàn)曲線極值法綜合確定不同階段的統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)，建立的分段模型可模擬砂板巖峰前壓密至線彈性階段的本構(gòu)關(guān)系，但塑性階段及峰后模擬達(dá)不到理想效果。

2)修正建立的分段模型第三段，消除了由于分段造成的“人為殘余強(qiáng)度”，使本構(gòu)模型更加接近試驗(yàn)數(shù)據(jù)，提高了模型的合理性與適用性，為后續(xù)研究奠定了相應(yīng)基礎(chǔ)。