含三次項類Chen系統(tǒng)的級聯(lián)及其隨機數(shù)發(fā)生器設(shè)計

袁澤世，臧 飛

(中國電子科技集團公司第二十八研究所，江蘇南京210000)

自1963年氣象學(xué)家Lorzen首次揭示混沌運動以來，混沌現(xiàn)象在各領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注與應(yīng)用。常見的典型混沌系統(tǒng)包括Lorenz系統(tǒng)[1]、R?ssler系統(tǒng)[2]、Chen系統(tǒng)[3]、Lü系統(tǒng)[4]等，其中一些系統(tǒng)之間存在著某種聯(lián)系，例如：Chen系統(tǒng)是在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，采用工程反饋控制方法構(gòu)造而來的；Lü系統(tǒng)建立了Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)聯(lián)系的橋梁。研究新混沌系統(tǒng)的方法可大致分為三類：對自然界中某種現(xiàn)象進行模型提??；對現(xiàn)有系統(tǒng)進行改進；基于計算機的大規(guī)模搜索。第一類方法，最典型的是提取大氣運動模型的Lorenz系統(tǒng)。多數(shù)新混沌系統(tǒng)的提出基于第二類方法，例如：Zhang等在Chen系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，對第一個狀態(tài)方程進行改造，加入一個可變系數(shù)的乘積項，構(gòu)造一個新的三維自治混沌系統(tǒng)[5]；Li 等[6]參考Chen 系統(tǒng)和Lü 系統(tǒng)的構(gòu)建模式，對Lorenz系統(tǒng)進行改造；包伯成等[7]將蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管替代為憶阻器，實現(xiàn)了基于憶阻器的混沌振蕩電路；袁澤世等[8]通過在Chen 系統(tǒng)中引入可變系數(shù)的乘積項和平方項，構(gòu)造類Chen 混沌系統(tǒng)。第三類方法的典型代表是Sprott團隊，他們利用大規(guī)模計算機仿真搜索的方法，揭示了19個不同的簡單混沌系統(tǒng)流型[9]。通過類似的搜索方法，Li等[10]和Yuan等[11]也發(fā)現(xiàn)并研究了新混沌系統(tǒng)。

構(gòu)造基于混沌的隨機數(shù)發(fā)生器是混沌系統(tǒng)的重要應(yīng)用之一。Bernstein等[12]首次提出基于一階數(shù)字鎖相環(huán)混沌電路產(chǎn)生安全隨機數(shù)的方法；Koyuncu等[13]提出一種基于Sprott 94G混沌系統(tǒng)的真隨機數(shù)發(fā)生器，并采用異或運算的后處理方法進一步優(yōu)化輸出序列性能；Cicek等[14]將斜交Tent映射作為案例，提出一種基于離散時間混沌的真隨機數(shù)發(fā)生器，并使用真隨機數(shù)發(fā)生器的數(shù)學(xué)模型得到最大化隨機性的最佳參數(shù)值；Teh等[15]設(shè)計一種利用圖形處理器(graphics processing unit，GPU)計算的混沌映射作為熵源的真隨機數(shù)發(fā)生器，并使用基于加法和異或計算的后處理實現(xiàn)無偏輸出。Yuan等[16]針對數(shù)字系統(tǒng)的有限精度效應(yīng)問題，提出將數(shù)字系統(tǒng)與少量模擬器件相結(jié)合的數(shù)?；旌舷到y(tǒng)的實現(xiàn)方法，完成混沌隨機數(shù)發(fā)生器的設(shè)計和實現(xiàn)。文中將基于第二類混沌系統(tǒng)的研究方法，通過對類Chen系統(tǒng)進行改進，提出不同于文獻[8]中類Chen系統(tǒng)的一種含三次項的類Chen系統(tǒng)；將兩個類Chen系統(tǒng)級聯(lián)，基于級聯(lián)系統(tǒng)構(gòu)造混沌方法隨機數(shù)發(fā)生器，生成的隨機數(shù)序列能夠通過NIST檢驗標(biāo)準(zhǔn)，達到實際應(yīng)用水平。

1 系統(tǒng)模型和動力學(xué)分析

構(gòu)造的含三次項的類Chen系統(tǒng)模型方程如式(1)，與文獻[8]中類Chen系統(tǒng)相比，其最大的特點在于第一個狀態(tài)方程中引入三次方項，該項會對系統(tǒng)產(chǎn)生重要影響。

式中：a,b,c,d ∈R，為可變系數(shù)。當(dāng)a=30，b=5，c=18，d=9，初值(x0,y0,z0)=(0.5,0,0.01)時，可計算出系統(tǒng)的3 個Lyapunov 指數(shù)L1=1.181 2，L2=0，L3=-18.186 2 及Lyapunov 維數(shù)DL=2.065 2。Lyapunov 指數(shù)與分?jǐn)?shù)維數(shù)表明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。圖1為參數(shù)a=30，b=5，c=18，d=9，初值為(x0,y0,z0)=(0.5,0,0.01)時，本文新系統(tǒng)典型的混沌吸引子。

圖1 新系統(tǒng)的吸引子Fig.1 Attractors of the new system

可用Poincaré截面圖觀察系統(tǒng)的混沌動力學(xué)特性。Poincaré 截面的選擇應(yīng)遵循不包含系統(tǒng)的軌線、不與軌線相切的原則。圖2 為相同參數(shù)、截面z=2 時，新系統(tǒng)的Poincaré 截面。由圖2 可看出，截面有明顯的分形結(jié)構(gòu)密集點，吸引子的葉片清晰可見，驗證了新系統(tǒng)的混沌特性。

圖2 系統(tǒng)Poincaré截面Fig.2 Poincaré cross section of the system

對式(1)進行坐標(biāo)變換(x,y,z)→(-x, -y,z)可發(fā)現(xiàn)，所得系統(tǒng)與式(1)系統(tǒng)相同，即系統(tǒng)關(guān)于z 軸對稱。系統(tǒng)耗散性計算如下

式中V 為相體積。當(dāng)?V=-(a+b-c)＜0 時，系統(tǒng)是耗散的。當(dāng)參數(shù)a=30，b=5，c=18，d=9 時，滿足(a+b-c)＞0，系統(tǒng)的狀態(tài)變化有界。

令式(1)右邊為0，得到系統(tǒng)平衡狀態(tài)方程為：

取參數(shù)a=30，b=5，c=18，d=9，解式(3)得到系統(tǒng)共有7個平衡點，分別為：

Chen 系統(tǒng)有3 平衡點：(0,0,0)，( ( -b(a-2c))(1/2)，(-b(a-2c))(1/2),2c-a )和(-(-b(a-2c))(1/2)，(- b(a-2c))(1/2),2c-a )，文獻[8]中類Chen系統(tǒng)有5個平衡點。與Chen系統(tǒng)和文獻[8]中類Chen系統(tǒng)相比，本文新系統(tǒng)平衡點個數(shù)更多、結(jié)構(gòu)更復(fù)雜。由于引入三次方項，導(dǎo)致4組平衡點S3,4和S5,6只是在符號上不同。

將系統(tǒng)在平衡點S0處線性化，得到其雅克比矩陣為

其特征方程為 ||λI-J0=0，求出特征根λ1=18，λ2=-30，λ3=-5。λ2,λ3為負實數(shù)，λ1為正實數(shù)，故平衡點S0為 不 穩(wěn) 定 鞍 點。同 理 可 求 出：平 衡 點S1，S2的 特 征 根λ1=9.653 3+17.905 2i，λ2=9.653 3-17.905 2i，λ3=-14.219 2；平衡點S3，S4的特征根λ1=-87.36-232.62i，λ2=-39.33+2.07i，λ3=-9.35+6.97i；平衡點S5，S6的特征根λ1=-87.36+232.62i，λ2=-39.33-2.07i，λ3=-9.35-6.97i。

新系統(tǒng)對應(yīng)參數(shù)的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜如圖3。為便于觀察Lyapunov指數(shù)譜的情況，舍去最小的Lyapunov 指數(shù)，觀察其余兩個指數(shù)。由圖3 可看出，分岔圖與Lyapunov 指數(shù)譜圖呈清晰對應(yīng)關(guān)系，即最大Lyapunov指數(shù)大于0、次大Lyapunov指數(shù)等于0時，系統(tǒng)分岔圖呈混沌狀態(tài)。

2 隨機數(shù)發(fā)生器的設(shè)計

2.1 系統(tǒng)級聯(lián)

為增強系統(tǒng)的隨機性，將利用文獻[8]中類Chen 系統(tǒng)與新系統(tǒng)構(gòu)建級聯(lián)系統(tǒng)，采取的級聯(lián)方法如圖4。利用文獻[8]中類Chen系統(tǒng)，生成一組種子混沌序列；利用此序列，按照一定的規(guī)律擾動本文新系統(tǒng)，得到中間混沌序列；經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮筇幚磉^程，即可得到級聯(lián)系統(tǒng)最終的輸出混沌序列。對于新系統(tǒng)，可針對初始值和參數(shù)值分別擾動，也可同時進行擾動。擾動參數(shù)值的選取結(jié)合圖3所示的系統(tǒng)分岔圖，確保級聯(lián)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，從而保證輸出序列的隨機性。

圖3 系統(tǒng)的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜對應(yīng)圖Fig.3 Bifurcation,Lyapunov exponent spectrum of the system

圖4 級聯(lián)系統(tǒng)示意圖Fig.4 Schematic diagram of the cascaded system

2.2 后處理方法

基于時延和小數(shù)點后元素提取的后處理方法為兩種典型的后處理方法?；跁r延后處理方法的級聯(lián)系統(tǒng)示意圖如圖5。將中間序列進行適當(dāng)量化，得到一組只含“0”和“1”元素的二進制序列；對二進制序列進行適當(dāng)時延，再將其與未時延的原始序列進行異或運算，得到最終輸出的混沌序列。

圖5 基于時延后處理方法的級聯(lián)系統(tǒng)示意圖Fig.5 Schematic diagram of the cascaded system with time delay post-processing method

基于小數(shù)點后元素提取后處理方法構(gòu)成的級聯(lián)系統(tǒng)示意圖如圖6。得到中間混沌序列，先不將序列進行二進制量化，而是將序列的每個元素取出小數(shù)點后第N(N為自然數(shù))位，隨后逐位進行奇偶判斷。若該位數(shù)字為奇數(shù)，則量化為元素“1”，否則量化為元素“0”。將得到的一系列“0”和“1”元素按照一定順序排列組合，得到最終輸出的混沌序列。

圖6 基于元素提取后處理方法的級聯(lián)系統(tǒng)示意圖Fig.6 Schematic diagram of the cascaded system with extracted element post-processing method

2.3 隨機數(shù)性能的檢驗

為驗證所得隨機數(shù)能否滿足實際應(yīng)用的要求，采用由美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(national institute of standards technology，NIST)提出的NIST檢驗套件[17]。NIST檢驗套件由15項檢驗組成，用于衡量由基于硬件或軟件的加密隨機數(shù)或偽隨機數(shù)發(fā)生器生成的(任意長的)二進制序列在特定方面的隨機性能。將每項檢驗計算出的P值作為判斷對零假設(shè)相關(guān)強度的依據(jù)。若P=1，則序列近似具完美的隨機性；若P=0，則序列幾乎完全是非隨機的。最終將P 值與先驗的顯著性水平(α=0.01)進行比較，若P ≥α，則接受零假設(shè)，即序列是隨機的；若P ＜α，則拒絕零假設(shè)，即序列是非隨機的。表1為本文設(shè)計的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生長度為109隨機數(shù)序列的NIST檢驗結(jié)果。

表1 級聯(lián)系統(tǒng)隨機數(shù)發(fā)生器生成的隨機數(shù)NIST測試結(jié)果Tab.1 NIST results of random numbers produced by cascaded-system random number generator

將長序列分為1 000 個子序列，每組序列長度M=106，此時置信區(qū)間為(0.980 56, 0.999 44)，即在滿足P ≥α 的基礎(chǔ)上，通過率處于置信區(qū)間內(nèi)，認(rèn)為序列通過該項檢驗[17]。從表1可看出，級聯(lián)系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機數(shù)序列通過了15項NIST檢驗，證明設(shè)計的隨機數(shù)發(fā)生器可產(chǎn)生滿足隨機性能要求的、具有實用價值的隨機數(shù)序列。

3 結(jié) 論

基于已有的類Chen系統(tǒng)，通過引入三次項構(gòu)造一種新的類Chen系統(tǒng)。利用兩種類Chen系統(tǒng)構(gòu)造級聯(lián)系統(tǒng)，設(shè)計基于混沌方法的隨機數(shù)發(fā)生器。通過動力學(xué)分析發(fā)現(xiàn)，含三次項的類Chen 系統(tǒng)具理想的最大Lyapunov指數(shù)，具更多的平衡點及更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，是文獻[16]中含三次項三維混沌系統(tǒng)的一種典型情況；設(shè)計的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機數(shù)序列通過了15項NIST檢驗，該隨機數(shù)發(fā)生器可產(chǎn)生滿足隨機性能要求的、具有實用價值的隨機數(shù)序列，其可運用在安全通信、隨機數(shù)發(fā)生器與雷達波形設(shè)計等方面。