剛性飛輪轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速下的振幅分析

任正義，黃 同，周元偉，張紹武

（1.哈爾濱工程大學(xué)工程訓(xùn)練國家級實驗教學(xué)示范中心，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學(xué)機電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

飛輪儲能系統(tǒng)是一種用高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子儲存能量的慣性裝置[1-2]，為了使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的機械磨損減少，儲能效率量達到最大，磁懸浮軸承逐漸被廣泛用作支撐軸承。這對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)精度提出了更高的要求。對于高轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)機械，在達到工作轉(zhuǎn)速的過程中需要越過臨界轉(zhuǎn)速，由于不平衡量和陀螺效應(yīng)的存在，轉(zhuǎn)子在通過臨界轉(zhuǎn)速時會產(chǎn)生很大的振動。因此研究飛輪轉(zhuǎn)子在通過臨界轉(zhuǎn)速時的振動幅值以及影響因素是十分有必要的。

文獻[3]研究了高速電機機組軸系的臨界轉(zhuǎn)速及振動模態(tài)，并分析了聯(lián)軸器剛度和結(jié)構(gòu)參數(shù)對臨界轉(zhuǎn)速的影響。文獻[4]分析了盤式轉(zhuǎn)子分別以定角加速度和定功率通過兩階臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動。文獻[5]研究了具有非對稱剛度的簡單Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等變速過程的瞬態(tài)響應(yīng)。在大多數(shù)情況下，轉(zhuǎn)子的非平穩(wěn)響應(yīng)很難獲得。Dimentberg（1961）將Jeffcott 轉(zhuǎn)子以恒定的角加速度運行時，獲得了菲涅耳積分表達式的解析解[6]。大多數(shù)轉(zhuǎn)子瞬態(tài)分析只研究了轉(zhuǎn)子徑向二自由度的偏移，沒有分析徑向的偏轉(zhuǎn)。因此這里建立了四自由度轉(zhuǎn)子瞬態(tài)運動微分方程，利用龍格庫塔數(shù)值積分法，分析了600Wh 飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在通過低階臨界轉(zhuǎn)速的振動響應(yīng)，并分析了角加速度和等效阻尼對其特性的影響。

2 剛性轉(zhuǎn)子四自由度運動方程

當轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速在工作范圍內(nèi)運行，彈性變形可以忽略不計時，轉(zhuǎn)子被認為是剛性的[7]。根據(jù)電磁軸承工作原理[8]，在建立模型時可將其等效簡化為彈簧-阻尼單元結(jié)構(gòu)，k1，k2為上下軸承的剛度系數(shù)，c1，c2為上下軸承的阻尼系數(shù)。一個剛性轉(zhuǎn)子五自由度的偏轉(zhuǎn)模型，如圖1 所示。其中，圓盤安裝在剛性軸的中點，設(shè)O-xy 為靜止坐標系，相對于地面保持靜止不動，O-x′y′為旋轉(zhuǎn)坐標系，固定于轉(zhuǎn)子徑向橫截面上隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動。首先，推導(dǎo)出運動方程。軸的中心線穿過幾何中心M（x，y），重心G（xG，yG）距離點M 有一偏心e。轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角度由ψ 表示，該角度是線MG 與x軸之間的角度。設(shè)轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，慣性矩為Jp，作用于轉(zhuǎn)子上的力為，重心周圍的扭矩為分別表示轉(zhuǎn)子質(zhì)心與x軸、y 軸的偏轉(zhuǎn)角度，θx，θy分別表示轉(zhuǎn)子軸線繞x 軸、y 軸的偏轉(zhuǎn)角度。Mxz，Myz分別表示作用在軸系轉(zhuǎn)子xz 平面、yz 平面上的力矩。由牛頓第二定律，得到：

圖1 五自由度偏轉(zhuǎn)模型Fig.1 Four Degrees of Freedom Deflection Model

等式右邊，并通過轉(zhuǎn)換坐標：

式中：τ—轉(zhuǎn)子的初始偏斜角度；βτ—主軸傾斜方向與G 方向之間的角度。

由于加速度恒定，相當于轉(zhuǎn)子的繞z 軸旋轉(zhuǎn)的自由度固定，得到四自由度轉(zhuǎn)子在靜坐標系下的瞬態(tài)運動微分方程組[9]：

式中各參數(shù)值，如表1 所示。為600Wh 飛輪儲能樣機系統(tǒng)參數(shù)，將其帶入上式，求解該系統(tǒng)的固有頻率。

表1 600Wh 飛輪儲能樣機系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 600Wh Flywheel Energy Storage Prototype System Parameters

所求出的坎貝爾圖，如圖2 所示。由圖可知，得到系統(tǒng)的三個臨界轉(zhuǎn)速ωc1，ωc2，ωc3，其中，ωc2為轉(zhuǎn)子的反向渦動，不考慮其值。由此得到剛性轉(zhuǎn)子的平動臨界轉(zhuǎn)速ωc1＝2580r/min，傾斜運動臨界轉(zhuǎn)速ωc3＝11880r/min。

圖2 剛性轉(zhuǎn)子坎貝爾圖Fig.2 The Campbell Diagram of Rigid Rotor

3 飛輪轉(zhuǎn)子瞬態(tài)響應(yīng)分析及實驗驗證

3.1 瞬態(tài)響應(yīng)分析

本節(jié)考慮剛性飛輪轉(zhuǎn)子的基本振動表現(xiàn)，分析了轉(zhuǎn)子以恒定加速度λ 通過臨界轉(zhuǎn)速時的不平穩(wěn)運動。設(shè)不平衡量me 的初始角度為βτ=ψ0，轉(zhuǎn)子的初始角速度為ω0，加速開始時間取t=0，得到角度：

將上式代入式中，進行龍格庫塔數(shù)值積分求解，得到轉(zhuǎn)子從某一轉(zhuǎn)速（包括零轉(zhuǎn)速）線性加速，分別通過系統(tǒng)的平動臨界轉(zhuǎn)速和傾斜運動臨界轉(zhuǎn)速時的振幅變化，分析轉(zhuǎn)子的動撓度和偏轉(zhuǎn)角。取偏心距e=1.592μm，轉(zhuǎn)子初始傾斜角度τ＝arctan（0.01/277.5），分別采用不同的加速度和不同等效阻尼，從靜止開始加速結(jié)果，如圖3～圖4 所示。

由圖3（a）可知，當轉(zhuǎn)子進入共振范圍后，撓度迅速增大并達到最大值，然后減小，相對緩慢地改變振幅。不同角加速度下?lián)隙确逯祵?yīng)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，三種加速度所對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速為2860r/min 左右，與坎貝爾圖中所求解的平動臨界轉(zhuǎn)速吻合，如圖2 所示。角加速度對轉(zhuǎn)子通過平動臨界轉(zhuǎn)速時的振幅有影響，角加速度從1.5rad/s 增加到2rad/s 時，幅值變化并不明顯，但達到3rad/s 后，振幅的峰值明顯減小很多。圖3（b）中的產(chǎn)生偏角峰值對應(yīng)的轉(zhuǎn)速為11460r/min 左右，與圖2 坎貝爾圖中所求解出的傾斜運動臨界轉(zhuǎn)速吻合。從圖中可以看出，角加速度對轉(zhuǎn)子偏角峰值幾乎沒有影響。

圖3 角加速度對兩階臨界轉(zhuǎn)速下振幅的影響Fig.3 The Influence of Angular Acceleration on the Amplitude at Two Critical Speeds

圖4 等效阻尼對兩階臨界轉(zhuǎn)速下振幅的影響Fig.4 Effect of Equivalent Damping on Amplitude at Two Critical Speeds

由圖4 可知，等效阻尼對平動和傾斜運動的振幅都是有影響的。其中由圖4（a）可知，阻尼越大，平動臨界轉(zhuǎn)速下的撓度越小。圖4（b）中，阻尼越大，傾斜運動臨界轉(zhuǎn)速下的偏角越小。對于所研究的剛性轉(zhuǎn)子來說，等效阻尼與電磁軸承控制系統(tǒng)和轉(zhuǎn)速有關(guān)，根據(jù)文獻[10]取剛性轉(zhuǎn)子的等效阻尼為55N·s/m。共振區(qū)的幅值隨角加速度增大而減小，但角加速度越大，越過幅值后的變化越緩慢，因此選擇圖5 曲線中斜率變化最大處，即加速度約為3rad/s2。

由于旋轉(zhuǎn)坐標不考慮轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)對軸心運動的干擾，因此可以在旋轉(zhuǎn)坐標O-x′y′中清晰地看到軸心運動軌跡。其中旋轉(zhuǎn)坐標O-x′y′旋轉(zhuǎn)運動的相對坐標x′，y′與轉(zhuǎn)子極坐標r，φ 有以下關(guān)系：

將其代入式中的前兩個等式，得到轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)坐標下的軸心軌跡，如圖6 所示。當轉(zhuǎn)子從零轉(zhuǎn)速開始以角加速度λ=3rad/s加速到最大工作轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)子軸心作螺旋曲線運動，先由平衡位置向外偏移，隨后偏移量逐漸減小，最終穩(wěn)定在平衡位置附近。這種現(xiàn)象充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的自定心作用，當轉(zhuǎn)子能夠越過臨界轉(zhuǎn)速，之后轉(zhuǎn)子的振幅會越來越小。

圖5 轉(zhuǎn)子振幅-角加速度曲線Fig.5 Rotor Amplitude-Angular Acceleration Curve

圖6 角加速度為3rad/s 的軸心軌跡Fig.6 Axis Trajectory with Angular Acceleration of 3rad/s

3.2 試驗驗證

通過所選的最佳自轉(zhuǎn)角加速度和阻尼，通過600Wh 飛輪儲能樣機進行試驗數(shù)據(jù)采集分析。其中飛輪儲能樣機，如圖7 所示。給定轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角加速度λ=3rad，電磁軸承的等效阻尼為c＝55N·s/m，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在2600r/min 時上下軸承位置徑向的軸心軌跡，如圖8 所示。取采樣頻率f1=3000N。由圖中可以看出，轉(zhuǎn)子上下兩端的軸心偏移集中在（0.14～0.15）mm 之間，與理論分析出的結(jié)果相同，且兩端的偏移量大致相同，表明此時轉(zhuǎn)子的運動幾乎為平動振型。轉(zhuǎn)子在9100r/min 時，取采樣頻率f=5000Hz，其軸心軌跡，如圖9 所示。此時轉(zhuǎn)子的偏移較為明顯，且最大偏移角度集中在0.001rad，與理論分析結(jié)果也很吻合。上下兩端軸心偏移量的不同，表明此時轉(zhuǎn)子的振動為平動和傾斜運動的合成，由于安裝和制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心與和幾何中心在軸向存在偏差。

圖7 600Wh 飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)樣機和三維建模Fig.7 Prototype and Modeling of 600Wh Flywheel Rotor System

圖9 轉(zhuǎn)速為9100r/min 時轉(zhuǎn)子軸心軌跡Fig.9 Rotor Axis Trajectory at 9100r/min

4 結(jié)論

以600Wh 飛輪儲能樣機系統(tǒng)參數(shù)為依據(jù)，建立了四自由度剛性轉(zhuǎn)子具有恒定角加速度時的瞬態(tài)運動微分方程，通過龍格庫塔數(shù)值積分法分析了不同角加速度和阻尼下兩階臨界轉(zhuǎn)速時的振幅變化，得到以下結(jié)論：（1）剛性轉(zhuǎn)子有兩階固有頻率，且固有頻率是隨著轉(zhuǎn)速變化而變化。其中一階臨界轉(zhuǎn)速下的振型為平動，二階臨界轉(zhuǎn)速的振型為傾斜運動。（2）轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角加速度對傾斜運動的共振偏角幾乎沒有影響，但對平動下的偏移影響明顯。角加速度越大，平動時的共振偏移越小，但幅值之后的衰減震蕩越緩慢。（3）等效阻尼對平動和傾斜運動的振幅都有顯著影響。阻尼越大，平動的共振偏移和傾斜運動的共振偏角越小，但過大的阻尼同樣會使幅值之后的衰減振動越來越緩慢。（4）由于轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角加速度對傾斜運動的共振偏角沒有影響，所以在設(shè)計合理且共振偏角在標準允許范圍內(nèi)時，可以將傾斜運動的臨界轉(zhuǎn)速包含在工作轉(zhuǎn)速內(nèi)。