楊承午,劉志平,徐永明
(1.中國礦業(yè)大學(xué) 自然資源部國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測重點實驗室,江蘇 徐州 221116;2.中國礦業(yè)大學(xué) 環(huán)境與測繪學(xué)院,江蘇 徐州 221116)
星載原子鐘鐘差的精確測定是提升GNSS系統(tǒng)定位、導(dǎo)航和授時功能亟待解決的問題之一。然而,IGS服務(wù)組織及各數(shù)據(jù)分析中心提供的精密鐘差數(shù)據(jù)均存在時延滯后性,不能滿足用戶實時性的需求[1]。為此,國內(nèi)外學(xué)者在衛(wèi)星鐘差預(yù)報方面開展了廣泛研究,常見的鐘差預(yù)報模型有二次多項式模型、灰色系統(tǒng)模型[2-4]、最小二乘支持向量機(jī)模型[5]、Kalman濾波模型[6-8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[9-10]和相應(yīng)組合模型[11]。文獻(xiàn)[2]提出將鐘差變化看作一個灰色系統(tǒng),將灰色模型引入鐘差預(yù)報領(lǐng)域,提高了鐘差預(yù)報精度。現(xiàn)有文獻(xiàn)對灰色模型的改進(jìn)大多從以下方面入手:一是對模型參數(shù)中的發(fā)展系數(shù)a進(jìn)行優(yōu)化;二是對模型參數(shù)中的灰色作用量u進(jìn)行優(yōu)化;三是對時間響應(yīng)函數(shù)初始值的優(yōu)化選定[12-13]。這些研究從不同角度對灰色模型進(jìn)行優(yōu)化,并在實際應(yīng)用中取得了良好的效果,但這些優(yōu)化都是針對單個參數(shù),并沒有進(jìn)行整體參數(shù)尋優(yōu)。鑒于此,為了獲得更好的建模和預(yù)測效果,本文引入Levenberg-Marquardt算法[14](以下簡稱L-M算法),對灰色模型參數(shù)進(jìn)行迭代優(yōu)化的改進(jìn)方法。該改進(jìn)方法將灰色模型的模型參數(shù)作為初始值,通過L-M算法對參數(shù)進(jìn)行迭代尋優(yōu),尋找出與原始數(shù)據(jù)最為擬合的發(fā)展系數(shù)、灰色作用量和時間響應(yīng)函數(shù)初始值。
星載原子鐘極易受到外界及其自身因素的影響,穩(wěn)定性差異較大,從而很難掌握其復(fù)雜細(xì)致的變化規(guī)律,鐘差數(shù)據(jù)符合灰色系統(tǒng)理論的建模預(yù)測特點[2]。
1.1.1 原始鐘差數(shù)據(jù)序列GM(1,1)
若X(0)為非負(fù)準(zhǔn)光滑序列,則其一階累加生成序列X(1)具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。一階累加生成序列的背景值Z(1)(k)=λx(1)(k)+(1-λ)x(1)·(k-1),背景值生成因子λ∈[0,1](一般取為0.5)。則可以構(gòu)造離散化的灰色差分方程
(1)
(2)
式中:k為參與建模的原始數(shù)據(jù)序列長度;p為預(yù)報的數(shù)據(jù)序列長度。
1.1.2 歷元間差分鐘差數(shù)據(jù)序列GM(1,1)
若原始數(shù)據(jù)序列本身呈準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律,取原始數(shù)據(jù)序列為X(1),一階累減生成序列(1-IAGO)為X(0),構(gòu)建灰色GM(1,1)模型。這種模型構(gòu)建方法可以在一定程度上消除原始鐘差序列趨勢項的影響,得到一組有效數(shù)字位數(shù)減少、便于進(jìn)行預(yù)處理的數(shù)據(jù)序列,當(dāng)差分?jǐn)?shù)據(jù)序列波動較為平穩(wěn)時,灰色GM(1,1)模型具有更高的預(yù)報精度[15]。
(4)
(7)
L-M算法是Gauss-Newton法與梯度下降法的結(jié)合,保證了全局最優(yōu)收斂,其算法原理如下。
從病犬主人口述,總結(jié)出造成犬患細(xì)小病毒病的幾個細(xì)節(jié)問題:提早出去遛狗,未打完所有免疫之前不要外出;喂大量肉食;免疫失敗,病痊愈后15~20 d后重新免疫;將食物扔在地上喂食;遛狗時沒有好的習(xí)慣,小狗亂聞、挖坑吃土之類。綜上所述,關(guān)于犬細(xì)小病毒的診治預(yù)防還需要各方面的積極配合,以降低本地區(qū)該病的發(fā)病率及死亡率。
將式(4)改為函數(shù)表達(dá)式f(t,α0,α1,β,x)=α0eα1(t-1)+β-x,其中t為數(shù)據(jù)序列時間節(jié)點,x為建模數(shù)據(jù)序列值,根據(jù)泰勒定理可得其一階展開式
f(t,α0+h(1),α1+h(2),β+h(3),x)?
(8)
進(jìn)一步,可建立f(t,α0,α1,β,x)的均值方差準(zhǔn)則函數(shù)L(h),即
L(h)=(h)T(h)/2=fTf+hTJTf/2+
hTJTJh/2,
(9)
h=-(JTJ+μI)-1JTf,
(10)
式中,μ為阻尼系數(shù),協(xié)方差矩陣(JTJ+μI)對稱正定,確保h代表f(x)的下降方向。
式(10)中,阻尼系數(shù)μ=τmax {diag(A)},A=JTJ,為設(shè)計矩陣,τ為阻尼系數(shù)變換因子。在迭代開始時,τ由用戶根據(jù)實際最優(yōu)化問題設(shè)定一個較小正值;在迭代過程中通過增益比ρ[15]進(jìn)行修正。
ρ=(2hTJTf+hTJTJh)hTμh-hTJTf,
(11)
τ(k+1)=
分析式(11),(12)可知,由于hTh和-hTJTf=hT(JTJ+μI)h均為非負(fù),則可以保證增益比ρ的分母一定非負(fù)。若ρ為正值,此時應(yīng)減小阻尼系數(shù)μ以增加迭代步長,一般取a=1/3,使下次迭代更接近Gauss-newton算法,發(fā)揮其局部收斂特性且加速收斂速度;若ρ為負(fù)值,此時應(yīng)增大阻尼系數(shù)μ,以減小迭代步長,一般取b=2,使下次迭代更接近梯度下降算法,發(fā)揮其全局特性并保證全局收斂[15]。施加阻尼系數(shù)μ既可以控制下降方向又可以控制下降步長,保證迭代的全局最優(yōu)收斂和較高的收斂速度。
基于L-M算法的基本原理與公式闡述,以下對其在GM(1,1)模型鐘差預(yù)報應(yīng)用中的流程進(jìn)行簡單描述,步驟如下。
(3)參數(shù)回代:將優(yōu)化后的參數(shù)回代時間響應(yīng)函數(shù),求解鐘差序列的擬合與預(yù)測值。
為驗證本文提出的基于L-M算法對GM(1,1)參數(shù)估計改進(jìn)的有效性,采用IGS發(fā)布的2018年5月6—7日采樣時間間隔15 min的精密衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真分析。該時間段內(nèi)在軌運行的星載原子鐘共分為4種類型,如表1所示,隨機(jī)選取每類衛(wèi)星中的一顆,本文選取PRN06、PRN07、PRN22和PRN24的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行實驗。
表1 不同原子鐘類型及對應(yīng)的衛(wèi)星編號Tab.1 Types of different atomic clock and corresponding satellite number
IGS服務(wù)器提供的超快速星歷產(chǎn)品更新周期為6 h,快速星歷產(chǎn)品更新周期為24 h。鑒于此,本文設(shè)計2種預(yù)報方案,使用IGS服務(wù)器提供的1 d精密星歷產(chǎn)品構(gòu)建模型。方案一:預(yù)報6 h的短期鐘差數(shù)據(jù);方案二:預(yù)報24 h的中期鐘差數(shù)據(jù)。比較分析2種方案下,本文所提LM-GM優(yōu)化模型與二次多項式模型(QP)和灰色模型(GM)鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報精度的差異,預(yù)報誤差統(tǒng)計比較結(jié)果如圖1和圖2所示。
由圖1和圖2可知,隨著預(yù)報時間的增加,3種預(yù)報模型的預(yù)報誤差均呈現(xiàn)增長趨勢。LM-GM優(yōu)化模型相較其余2種模型可以取得更高的預(yù)報精度,對于穩(wěn)定性較差的CS原子鐘的鐘差預(yù)報,GM模型和LM-GM模型可以取得比QP模型更高的預(yù)報精度。
進(jìn)一步,結(jié)合圖1、圖2和表 2進(jìn)行結(jié)果分析,可以得出如下結(jié)論:
(1)4顆衛(wèi)星原子鐘鐘差數(shù)據(jù)采用3種預(yù)報模型和2種預(yù)報方案,均可以滿足理想的預(yù)報精度要求。本文所提的參數(shù)估計優(yōu)化方法的灰色模型(LM-GM)在不同方案下的預(yù)報精度均優(yōu)于二次多項式模型(QP)和灰色模型(GM)的預(yù)報精度。對于6 h短期鐘差預(yù)報方案,LM-GM模型Rb原子鐘的預(yù)報精度均處于亞納秒量級,相較二次多項式模型,預(yù)報精度提高了0.4%~68.7%,相較灰色模型,預(yù)報精度提高了43.3%~83.3%;LM-GM模型Cs原子鐘的預(yù)報精度為1.876 6 ns,相較于QP模型的4.745 1 ns和GM模型的2.083 5 ns,預(yù)報精度提高了60.5%和10%;預(yù)報精度平均提高了48.5%。對于24 h中期鐘差預(yù)報方案,3種模型的預(yù)報精度均顯著降低,LM-GM模型Rb原子鐘的預(yù)報精度處于亞納秒至納秒量級之間,相較于二次多項式模型,預(yù)報精度提高了3%~61.3%,相較灰色模型,預(yù)報精度提高了35.2%~82.6%;LM-GM模型Cs原子鐘的預(yù)報精度為4.871 6 ns,相較于QP模型的17.202 2 ns和GM模型的5.119 4 ns,預(yù)報精度提高了71.7%和4.9%;預(yù)報精度平均提高了46.3%。
(2)由于Cs原子鐘短期穩(wěn)定性較差,星載Rb原子鐘的預(yù)報精度要明顯高于星載Cs原子鐘的預(yù)報精度。在進(jìn)行鐘差數(shù)據(jù)建模預(yù)測時,使用Rb原子鐘鐘差數(shù)據(jù)可以取得更高的預(yù)報精度。目前GPS衛(wèi)星系統(tǒng)搭載的原子鐘逐漸替換為Rb原子鐘,北斗導(dǎo)航系統(tǒng)全部搭載Rb原子鐘,這樣可以獲取到更為穩(wěn)定的原始鐘差數(shù)據(jù)和更精確的預(yù)報數(shù)據(jù),從而在精密單點定位、導(dǎo)航、授時等應(yīng)用中滿足用戶更高的需求。
圖1 方案一預(yù)報誤差結(jié)果對比Fig.1 Prediction error result comparison of scheme one
圖2 方案二預(yù)報誤差結(jié)果對比Fig.2 Prediction error result comparison of scheme two
圖3 L-M算法參數(shù)隨迭代過程的變化Fig.3 Parameter variation of L-M algorithm in iteration process
本文提出了一種基于L-M算法對灰色模型參數(shù)迭代優(yōu)化方法,該方法將灰色模型參數(shù)估值作為迭代初始值,通過L-M算法尋找出與原始數(shù)據(jù)最優(yōu)擬合的灰色模型參數(shù)估值,利用優(yōu)化的模型參數(shù)求解時間響應(yīng)函數(shù),提高了灰色模型的預(yù)報精度。結(jié)合IGS服務(wù)中心提供的精密鐘差數(shù)據(jù)產(chǎn)品進(jìn)行預(yù)報實驗,結(jié)果表明,相較傳統(tǒng)預(yù)報模型,改進(jìn)模型的預(yù)報精度均得到提升。6 h預(yù)報方案中,Rb原子鐘的預(yù)報精度處于亞納秒量級,Cs原子鐘的預(yù)報精度優(yōu)于2 ns;24 h預(yù)報方案中,Rb原子鐘的預(yù)報精度處于亞納秒至納秒量級,Cs原子鐘的預(yù)報精度優(yōu)于5 ns,能夠滿足目前導(dǎo)航定位對衛(wèi)星鐘差精度的要求。