定積分一個對稱性質(zhì)的推廣

李夢 詹毅

【摘要】本文用對稱性解釋了高等數(shù)學(xué)中的一個常見定積分等式，且從幾何體形變的觀點(diǎn)給出了這個等式的幾何意義，還推廣這個等式到更一般的兩個新形式，并運(yùn)用這個一般形式簡化較復(fù)雜定積分的計算.

【關(guān)鍵詞】對稱性;定積分;幾何意義

【中圖分類號】O177.5【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【基金項目】重慶工商大學(xué)教育教學(xué)改革研究項目（2019224）

一、引言

我們在解題時利用被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有的某些對稱性，往往能夠起到化繁為簡的作用，甚至能夠計算被積函數(shù)沒有初等原函數(shù)的某些定積分.本文關(guān)注高等數(shù)學(xué)中的一個常見等式∫π0xf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.這個等式一般是用變量代換加以證明的.首先，我們從對稱性的角度來推導(dǎo)這個等式.然后通過適當(dāng)?shù)淖冃?，等式的兩邊可以分別看作旋轉(zhuǎn)體的體積和柱體的體積，旋轉(zhuǎn)體的體積可用套筒法求得，從而獲得這個等式的幾何意義.最后給出這個等式更具一般性的新形式，并通過一個例子來說明推廣的一般形式在定積分計算中的應(yīng)用.

二、對稱性解釋及幾何意義

回顧函數(shù)奇偶性的幾個性質(zhì)：

1.若函數(shù)f（x）定義在區(qū)間[0，a]上，且有f（x）=f（a-x），則函數(shù)是關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)的偶函數(shù);

2.若有f（x）=-f（a-x），則函數(shù)是關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)的奇函數(shù);

3.奇函數(shù)乘偶函數(shù)是奇函數(shù).

比如，在[0，π]上f（sinx）是關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)的偶函數(shù).由定積分的幾何意義可知，若被積函數(shù)關(guān)于積分區(qū)間中點(diǎn)是奇函數(shù)，則定積分為0，如圖1所示.

圖1被積函數(shù)關(guān)于積分區(qū)間中點(diǎn)為奇函數(shù)

由f（sinx）在[0，π]上關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)是偶函數(shù)，π2-x在[0，π]上關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)是奇函數(shù)，可知π2-xf（sinx）在[0，π]上關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)是奇函數(shù)，從而由定積分的幾何意義可知

∫π0π2-xf（sinx）dx=0，

展開立得[1]

∫π0xf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.

（1）

（1）式在《微積分》《高等數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)分析》等教材中用來解決被積函數(shù)沒有初等原函數(shù)的某些定積分.在（1）式兩邊都乘2π，等式變?yōu)?/p>

∫π02πxf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.

上式的左邊可以看作是以直線x=0，x=π，曲線y=f（sinx）以及x軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積（旋轉(zhuǎn)體的體積用套筒法即得），如圖2，上式的右邊可以看作是以直線x=0，x=π，曲線y=f（sinx）以及x軸圍成的平面圖形為底，高為π2的柱體的體積，如圖3.

（1）式的幾何意義為：圖2的旋轉(zhuǎn)體沿著某條半徑切開可以展開為如圖3的柱體.

三、等式的一般形式及應(yīng)用

（1）式的結(jié)果可以進(jìn)一步推廣：

命題1設(shè)f（x）是定義在區(qū)間[0，a]上的可積函數(shù)，且是關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)的偶函數(shù)，則有

∫a0xf（x）dx=a2∫a0f（x）dx.（2）

證明作變換，t=a-x.注意到f（x）是關(guān)于區(qū)間[0，a]中點(diǎn)的偶函數(shù)，從而有f（t）=f（a-t），立得.

更一般地，有：

命題2設(shè)f（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的可積函數(shù)，且是關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)的偶函數(shù)，則有

∫baxf（x）dx=a+b2∫baf（x）dx.（3）

例1求定積分∫0-1xx2+x+1dx.

解一般解法是采用三角代換求解被積函數(shù)的原函數(shù).

∫xx2+x+1dx=∫xx+122+34dx，

令x+12=32tant，代入上式可得

∫xx+122+34dx

=34∫32tant-12sec3tdt

=34·32∫tantsec3tdt-34·12∫sec3tdt

=38sec3t-316secttant+∫sectdt

=38sec3t-316secttant+ln|sect+tant|+C，

由x+12=32tant可得

tant=2x+13，sect=2x2+x+13，

代入上式即得

∫xx2+x+1dx=13（x2+x+1）32-

14x+12x2+x+1+

34lnx+12+x2+x+1+C，

因此，

∫0-1xx2+x+1dx=-141+34ln3.

利用命題2可簡化計算.

另解：由命題2可知

∫0-1xx2+x+1dx=-12∫0-1x2+x+1dx，

令x+12=32tant，代入上式易得

∫x2+x+1dx=34∫sec3tdt

=38[secttant+ln|sect+tant|]+C.

把tant=2x+13，sect=2x2+x+13代入上式即得

∫x2+x+1dx=12x+12x2+x+1+

34lnx+12+x2+x+1+C，

同樣可得，

∫0-1xx2+x+1dx=-141+34ln3.

另外，若f（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的可積函數(shù)，但它關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)不具有奇偶性，但是

f（x）+f（a+b-x）=g（x）（3）

是一個關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)的偶函數(shù)，則易得下面的結(jié)論：

命題3設(shè)f（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的可積函數(shù)，f（x）+f（a+b-x）=g（x）是關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)的偶函數(shù)，則有

∫baf（x）dx=12∫bag（x）dx.（4）

證明令F（x）=f（x）-12g（x），可知

F（x）+F（a+b-x）

=f（x）-12g（x）+f（a+b-x）-

12g（a+b-x）=f（x）+f（a+b-x）-

12[g（x）-g（a+b-x）]=0.

最后一步由g（x）是關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)的偶函數(shù)以及f（x）+f（a+b-x）=g（x）得到.從而可知F（x）是關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)對稱的奇函數(shù)，積分即得結(jié)論.

例2求∫10xex+e1-xdx.

解令f（x）=xex+e1-x，易知f（1-x）+f（x）=1-xex+e1-x+xex+e1-x=1ex+e1-x是關(guān)于區(qū)間[0，1]中點(diǎn)上的偶函數(shù)，從而由（4）式可知

∫10xex+e1-xdx=12∫101ex+e1-xdx

=12∫10exe2x+edx

=12e∫10dexeexe2+1

=12earctane-arctan1e.

四、結(jié)論

本文用對稱性性質(zhì)重新推證一個定積分等式.在等式兩邊同乘2π后等式左右兩邊可以分別看作是旋轉(zhuǎn)體和柱體的體積，從而獲得這個等式的幾何意義.我們還導(dǎo)出這個等式的一般形式并運(yùn)用它來簡化某些定積分的計算.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（上冊）第二版[M].北京：高等教育出版社.2004.