橢圓曲線y2=(x+a)(x2-ax+p)的大整數(shù)點(diǎn)

冉銀霞

（隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅，成縣742500）

0 引 言

由于橢圓曲線理論集數(shù)論、代數(shù)、幾何和復(fù)變函數(shù)論為一體，它具有很強(qiáng)的實(shí)用性和應(yīng)用性。從丟番圖方程到密碼學(xué)，再到理論物理中的弦理論，都可以看到它的身影。尤其橢圓曲線理論在關(guān)于素性檢測、大數(shù)分解以及離散對數(shù)中的算法更使得橢圓曲線密碼(ECC)在近幾十年里成為密碼領(lǐng)域流行的標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語，并得到了十分廣泛的應(yīng)用。著名的費(fèi)馬大定理應(yīng)用了大量極為深奧的橢圓曲線理論而徹底解決。21世紀(jì)7 個千禧難題之一的BSD猜想，就是與橢圓曲線有理點(diǎn)有關(guān)的極具挑戰(zhàn)性的難題。同余數(shù)問題的本質(zhì)也與橢圓曲線的算術(shù)緊密相關(guān)。特別地，其本質(zhì)是橢圓曲線的BSD猜想和Goldfeld猜想。近50年來，確定橢圓曲線的整點(diǎn)問題就顯得非常重要，也是數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何中的重要問題[1-3]。

早在1987年，D.Zagier 在文獻(xiàn)[4]中詢問橢圓曲線y2=x3+ 27x-62的最大整數(shù)點(diǎn)是否為(28844402，154914585540)。它是橢圓曲線

中的一種。由于這是一類典型的秩等于1且有大整數(shù)點(diǎn)的一種橢圓曲線，所以該問題對于討論橢圓曲線的算術(shù)性質(zhì)有著重要的意義。因此，橢圓曲線整點(diǎn)問題對于在不同情況下構(gòu)造合適的橢圓曲線函數(shù)具有重要的理論意義及應(yīng)用前景。然而尋找其較大正整數(shù)解非常困難，其耗費(fèi)的時間可以用正整數(shù)的指數(shù)冪來計算。這樣一來針對不同的橢圓曲線解決的方法也有待探討與提高。且上述橢圓曲線的研究成果主要結(jié)果集中在：當(dāng)m=7，15，18，23,31，43，139，m=36s2-5，s為正奇數(shù)，且6s2－1，12s2+1均為素數(shù)，m=4p- 8=q+ 1,或m=2p- 8=q+1且p≡/ 1 (mod 8)時，已經(jīng)找到對應(yīng)橢圓曲線全部整數(shù)點(diǎn)[4-13]。

本文運(yùn)用初等方法，證明了下面的定理和推論。

1 主要引理

2 定理的證明

于是由引理1知(26)有整數(shù)解的充要條件是a只有形如8 1k± 的素因子，或a含有8 3k± 的素因子的個數(shù)為偶數(shù)。

(VII)當(dāng)d=8p時，可令

3 推論的證明

4 結(jié)論

文中運(yùn)用初等方法，主要通過構(gòu)造二元四次方程，利用奇偶分析、同余及模p的Legendre符號的性質(zhì)，巧妙地解決了一族橢圓曲線整點(diǎn)的求解問題，得到的結(jié)論填充了這類橢圓曲線研究成果的空白。其求解方法可應(yīng)用于其它類似方程的研究。找到的這族具有大整數(shù)點(diǎn)的橢圓曲線有很大的理論價值與很好的應(yīng)用前景。