銳角三角函數的應用題解答策略

何德林

摘 要：三角函數解答題是初中畢業(yè)升學考試必考題目，從兩方面闡述解答策略，第一，如何有效添加輔助線;第二，解題思路。

關鍵詞：輔助線;轉化思想;方程思想

銳角三角函數解答題部分是近幾年初中畢業(yè)升學考試數學科必考題目，每年都有一個解答題，它所處的位置是全卷的第21題或第22題，解答題部分的第3題或第4題，分值為10分或12分，難度屬于基礎題，但很多學生不會做，根本不知道從什么地方著手，特別題目中已知的某邊或某幾邊的值不能直接轉化在直角三角形中，也不知道怎樣設未知數，如何找等量關系，如何建立方程，下面談談對此類題的幾點想法。

一、如何有效添加輔助線是能否解答這類題型的前提

首先，我們要知道如何添加輔助線，通常有兩種方法：過某點作某邊的平行線或垂線。

其次是添加輔助線的目的：構造與已知條件（包括圖形中的角和邊）有關的三角形（大部分是直角三角形）或矩形。

如遵義2016年21題：某新農村樂園設置了一個秋千場所，如圖1所示，秋千拉繩OB的長為3m，靜止時，踏板到地面距離BD的長為0.6m（踏板厚度忽略不計）。為安全起見，樂園管理處規(guī)定：兒童的“安全高度”為hm，成人的“安全高度”為2m。（計算結果精確到0.1m）

（1）當擺繩OA與OB成45°夾角時，恰為兒童的安全高度，則h=1.5m。

（2）某成人在玩秋千時，擺繩OC與OB的最大夾角為55°，問此人是否安全？（參考數據：≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）

分析：過A點作AN⊥DO于N，過C點作CE⊥DO于E，過C點作CM⊥DF于M，則有CM=ED。

二、解題思路

這種類型的題只有兩種類型：即兩種解題思路。

首先，題目中已知的某邊或某幾邊的值可以直接轉化在直角三角形中，然后根據銳角三角函數的關系可以直接求出相應值.

如遵義2014年21題：如圖2所示，一樓房后有一假山，其坡度為：i=1∶，山坡坡面上E點處有一休息亭，測得假山坡腳C與樓房水平距離BC=25米，與亭子距離CE=20米。小麗從樓房頂測得E點的俯角為45°，求樓房AB的高。（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）

分析：題目中CE=20m為已知值，通過作EF⊥BC于CF，作AG∥BC，交FE的延長線于點G，可以將CE直接轉化在Rt△CEF中，從而直接求出相應值。

解：過E作EF⊥BC于F，過A作AG∥BC，交FE的延長線于G點

由題意可知：tan∠ECF=i===，

∴∠ECF=30° ?設EF=x

∴2x=20 ∴x=10 ∴EF=10，CF=10

由四邊形ABFG是矩形可得

AG=BF=BC+CF=25+10，AB=GF

在Rt△AGE中，EG=AG·tan∠GAE=（25+10）×1=25+10

∴AB=GF=EG+EF=（35+10）（米）

其次，題目中已知的某邊或某幾邊的值不能直接轉化在直角三角形中，這時需要設未知數，用方程的思想解答。而設未知數的技巧性非常高，優(yōu)先考慮設45°或30°角所對的直角邊為未知數，其主要目的是便于用所設未知數表示其他邊，再利用另外的一個已知角的銳角三角函數建立方程，從而求出相應值。

如遵義2015年第21題：如圖3是某兒童樂園為小朋友設計的滑梯平面圖.已知BC=4米，AB=6米，中間平臺寬度DE=1米，EN、DM、CB為三根垂直于AB的支柱，垂足分別為N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°。求DM和BC的水平距離BM的長度。（結果精確到0.1米，參考數據：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

分析：題目中DE=1，BC=4，AB=6為已知值，但不能將DE，BC，AB直接轉化在直角三角形中，因此學生不知道從什么地方著手，這時需要設未知數，并用所設未知數表示其他邊，再利用另外的一個已知角的銳角三角函數建立方程，用方程的思想解答，從而求出相應值。

解：設BM=x米

∵∠CDF=45°，∠CFD=90°，∴CF=DF=x米，

∴BF=BC-CF=（4-x）米 ∴EN=DM=BF=（4-x）米

∵AB=6米，DE=1米，BM=DF=x米，

∴AN=AB-MN-BM=（5-x）米

在△AEN中，∠ANE=90°，∠EAN=31°，

∴tan31°===0.6

即4-x=（5-x）×0.6 ? ?∴x=2.5

答：DM和BC的水平距離BM的長度為2.5米。

解答任何問題，關鍵都在于找準方法，掌握技巧。同學們通過本課的學習，會發(fā)現，只要我們掌握了如何有效添加輔助線，將已知條件轉化在直角三角形或矩形或梯形中，再恰當地設出未知數，建立方程，從而就能有效解答銳角三角函數有關的解答題。

參考文獻：

[1]丁銀杰.“銳角三角函數”課本習題拓展探究[J].初中生世界，2014（7）：20-21.

[2]蔡秀月.求解銳角三角函數值策略探討[J].讀書文摘，2016（12）.