淺談常微分方程在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用及其數(shù)值模擬

史詩潔 呂羽 張紅梅

[摘 要]常微分方程是重要的數(shù)學(xué)理論，在實(shí)際中具有廣泛的應(yīng)用，也是數(shù)學(xué)建模的重要理論之一?；谂囵B(yǎng)“應(yīng)用型”“創(chuàng)新型”人才的實(shí)際需求，結(jié)合實(shí)際問題—人口預(yù)測問題，分析在數(shù)學(xué)理論的課堂教學(xué)中，如何將理論知識應(yīng)用于實(shí)際問題中，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)理論的實(shí)際應(yīng)用，加深學(xué)生的理解與記憶;以及在數(shù)學(xué)建模課堂的教學(xué)中，如何選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容，使學(xué)生快速掌握建模方法。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)模型;常微分方程;分離變量法;人口模型;數(shù)值模擬

[基金項目]2018年度深圳技術(shù)大學(xué)教改研究項目“數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)的探索”（2018.11：2018105101035）;2018年度深圳技術(shù)大學(xué)教改研究項目“新工科背景下基于LEGO Mindstorms機(jī)器人系統(tǒng)的大學(xué)計算機(jī)基礎(chǔ)課程創(chuàng)新教學(xué)的研究”（2018.11：2018105101031）;2020年度深圳技術(shù)大學(xué)教改研究項目“面向應(yīng)用型人才的啟發(fā)與實(shí)踐有機(jī)結(jié)合的數(shù)學(xué)教學(xué)新模式探究”（2020.01：202018666601012）

[作者簡介]史詩潔（1990—），女，廣東汕頭人，博士，深圳技術(shù)大學(xué)大數(shù)據(jù)與互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院講師，主要從事趨化系統(tǒng)解的性態(tài)研究;呂 羽（1983—），男，廣東深圳人，博士，深圳技術(shù)大學(xué)大數(shù)據(jù)與互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院副研究員，主要從事機(jī)器學(xué)習(xí)算法研究;張紅梅（1973—），女，黑龍江齊齊哈爾人，博士，深圳技術(shù)大學(xué)大數(shù)據(jù)與互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科和應(yīng)用學(xué)科的教學(xué)和研究工作。

[中圖分類號] G642;O13-4 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-9324（2020）45-0-02 [收稿日期] 2020-05-19

一、引言

數(shù)學(xué)是科技發(fā)展的重要理論基礎(chǔ)，在高等教育中占有重要的地位。其中，常微分方程是大部分理工專業(yè)的必修課程。客觀世界是實(shí)時變化的，常微分方程正是描述這種變化規(guī)律的主要工具。在高等教育中，使學(xué)生掌握理論知識只是最基本的要求，而理論的實(shí)際應(yīng)用才是最終目的。本文以常微分方程[1]中最基本的類型—可分離變量方程為例，結(jié)合人口模型，說明如何將常微分方程理論應(yīng)用于實(shí)際問題。對于大學(xué)理工科一年級的學(xué)生，該模型所需的預(yù)備知識以及求解方法是他們在高等數(shù)學(xué)的課堂中剛剛結(jié)束學(xué)習(xí)以及正在學(xué)習(xí)的內(nèi)容，印象深刻，比較容易理解和掌握，因此學(xué)生的注意力將完全集中到整個建模的流程上，快速理解數(shù)學(xué)建模的目的，以及所學(xué)的數(shù)學(xué)理論在數(shù)學(xué)建模和實(shí)際問題中的應(yīng)用價值。

二、常微分方程基礎(chǔ)理論

若一階微分方程F（x，y，y）=0可寫f （x）dx=g（y）dy，則稱為可分離變量方程。可分離變量方程的名稱中隱含其求解方法：

首先，對方程進(jìn)行變量分離，即將兩個變量x和y分別歸攏到等式兩側(cè)，得

其次，對（1）式等號兩側(cè)同時積分，得到

若等號兩側(cè)的積分都存在，則（1）有隱式通解F（x）=G（y）+C，其中C是積分常數(shù)。

三、微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

常微分方程的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，無論在基礎(chǔ)科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)和社會科學(xué)中都可以找到常微分方程的影子，例如：電磁學(xué)，流體力學(xué)，海洋動力學(xué)，控制科學(xué)等。本文以社會科學(xué)中的人口預(yù)測問題為例，說明其應(yīng)用。

1798年，英國人口學(xué)家馬爾薩斯提出了馬爾薩斯（Malthus）人口模型[2，3]

其中x（t）表示t時刻人口，r表示人口增長率。顯然上式是可分離變量方程，可以解得

x（t）dx=x（0）ert

上式表明，自然增長率r一旦取定，按馬爾薩斯模型預(yù)測的人口數(shù)將以指數(shù)形式增長，如圖1所示，這顯然與實(shí)際情況是相悖的。這是源于馬爾薩斯認(rèn)為生產(chǎn)資料對人口增長的限制是“彈性”的，因此人口增長率基本維持在一個穩(wěn)定水平[3]。然而，人口增長數(shù)不僅受限于資源，還受環(huán)境承載力的影響，包括國家政策，地理環(huán)境，經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，生態(tài)環(huán)境等。

其中，M為最大人口容量，為人口增長率。這同樣是一個可分離變量方程，其解為

基于Malthus模型與Logistic模型對1949—2020年全國人口數(shù)的預(yù)測以及實(shí)際人口數(shù)[6]，本文運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖2所示。可以看出，Logistic模型自始至終可以準(zhǔn)確預(yù)測實(shí)際的人口數(shù)量，而Malthus模型在1980年以后逐漸偏離實(shí)際的人口數(shù)，而且趨勢是無限上升，與實(shí)際情況相悖。在實(shí)際的課堂教學(xué)中，通過這個例子讓學(xué)生明白要解決實(shí)際問題，需要考慮實(shí)際情況中的影響因素，建立實(shí)用的數(shù)學(xué)模型。

雖然從圖2中還可以看到，至目前為止（2020年），Logistic模型可以準(zhǔn)確預(yù)測實(shí)際的人口數(shù)量，但是隨著社會的進(jìn)步，人們對人口數(shù)量發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識不斷加深，人口發(fā)展問題還應(yīng)考慮其他因素的影響，例如生育率、性別比例、社會年齡結(jié)構(gòu)、環(huán)境承載力、生活必需品等?？紤]到上述因素的影響，Logistic模型中還存在哪些不足？在課程結(jié)束時，可以引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，并通過改進(jìn)模型來解決問題。這也是我們開設(shè)數(shù)學(xué)模型課程的初衷。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第7版.北京：高等教育出版社， 2014：303.

[2]姜啟源.數(shù)學(xué)建模[M].第5版.北京：高等教育出版社，2005：141.

[3] [英]馬爾薩斯.人口原理[M].朱泱，等，譯.北京：商務(wù)印書館， 1992：1.

[4]王學(xué)保，蔡果蘭.Logistic模型的參數(shù)估計及人口預(yù)測[J].北京工商大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009（27）：75-78.

[5]顧樵.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：科學(xué)出版社，2015：2.

[6]國家統(tǒng)計局[DB/OL].http：//data.stats.gov.cn/index.htm.

The Application of Ordinary Differential Equation and Its Numerical Simulation in Mathematical Model：

Taking Population Model as an Example

SHI Shi-jie， L? Yu， ZHANG Hong-mei

（College of Big Data and Internet， Shenzhen Technology University， Shenzhen， Guangdong 518118， China）

Abstract： Ordinary differential equation is an important field in mathematics， which is widely used in practice， and is also one of the important theories of mathematical modeling. Based on the needs of applied universities to cultivate "applied" and "innovative" talents， this paper introduces a method about applying theoretical knowledge to practical problems in mathematical classes， which helps students to understand the practical application of mathematical theory， and deepens their understanding and memory. Moreover， this paper also introduces how to choose the appropriate content to make students master the modeling method quickly in the mathematical modeling class. For more details， the authors choose the population model as an application example mainly because the modeling principle of the model is simple and the method is intuitive.

Key words： mathematical modeling; ordinary differential equation; separation of variables; population model; numerical simulation