2019天津中考數(shù)學18題解法

房瑞 密恩慧

正方形網(wǎng)格作圖已經(jīng)在天津市中考數(shù)學中興起已經(jīng)好幾年了，19年前都沒有和圓結(jié)合，但在2019年中考中如期而至。

筆者拿到題一時之間無法找到思路，只能借助于標答了解出題人的考察的內(nèi)涵，并得益于和平教研室對18題的教研，聆聽了老師們的分析，但是對于第三點還是沒有得到論證的方法，引發(fā)筆者探索欲望，有了以下結(jié)論。

【題目呈現(xiàn)】

18.如圖，在每個小正方形得邊長為1得網(wǎng)格中，△ABC的頂點A在格點上，B是小正方形邊的中點，∠ABC=50°，∠BAC=30°，經(jīng)過點A、B的圓的圓心在邊AC上.

（1）線段AB的長等于?????? ;

（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，

畫出一個點P，使其滿足∠PAC=∠PBC=∠PCB，

并簡要說說明點P的位置是如何找到的

（不要求證明）

【思路呈現(xiàn)】

方法一：試卷標答

如圖，取圓與網(wǎng)絡線的交點E、F，連接EF與AC

相交，得圓心O;AB與網(wǎng)絡線相交與點D，連接

QC并延長，與點B，O的連線BO相交于P，連接AP，

則點P滿足∠PAC=∠PBC=∠PCB.

此時設∠PAC=∠PBC=∠PCB=x，

在△OCP中，∠COP=60°，∠PCO=100°-x，∠CPO=2x

∴60°+100°-x+2x=180°，x=20°，

即∠PAC=∠PBC=∠PCB=20°.

其實根據(jù)對稱性，可直接求出這三個角的度數(shù)，如圖所示：

由題可以知道△AOB和△DOB關(guān)于直線OB對稱，

得到∠OAB=∠OBA=∠OBD=∠ODB=30°∠AOE=∠BOE=∠DOF=∠???? BOF=60°

∴∠CBD=∠CDB=10°

∴∠ODC=20°根據(jù)對稱性得到∠PAC=∠ODP=∠PBC=∠PCB=20°

又可以得到此網(wǎng)格題其實是有這個模型聯(lián)想到右圖：

△ADB是等邊三角形，O為其中心，OA，OD所在直線是此三角形的對稱軸，

由對稱性得到所要的

∠PAC=∠ODP=∠PBC=∠PCB=20°

方法二：

記方法一中的點為P₁

利用幾何畫板可以找到另外兩個異與點P的點，也滿足∠PAC=∠PBC=∠PCB.

且都在△ABC外部，其中一個在圓上，另一個在園內(nèi)，分別記為P₂P₃.

P₂作圖步驟：

在作出P1的基礎上連接A P₁于AB中垂線交于點D，

連接CD并延長交圓于P₂.

此時設∠PAC=∠PBC=∠PCB=x，

在△APC中，

∠APC=180°-x-（100°-x）=80°，∠APC+∠BPC=120°，

∴∠BPC=40°

∴x=70°，即∠PAC=∠PBC=∠PCB=70°（其實可以直接得到∠PCB=70°）

方法三：

P₃作圖步驟：

再求P₃時可以先求出∠PAC=∠PBC=∠PCB的值，此時設∠PAC=∠PBC=∠PCB=x，發(fā)現(xiàn)ABCP四點共圓，∠CAP=∠PAB=x=15°，即作∠BAC的平分線，相當于

作∠BAC縮對弧或弦的中點，即過O作AB的平行線。

先延長AB至格點N，延長AC至M， 鏈接MN，

構(gòu)造直角三角形，與MN交于點Q，Q為MN中點，

鏈接OQ與圓交于點E，鏈接?????? AE與P₁P₂延長線交于P₃，P₃即為所求。

說明：因為根據(jù)幾何畫板得到∠PAC=∠PBC=∠PCB=15°，此時P₁P₂所在直線為BC的垂直平分線，即求∠CAB平分線與P₁P₂交點，作∠CAB平分線就是點A與∠COB平分線與弧BM的交點E的連線AE，關(guān)鍵E怎么找？構(gòu)造等腰△MAN，再找到MN中點Q即可，Q點怎么找？因為BM⊥AN，所以過BN中點H作BN垂線HT與MN交點Q即為所求。也就是△HKT≌△NRH，HT與MN交于點Q，則HQ為△MBN中位線，Q為MN中點。連接OQ與弧BM交點就是E。連接AE與P₁P₂交點為P₃.

19年中考數(shù)學18題，全天津市沒有一個同學得滿分，經(jīng)過思考有了以上3種作圖方法，其中第三問是本人思考的結(jié)果，如有更好更多的解題方法，歡迎探討研究。

（作者單位：天津港保稅區(qū)空港學校）