規(guī)劃數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)地圖” 助力學(xué)習(xí)力生長

摘 要：在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)注重規(guī)劃學(xué)生整體學(xué)習(xí)的路徑，即從課前、課中及課后進(jìn)行思維導(dǎo)學(xué)，重視整體學(xué)習(xí)流程，規(guī)劃學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)路徑即“學(xué)習(xí)地圖”，使學(xué)生明確目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的有效路徑。文章以“同角三角函數(shù)”教學(xué)為例，從設(shè)計(jì)自主學(xué)習(xí)，穩(wěn)固思維基礎(chǔ);組織合作探討，發(fā)展思維能力;多向?qū)υ捊涣?，提升思維能力;共同挑戰(zhàn)難點(diǎn)，拓展學(xué)習(xí)能力等方面，淺談如何規(guī)劃“學(xué)習(xí)地圖”，提升學(xué)生以思維力為核心的學(xué)習(xí)力。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)地圖;思維力;學(xué)習(xí)力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展?！边@一基本理念。在教學(xué)實(shí)踐中，我們常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生的預(yù)備知識(shí)預(yù)習(xí)不到位，在課堂問題討論時(shí)簡單低效，大部分學(xué)生在交流互動(dòng)中只愿意做傾聽者……為實(shí)現(xiàn)新課程理念，需要我們教師重視整體學(xué)習(xí)流程，規(guī)劃學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)路徑即“學(xué)習(xí)地圖”，使學(xué)生明確目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的有效路徑。文章就高中教學(xué)實(shí)踐中，淺談如何規(guī)劃“學(xué)習(xí)地圖”，提升學(xué)生以思維力為核心的學(xué)習(xí)力，以期拋磚引玉。

一、 設(shè)計(jì)自主學(xué)習(xí)，穩(wěn)固思維基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立是數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)。學(xué)生的有效學(xué)習(xí)從自主學(xué)習(xí)開始，包括復(fù)習(xí)與本節(jié)課相關(guān)的學(xué)習(xí)過的相關(guān)內(nèi)容、預(yù)習(xí)本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。當(dāng)學(xué)生完成充分的預(yù)習(xí)之后，學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容有了思維基礎(chǔ)，再通過課堂上對(duì)問題的討論交流及老師在課堂上對(duì)問題的點(diǎn)撥講解，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的理解與掌握。

《同角三角函數(shù)關(guān)系》的學(xué)習(xí)單中預(yù)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)如下：

一、 預(yù)備練習(xí)

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角α的終邊上任意一點(diǎn)P（x，y），設(shè)OP=r，則r= ? ?，sinα= ? ?，cosα= ? ?，tanα= ? ?。

（2）設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，則用角α的三角函數(shù)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ? ?。

（3）如圖1，請(qǐng)畫出角α正弦線、余弦線、正切線。

二、 基礎(chǔ)練習(xí)

1. 已知sinα=45且α為銳角，求cosα，tanα的值。

2. 已知sinα=45且α為第二象限角，求cosα，tanα的值。

基于以上預(yù)備練習(xí)及基礎(chǔ)練習(xí)的“學(xué)習(xí)地圖”設(shè)計(jì)的流程為：

在小組互助研究以上問題的過程中，問題主要集中在解決第二小題的方法。在實(shí)踐中，請(qǐng)了兩個(gè)小組的同學(xué)上黑板書寫了解答過程：

方法一：取點(diǎn)求解。取角α的終邊上一點(diǎn)P（-3，4），則OP=5，所以cosα=-35=-35，tanα=4-3=-43。

方法二：用定義求解。設(shè)角α的終邊上任意一點(diǎn)P（x，y）（x<0，y>0），則OP=r=x2+y2，因?yàn)閟inα=45=yr，所以x=-34y，r=54y，所以cosα=xr=-35，tanα=yx=-43。

學(xué)生通過完成以上預(yù)習(xí)練習(xí)及課堂上的活動(dòng)，溫習(xí)了任意角的三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)值的幾何表示，嘗試解決“知一求二”的求值問題，以此鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。學(xué)生能夠自主解決大部分問題，為課堂上集中精力解決預(yù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的問題打下思維基礎(chǔ)。學(xué)生的預(yù)習(xí)設(shè)計(jì)除了一節(jié)課的設(shè)計(jì)之外，還需培養(yǎng)學(xué)生的周預(yù)習(xí)、學(xué)期預(yù)習(xí)，對(duì)即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行章節(jié)的整體系統(tǒng)預(yù)習(xí)，了解即將學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容，初步了解數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵問題，為上課做好充分的準(zhǔn)備。學(xué)生的這種自學(xué)能力能夠在潛移默化中不斷增強(qiáng)，為今后的終身學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

二、 組織合作探討，發(fā)展思維能力

時(shí)代與社會(huì)對(duì)人的發(fā)展提出新的要求，教育也緊跟著時(shí)代的步伐在不斷進(jìn)步與變革。根據(jù)美國緬因州國家訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)室的研究成果學(xué)習(xí)金字塔理論，學(xué)習(xí)效果兩周以后保持率在50%及以上的討論、實(shí)踐、教授給他人三種學(xué)習(xí)方式，都是團(tuán)隊(duì)、主動(dòng)和參與式的學(xué)習(xí)方式。課堂中的思維導(dǎo)學(xué)，需要充分發(fā)揮學(xué)生主體性的多樣化的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生在合作探究學(xué)習(xí)的過程中，可以深入地多角度理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，使他們?cè)诮窈竺鎸?duì)實(shí)際問題時(shí)，能更加容易地激活所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，并能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題。也只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是積極主動(dòng)的，才能夠真正激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)力。

《同角三角函數(shù)關(guān)系》的學(xué)習(xí)單中探究任務(wù)設(shè)計(jì)如下：

探究1：sinα與cosα兩者有什么關(guān)系？

探究2：tanα與sinα、cosα之間有什么關(guān)系？

基于以上探究問題的“學(xué)習(xí)地圖”設(shè)計(jì)的流程為：

通過預(yù)備知識(shí)的溫習(xí)及基礎(chǔ)練習(xí)的準(zhǔn)備，學(xué)生在自主思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組合作探究學(xué)習(xí)，從數(shù)量關(guān)系及幾何關(guān)系兩個(gè)角度進(jìn)行問題的剖析，并自行建立同角三角函數(shù)的關(guān)系。教師從知識(shí)的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)意義建構(gòu)的促進(jìn)者，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式由以往的被動(dòng)接受學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)為自主探索及發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，使學(xué)習(xí)真正成為學(xué)生的自主活動(dòng)，使學(xué)生成為知識(shí)的主動(dòng)構(gòu)建者。學(xué)生經(jīng)歷共同發(fā)現(xiàn)、自主探究，感受到了成功的喜悅，獲得了成功的體驗(yàn)，拓展了學(xué)習(xí)與生活的思維空間，逐步完善個(gè)人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維方式，提升了學(xué)生的生命價(jià)值和意義。

三、 多向?qū)υ捊涣?，提升思維能力

課堂上師生之間及生生之間的多向交流互動(dòng)，能夠改變被動(dòng)、單項(xiàng)的交流方式，從而提高課堂學(xué)習(xí)效率。在教學(xué)實(shí)踐中開展真正意義上的對(duì)話學(xué)習(xí)，建立生生對(duì)話機(jī)制，可采用培養(yǎng)“小老師”。因?yàn)槊總€(gè)學(xué)生都有自己的特長和優(yōu)勢，努力使每個(gè)學(xué)生都成為“小老師”，既可以在小組內(nèi)負(fù)責(zé)對(duì)話活動(dòng)，也可以在展示點(diǎn)評(píng)時(shí)展示組內(nèi)同學(xué)對(duì)問題的理解的方式方法、解題過程、典型的錯(cuò)誤，同時(shí)還可以在課外負(fù)責(zé)該組的學(xué)習(xí)計(jì)劃的制定及學(xué)習(xí)對(duì)話活動(dòng)等。教師的主導(dǎo)作用，體現(xiàn)在培養(yǎng)優(yōu)秀學(xué)生成為真正的“小老師”，建立“小老師”培養(yǎng)機(jī)制，鼓勵(lì)并培養(yǎng)成績優(yōu)秀的學(xué)生人人當(dāng)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生的“老師”。教師運(yùn)用啟發(fā)性的言語引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步的深層次的思考，最終形成問題的解決的規(guī)律、數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示、思維的優(yōu)化與拓展，提升思維能力。

《同角三角函數(shù)關(guān)系》的學(xué)習(xí)單中探究問題的對(duì)話“學(xué)習(xí)地圖”設(shè)計(jì)流程為：

在實(shí)踐教學(xué)過程中，請(qǐng)了兩組同學(xué)展示討論的結(jié)果。

組1：取α=π6，則sinα=12，cosα=32，猜想sin2α+cos2α=1。證明如下：由三角函數(shù)的定義，OP=r=x2+y2，sinα=yr，cosα=xr，所以sin2α+cos2α=y2r2+x2r2=y2+x2r2=r2r2=1，tanα=yx=yrxr=sinαcosα。

師：組1的同學(xué)從特殊的角的三角函數(shù)值的關(guān)系猜想后，利用定義進(jìn)行了證明。非常好！在證明過程中，我們主要用了怎樣的思想方法呢？請(qǐng)大家一起進(jìn)行總結(jié)。

生：主要是將r消去，用了消元的思想方法。

組2：回顧了預(yù)備練習(xí)中，我們還可將三角函數(shù)進(jìn)行幾何表示，并從幾何圖形中得到兩組關(guān)系。（圖略）

師：組2同學(xué)在單位圓中直觀地得到了以上兩組關(guān)系，充分利用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，非常到位！

在由兩組代表展講的過程中，不參加展講的同學(xué)要求做到“記、思、論、評(píng)”，從而成為智慧的參與者。在整個(gè)對(duì)話學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了三角函數(shù)公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生建立了數(shù)與形結(jié)合研究問題的基本思想方法，同時(shí)也是數(shù)學(xué)抽象的過程。學(xué)生在這一過程中學(xué)會(huì)了怎樣從具體的數(shù)量關(guān)系中尋找一般規(guī)律，幫助學(xué)生積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題及方法，逐步養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式來解決問題，從而提升了思維力，進(jìn)一步提升學(xué)習(xí)力。

四、 共同挑戰(zhàn)難點(diǎn)，拓展學(xué)習(xí)能力

對(duì)已學(xué)知識(shí)的分析與拓展應(yīng)用時(shí)，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)各種學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生創(chuàng)造規(guī)律、積極創(chuàng)新、自行變式，從而感受數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的魅力，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，讓數(shù)學(xué)課堂變成創(chuàng)造的過程與場所。運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律編制符合學(xué)生認(rèn)識(shí)的練習(xí)題，使學(xué)生在挑戰(zhàn)這些問題時(shí)，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展，規(guī)律的創(chuàng)造，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，拓展學(xué)習(xí)能力。

《同角三角函數(shù)關(guān)系》的學(xué)習(xí)單中挑戰(zhàn)練習(xí)設(shè)計(jì)如下：

例1 （基礎(chǔ)練習(xí)2）已知sinα=45，且α為第二象限角，求cosα，tanα的值。

例2 已知tanα=34，求sinα，cosα的值。

以上拓展例題及變式的“學(xué)習(xí)地圖”設(shè)計(jì)流程為：

預(yù)設(shè)變式1：已知sinα=45，求cosα，tanα的值。

預(yù)設(shè)變式2：已知2sinα+cosα=1，可以求什么？

這一流程中，學(xué)生經(jīng)歷了“實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)”的過程，是自我認(rèn)識(shí)的不斷肯定與升華的過程。教師在引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用中不斷領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的思想方法，讓學(xué)生嘗試從特殊問題的解決中得到解決問題的規(guī)律，并提供比較復(fù)雜的問題給學(xué)生作為課后挑戰(zhàn)練習(xí)，最后共同歸納總結(jié)這些問題解決的規(guī)律。

總之，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要有效、科學(xué)地設(shè)計(jì)思維導(dǎo)學(xué)的“學(xué)習(xí)地圖”，設(shè)計(jì)好課堂教學(xué)的關(guān)鍵問題，變革陳舊的學(xué)習(xí)方式，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力，從而推動(dòng)課堂學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，最終落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育。

參考文獻(xiàn)：

[1]房超平.思維第一 全面提升學(xué)習(xí)力[M].北京：科學(xué)教育出版社，2018.

作者簡介：

宋建祥，江蘇省蘇州市，江蘇省震澤中學(xué)。