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    中心對(duì)稱圖形的深入討論以及對(duì)“負(fù)零”的再理解

    2020-12-23 04:19:54胡力文
    教育教學(xué)論壇 2020年47期

    [摘 要]文章前半部分通過層層深入,得到了關(guān)于中心對(duì)稱圖形的一個(gè)結(jié)果(定理1),在解決問題過程中獲得的引理1和引理2的結(jié)論與證明也是很有意義的。文中后半部分利用近世代數(shù)作為工具,對(duì)“負(fù)零”進(jìn)行再理解,證明了“負(fù)零表示零的相反數(shù),負(fù)零等于零”確實(shí)是真命題(定理3)。

    [關(guān)鍵詞]中心對(duì)稱圖形;對(duì)稱中心;負(fù)零;負(fù)元;相反數(shù);近世代數(shù)

    [作者簡(jiǎn)介]胡力文(1984—),男,安徽蕭縣人,碩士,中學(xué)二級(jí)教師,國家二級(jí)心理咨詢師,研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育。

    [中圖分類號(hào)] G632.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324(2020)47-0-03[收稿日期] 2020-09-10

    一、問題背景

    在中學(xué)數(shù)學(xué)里,有一些看似簡(jiǎn)單、實(shí)則可以深入挖掘的內(nèi)容,比如負(fù)號(hào)的確切含義、代數(shù)式中字母所表示的內(nèi)容、因式分解等等,在參考文獻(xiàn)[1][2]中都有所涉及。這篇文章繼續(xù)前面的話題,首先討論圖形的運(yùn)動(dòng)。在初中平面幾何里,我們學(xué)習(xí)了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形,并且知道某些軸對(duì)稱圖形有不止一條對(duì)稱軸,關(guān)于中心對(duì)稱圖形卻沒有類似的分析展開。接下去我們自然要問:中心對(duì)稱圖形可以有不止一個(gè)對(duì)稱中心嗎?另外,參考文獻(xiàn)[1]里面提到“-0表示0的相反數(shù),-0=0”這樣一個(gè)結(jié)論,很多中學(xué)數(shù)學(xué)老師一定會(huì)問:該結(jié)論靠譜嗎?它的理論依據(jù)是什么?文章將對(duì)前面提出的兩個(gè)問題進(jìn)行深入討論,并給出準(zhǔn)確合理的解答。

    二、關(guān)于中心對(duì)稱圖形的深入討論

    滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)的平面幾何部分提到了三種圖形運(yùn)動(dòng)—平移、旋轉(zhuǎn)、翻折,以及三種對(duì)稱圖形—旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形。在下文所要討論的話題中有如下幾個(gè)概念:

    定義1 在平面內(nèi),圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)按照某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定大小的角α,這樣的運(yùn)動(dòng)叫作圖形的旋轉(zhuǎn)(rotation)。這個(gè)定點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心(center of rotation),角α叫作旋轉(zhuǎn)角(rotation angle)(0°<α<360°)(參看參考文獻(xiàn)[3])。

    定義2 如果一個(gè)圖形繞著所在平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,能與原圖形重合,那么這個(gè)圖形叫作中心對(duì)稱圖形(central symmetric figure),這個(gè)點(diǎn)叫作對(duì)稱中心(center of symmetry)(參看參考文獻(xiàn)[3])。

    定義3 把一個(gè)圖形沿某一條直線翻折過來,直線兩旁的部分能夠相互重合,這個(gè)圖形叫作軸對(duì)稱圖形(axial symmetric figure),這條直線就是它的對(duì)稱軸(axis of symmetric)(參看參考文獻(xiàn)[3])。

    在常規(guī)教學(xué)當(dāng)中,我們學(xué)習(xí)了許多軸對(duì)稱圖形的實(shí)例,并且研究了它們對(duì)稱軸的條數(shù),比如等腰(非等邊)三角形有1條對(duì)稱軸、等邊三角形有3條對(duì)稱軸、矩形有2條對(duì)稱軸、菱形有2條對(duì)稱軸、正方形有4條對(duì)稱軸、等腰梯形有1條對(duì)稱軸、圓有無數(shù)條對(duì)稱軸……不難發(fā)現(xiàn),這些圖形的對(duì)稱軸既可能只有1條,也可能有多條,甚至有無數(shù)條。

    我們同樣學(xué)習(xí)了很多中心對(duì)稱圖形的實(shí)例,比如平行四邊形有1個(gè)對(duì)稱中心、矩形有1個(gè)對(duì)稱中心、菱形有1個(gè)對(duì)稱中心、正方形有1個(gè)對(duì)稱中心、圓有1個(gè)對(duì)稱中心……巧合的是,上面所舉的圖形的對(duì)稱中心都只有1個(gè)!

    現(xiàn)在問題來了:是不是所有的中心對(duì)稱圖形都只有1個(gè)對(duì)稱中心?如果不是,可以舉出實(shí)際例子嗎?

    如果我們把思路局限在特殊多邊形和圓這些常規(guī)的有界圖形上,似乎找不到它們的第二個(gè)對(duì)稱中心。跳出有界“形”的框架,我們仔細(xì)回憶一下,從六年級(jí)到九年級(jí)還學(xué)過哪些圖形?原來在參考文獻(xiàn)[4]第七章《線段與角的畫法》當(dāng)中,我們學(xué)習(xí)了直線、射線、線段、角這么多不用“形”來命名的圖形啊,而且直線、射線、角都是無界的!回到前面關(guān)于對(duì)稱中心的問題,不難發(fā)現(xiàn)直線和線段都是中心對(duì)稱圖形,并且直線上每一點(diǎn)都是該直線的對(duì)稱中心,也就是說一條直線有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心!

    除了直線,還有哪些圖形有多于一個(gè)的對(duì)稱中心?稍微動(dòng)動(dòng)腦筋,把直線“改裝”一下,虛線能不能滿足我們的要求?事實(shí)上,“實(shí)”的部分等長(zhǎng)、“虛”的部分也等長(zhǎng)的虛線(當(dāng)然“實(shí)”的部分和“虛”的部分不需要一樣長(zhǎng))就有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心,每一段“實(shí)”的部分的中點(diǎn)和每一段“虛”的部分的中點(diǎn)都是該虛線的對(duì)稱中心。類似地我們可以舉很多例子,比如平面直角坐標(biāo)系中的“網(wǎng)格”{(x,y)|x,y中至少有一個(gè)是整數(shù)}、向四周無限伸展的國際象棋棋盤、甚至整個(gè)平面R2……這些圖形的對(duì)稱中心個(gè)數(shù)都是+∞。把討論的內(nèi)容總結(jié)一下,我們就得到了下面的結(jié)論:

    命題1 一個(gè)中心對(duì)稱圖形可以有一個(gè)或無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心。

    命題1給出了一個(gè)中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心個(gè)數(shù)的兩種可能:1、+∞。我們自然要問:有沒有第三種可能,能否舉出實(shí)例?經(jīng)過仔細(xì)思考其實(shí)不難發(fā)現(xiàn),命題1給出的兩種可能已經(jīng)包含了所有的情況。為了把問題說清楚,我們需要證明下面兩個(gè)引理:

    引理1 如果一個(gè)中心對(duì)稱圖形Ω有兩個(gè)不同的對(duì)稱中心A、B,那么A關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)C以及B關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)D都是Ω的對(duì)稱中心。

    證明:不失一般性,以A為原點(diǎn)AB為x軸正向單位線段按右手系建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),從而C(2,0)。設(shè)P1(a,b)是圖形Ω上的任意一點(diǎn),我們希望證明C(2,0)是Ω的對(duì)稱中心,也就是P1關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)P(-a+4,-b)∈Ω。

    事實(shí)上,由對(duì)稱中心的定義可得,P1關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)P2(-a+2,-b)∈Ω,P2關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)P3(a-2,b)∈Ω,P3關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)P4(-a+4,b)∈Ω,即P (-a+4,b)∈Ω,這就是我們所要證明的。所以C(2,0)是Ω的對(duì)稱中心。

    由于A和B是Ω的任意兩個(gè)對(duì)稱中心,因此我們同樣可以以B為原點(diǎn)BA為x軸正向單位線段按右手系建立平面直角坐標(biāo)系,按照前面完全相同的做法就能證得D是Ω的對(duì)稱中心。證畢。

    引理2 如果一個(gè)中心對(duì)稱圖形Ω有兩個(gè)不同的對(duì)稱中心A、B,那么它一定有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心,并且這些對(duì)稱中心至少在直線AB的一個(gè)維度上是向兩端無限延伸的。

    證明:仍然以A為原點(diǎn)AB為x軸正向單位線段按右手系建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0)。定理1說明“中心對(duì)稱圖形的任意一個(gè)對(duì)稱中心關(guān)于任意另一個(gè)對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)也是該圖形的對(duì)稱中心”,從而(3,0)、(4,0)、(5,0)、……,以及(-1,0)、(-2,0)、(-3,0)、……都是Ω的對(duì)稱中心,這些點(diǎn)在直線AB上是向兩端無限延伸的。證畢。

    注:引理1和引理2的證明過程都用了直角坐標(biāo)系,事實(shí)上討論中心對(duì)稱可以用仿射坐標(biāo)系。

    由引理2我們立即得到下面的定理:

    定理1(對(duì)稱中心個(gè)數(shù)) 一個(gè)中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心的個(gè)數(shù)可以是1或+∞,并且只有這兩種情況。

    至此,我們得到了關(guān)于中心對(duì)稱圖形的一個(gè)深刻結(jié)果,該話題的討論就暫時(shí)告一段落了。事實(shí)上,中心對(duì)稱是關(guān)于0維線性流形(點(diǎn))的對(duì)稱,軸對(duì)稱是關(guān)于1維線性流形(直線)的對(duì)稱,鏡面成像是關(guān)于2維線性流形(平面)的對(duì)稱。在更高維的空間和更復(fù)雜的流形當(dāng)中,我們可以定義更多的對(duì)稱并且研究這些對(duì)稱的性質(zhì)。

    三、對(duì)“負(fù)零”的再理解

    這一部分用正體粗體的Z、Q、R分別表示整數(shù)環(huán)、有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域,用斜體細(xì)體的G、R、F分別表示一般的群、環(huán)、域。

    參考文獻(xiàn)[1]里面提出“-0表示0的相反數(shù),-0=0”這樣一個(gè)結(jié)論。為了理解“-0”的準(zhǔn)確含義,我們要從概念的本質(zhì)入手。在近世代數(shù)中,有下面幾個(gè)定義和定理:

    定義4 設(shè)A是一個(gè)非空集合,若對(duì)A中任意兩個(gè)元素a,b,通過某個(gè)法則“·”,有A中唯一確定的元素c與之對(duì)應(yīng),則稱法則“·”為集合A上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算(algebraic operation)。元素c是a,b通過運(yùn)算“·”作用的結(jié)果,將此結(jié)果記為a·b=c(參看參考文獻(xiàn)[5])。

    定義5 設(shè)G是一個(gè)非空集合,“·”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,即對(duì)所有的a,b∈G,有a·b∈G。如果G的運(yùn)算還滿足

    (G1) 結(jié)合律,即對(duì)所有的a,b,c∈G,有(a·b)·c= a·(b·c);

    (G2) G中有元素e,使對(duì)每個(gè)a∈G,有e·a=a·e=a,元素e稱為群G的單位元(unit element)或恒等元(identity);

    (G3) 對(duì)G中每個(gè)元素a,存在元素b∈G,使a·b= b·a=e,元素b稱為a的逆元(inverse),通常記作a-1,即b=a-1,

    則稱G關(guān)于運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群(group),記作(G,·)。在不致引起混淆的情況下,也稱G為群(參看參考文獻(xiàn)[5])。

    注:在不引起歧義的情況下,群G的運(yùn)算符號(hào)“·”通常省略不寫。

    定理2 設(shè)G為群,其單位元是e,則有

    (1)群G的單位元e是唯一的;

    (2)群G的每個(gè)元素a的逆元a-1是唯一的;

    (3)對(duì)任意的a∈G,有;

    (4) 對(duì)任意的a,b∈G,有;

    (5)在群中消去律成立,即設(shè)a,b,c∈G,如果ab=ac,或ba=ca,則b=c(參看參考文獻(xiàn)[5])。

    由上面的定義和定理,不難證明:

    引理3 在群G中,單位元e的逆元e-1就是e本身,即e-1=e。

    證法一:由于e是群G的單位元,e-1是e的逆元,因此ee-1=e(一個(gè)元素和它的逆元作運(yùn)算等于單位元),ee=e(任何元素與單位元作運(yùn)算都等于該元素本身),從而ee-1=ee,再由消去律得到e-1=e。證畢。

    證法二:由于e是群G的單位元,e-1是e的逆元,因此ee-1=e(一個(gè)元素和它的逆元作運(yùn)算等于單位元),ee-1=e-1(任何元素與單位元作運(yùn)算都等于該元素本身),由等量代換立即得到e-1=e。證畢。

    注:引理3的證明雖然簡(jiǎn)單,但仍然需要每一步都有現(xiàn)實(shí)的定義和定理作為依據(jù),過程要清晰。

    在群的定義中,我們沒有要求運(yùn)算“·”滿足交換律,也就是說a·b≠b·a是可能發(fā)生的。但是當(dāng)“·”滿足交換律時(shí),我們有:

    定義6 如果群G的運(yùn)算還滿足交換律,即對(duì)任意的a,b∈G,有a·b=b·a,則稱G是一個(gè)交換群(commutative group)或阿貝爾群(Abelian group)(參看參考文獻(xiàn)[5])。

    還有群G的運(yùn)算“·”也可以改為“+”:

    定義7 當(dāng)群G的運(yùn)算用加號(hào)“+”表示時(shí),通常將G的單位元記作0,并稱0為G的零元;將a∈G的逆元記作-a,并稱-a為a的負(fù)元(參看參考文獻(xiàn)[5])。

    注:習(xí)慣上,只有當(dāng)群為交換群時(shí),才用“+”來表示群的運(yùn)算,并稱這個(gè)運(yùn)算為加法,把運(yùn)算的結(jié)果叫作和,同時(shí)稱這樣的群為加群(參看參考文獻(xiàn)[5])。相應(yīng)地,將不是加群的群稱為乘群,并把乘群的運(yùn)算叫作乘法,運(yùn)算的結(jié)果叫作積(參看參考文獻(xiàn)[5])。乘法可能滿足交換律,也可能不滿足。

    由引理3、定義6、定義7,我們不難得到:

    引理4 在加群(G,+)中,零元0的負(fù)元-0就是0本身,即-0=0。

    回到中學(xué)數(shù)學(xué)。容易驗(yàn)證整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R關(guān)于通常數(shù)的加法均構(gòu)成加法群,這三個(gè)常用數(shù)集分別稱為整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)域Q、實(shí)數(shù)域R(關(guān)于環(huán)和域的定義可參看參考文獻(xiàn)[5]),它們的零元是通常的數(shù)字0,單位元是數(shù)字1。近世代數(shù)中的“負(fù)元”對(duì)應(yīng)中學(xué)數(shù)學(xué)里的“相反數(shù)”。于是我們有下面的定理:

    定理3 在整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)域Q、實(shí)數(shù)域R中,零元0的負(fù)元(相反數(shù))-0就是0本身,即-0=0。

    從引理3、引理4到定理3是一個(gè)逐步推進(jìn)的過程,定理3把我們中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中-0的含義講清楚了,也就是說“-0表示0的相反數(shù),-0=0”確實(shí)是真命題。[6-9]

    四、思考總結(jié)

    作為數(shù)學(xué)教師,我們的日常工作繁忙而瑣碎,每逢重要考試都要計(jì)算班級(jí)學(xué)生平均分并排名,壓力確實(shí)很大。如果我們對(duì)所教內(nèi)容時(shí)常保持一種專業(yè)態(tài)度和一顆好奇心,不斷進(jìn)行探索研究,而不僅僅停留在教會(huì)學(xué)生做題的層面,就可能獲得更大的成就感與滿足感,職業(yè)幸福指數(shù)也會(huì)得到提高。

    作為中學(xué)生,無論數(shù)學(xué)考試還是競(jìng)賽,現(xiàn)行評(píng)價(jià)體系更多地注重解題能力,關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科本身的理解和思考卻很少涉及。其實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)適當(dāng)做一些思考和探究,可以更好地激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力,對(duì)提高解題能力也會(huì)有一定幫助。如果到大學(xué)階段進(jìn)入相關(guān)專業(yè)的學(xué)習(xí),對(duì)學(xué)科本質(zhì)的理解更是不可或缺的能力。[6-9]

    參考文獻(xiàn)

    [1]胡力文.關(guān)于“負(fù)零”的理解和教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇,2020 (25):337-338.

    [2]胡力文.由一道初中數(shù)學(xué)填空題引發(fā)的思考—用近世代數(shù)的觀點(diǎn)[J].教育教學(xué)論壇,2020(22):354-355.

    [3]邱萬作,黃華.數(shù)學(xué)(七年級(jí)第一學(xué)期,試用本,第1版)[M].上海:上海教育出版社,2019.

    [4]邱萬作,黃華.數(shù)學(xué)(六年級(jí)第二學(xué)期,試用本,第1版)[M].上海:上海教育出版社,2019.

    [5]韓士安,林磊.近世代數(shù)(第二版)[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

    [6]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2013.

    [7]丘維聲.解析幾何(第三版)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2015.

    [8]楊子婿.近世代數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2011.

    [9]馮克勤,李尚志,章璞.近世代數(shù)引論[M].第3版.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2009.

    Abstract: In the first half of this paper, a result about the central symmetric figure is obtained step by step (Theorem 1). The conclusion and proof of Lemma 1 and Lemma 2 obtained in the process of solving the problem are also very meaningful. In the latter part, modern algebra is used as a tool to rethink "negative zero", and it is proved that "negative zero represents the opposite number of zero, and negative zero equals zero" is true proposition (Theorem 3).

    Key words: central symmetric figure; symmetry center; negative zero; negative element; opposite number; modern algebra

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