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    一類平方立方非線性耦合系統(tǒng)主共振解析近似解的研究

    2020-12-23 05:56:40
    河南建材 2020年1期
    關(guān)鍵詞:級(jí)數(shù)方程式共振

    李 潔

    宿遷學(xué)院建筑工程學(xué)院(223800)

    0 引言

    式中 α1和 α2不必限制為小參數(shù),(′)=d()/dτ,(′′)=d2()/dτ2系統(tǒng)參數(shù)均為無(wú)量綱參數(shù)。令,

    于是方程式(1)變成

    大多數(shù)非線性微分方程都沒(méi)有準(zhǔn)確解析解的經(jīng)典的攝動(dòng)技術(shù)如多尺度法[1]、平均法[2]等,通常僅限于小參數(shù)非線性方程組的分析,難以適用于強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)。

    廖世俊提出的同倫分析法通過(guò)引入輔助參數(shù)和輔助函數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)和控制級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度[3]。工程技術(shù)中的許多非線性問(wèn)題應(yīng)用該方法已經(jīng)成功解決,如求解非線性動(dòng)力系統(tǒng)極限環(huán)[4]、非牛頓流體的磁流體動(dòng)力學(xué)[5]等。李永強(qiáng)等人應(yīng)用同倫方法研究了單自由度和多自由度系統(tǒng)的立方非線性受迫振動(dòng)系統(tǒng)主共振問(wèn)題[6-10]這些成功應(yīng)用的例子表明,同倫分析方法可以有效地解決許多非線性問(wèn)題,但該方法在平方和立方非線性耦合系統(tǒng)主共振方面的應(yīng)用卻未見(jiàn)報(bào)道。

    文章應(yīng)用同倫分析法研究了如下一單自由度平方立方非線性耦合系統(tǒng)的主共振問(wèn)題[11]。

    式中(′)=d()/dτ,(′′)=d2()/dτ2(下同)。

    1 同倫分析法的基本原理

    同倫分析法的基本思想[4]是來(lái)自于代數(shù)拓?fù)渲械倪B續(xù)映射,希望構(gòu)造一個(gè)聯(lián)接方程式(3)的解u(τ)和一個(gè)給定函數(shù) u0(τ)之間的同倫 Φ(τ;q),q[0,1],使得 Φ(τ;0)=u0(τ),Φ(τ;1)=u(τ)。 首先,需要確定一組基函數(shù),顯然,單自由度系統(tǒng)主共振可由

    為此解表達(dá)式可選為

    式中Ak是未知的復(fù)函數(shù),Ak是Ak的共軛。令Ω0為頻Ω率之初始猜測(cè)值,選取

    作為 u(τ)的初始猜測(cè)值,根據(jù)解表達(dá)式(5),選取

    為輔助線性算子, 其中 λ[ Ce x p(iτ)]=0,C∈R.根據(jù)方程(3),定義如下非線性算子[15]。

    式中,Φ(τ;q)為依賴于 τ和 q 之函數(shù),(q)為 q之函數(shù)。令?表示非零輔助參數(shù),構(gòu)造如下零階形變方程

    這樣,當(dāng)q=0時(shí),由式(9)可以得到

    當(dāng) q=1時(shí),由于 ?≠0,式(9)等同于原方程式(3),從而

    因此,當(dāng) q從 0增大到 1時(shí),Φ(τ;q)從初始猜測(cè)解 u0(τ)變化到精確解 u(τ),同時(shí) λ(q)從初始猜測(cè)解Ω0變化到物理頻率Ω。利用式(10)和泰勒展開(kāi)定理,將 Φ(τ;q)和 λ(q)展開(kāi)成如下 q 之冪級(jí)數(shù)。

    式中

    由于零階形變方程式(9)中包含輔助參數(shù)?,因此只要選擇適當(dāng)?shù)?值,就可保證級(jí)數(shù)(12)和(13)在q=1時(shí)收斂,從而有級(jí)數(shù)解

    將級(jí)數(shù)(12)和(13)代入到零階形變方程式(9)中,令q相同次冪之系數(shù)為零,就可得到高階形變方程

    式中cc表示前面各項(xiàng)的共軛,消去式(21)中的長(zhǎng)期項(xiàng),令式(21)中 exp(±iτ)的系數(shù)為零,從而得到方程

    由于 A0不為 0,因此由式(22)可得

    根據(jù)式(17)可得一階形變方程

    方程(25)的解為

    為了避免高階形變方程解表達(dá)式中出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng),必須強(qiáng)迫式(27)中 exp(±iτ)的系數(shù)為零,從而得到方程

    式中α和β是實(shí)函數(shù),將式(29)代入到式(28)并將結(jié)果分成實(shí)部和虛部,得到

    由式(30)和式(31)可得

    由式(30)就可確定出Ω1和a的關(guān)系,消除高階形變方程式(27)中的長(zhǎng)期項(xiàng),再根據(jù)式(17)可求得u2(τ)。 根據(jù)式(6),(23),(26)和式(29)可得 u(τ)的一階近似解為

    由于u(τ)中含有輔助參數(shù)?,在同倫分析法中起著控制和調(diào)整收斂范圍的作用,可以通過(guò)一些相關(guān)級(jí)數(shù)(如 u′(0),u′′(0)等)的函數(shù)曲線來(lái)確定合適的?值,因?yàn)橹灰『线m的?值使級(jí)數(shù)解收斂,那么所得到的級(jí)數(shù)解就必是原方程的一個(gè)解,從而在u′(0)、u′′(0)等函數(shù)和 ? 的曲線中存在一條水平線段,其對(duì)應(yīng)的?取值區(qū)域就是?的有效區(qū)域。

    2 數(shù)值計(jì)算

    采用上述同倫分析法對(duì)式(1)進(jìn)行計(jì)算,取μ=0.01,ω0=1.0,F(xiàn)=1.0,Ω=1.0。 非線性系數(shù)分別為 α1=α2=1.0 和 α1=α2=5.0 時(shí)級(jí)數(shù) u(τ)給出的 u′(0),u″(0)和 u?(0)之 ? 曲線如圖 1 所示,很明顯 α1=α2=1.0時(shí)級(jí)數(shù) u′(0),u″(0) 和 u?(0) 在-1.5≤?≤-1.0 時(shí)收斂;α1=α2=5.0時(shí)在-1.6≤?≤-1.4時(shí)收斂。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),若級(jí)數(shù) u′(0),u″(0)和 u?(0)收斂,級(jí)數(shù) u(τ)在整個(gè)區(qū)域τ∈[0,+∞)上收斂,因此在下面的計(jì)算中 α1=α2=1.0 時(shí)取 ?=-1.0,α1=α2=5.0 時(shí)取 ?=-1.5,當(dāng)非線性系數(shù) α1和 α2為其他值時(shí)可通過(guò) u′(0),u″(0)和 u?(0)和 ?的關(guān)系曲線確定出適合的值。

    圖 1 u′(0),u″(0)和 u?(0)~? 關(guān)系曲線(2階近似)

    圖2 為系統(tǒng)在不同a1和a2下的主共振頻率響應(yīng)曲線,曲線中的空心圓為相應(yīng)的數(shù)值解.數(shù)值解采用四階Runge-Kutta算法。由圖2可知,應(yīng)用同倫分析法得到的解析近似解與數(shù)值法求得的解是相當(dāng)吻合的,但由于數(shù)值解只能計(jì)算穩(wěn)態(tài)解,而同倫分析法不僅適用于強(qiáng)非線性而且也能計(jì)算非穩(wěn)態(tài)解。

    圖2 主共振時(shí)的頻率響應(yīng)曲線(2階近似)

    3 結(jié)論

    文中應(yīng)用同倫分析方法獲得了單自由度平方和立方非線性耦合系統(tǒng)主共振的解析近似解。同倫分析方法通過(guò)引入輔助參數(shù)可以調(diào)節(jié)和控制級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度,這是同倫分析方法和其他方法的根本性區(qū)別。從同倫分析法與四階龍格庫(kù)塔法的比較表明,同倫分析法不僅能求解穩(wěn)態(tài)解而且也能計(jì)算非穩(wěn)態(tài)解并且具有較好的計(jì)算精度。

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