基于SEIR 模型改進的疫情傳播模型的研究與驗證

周 文，范玲瑜，吳 濤，孫 娟，麻麗俊

（北方自動控制技術(shù)研究所，太原 030006）

0 引言

2020 年新年伊始，以武漢為中心的湖北省出現(xiàn)了新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎傳染病疫情。疫情發(fā)展初期勢頭迅猛，來勢洶洶，向全國擴散，經(jīng)過各級各地黨委政府的有力、果斷地管控、抑制疫情的措施，現(xiàn)階段疫情已初步得到控制，同時各新聞媒體紛紛辟謠，認(rèn)為此次疫情的出現(xiàn)可排除生物武器襲擊。但此次疫情也對我們敲響了警鐘，現(xiàn)代戰(zhàn)爭中戰(zhàn)爭手段多樣化，我國又是一個人口密度大、城鎮(zhèn)化程度不斷提高，同時現(xiàn)代化的高鐵、高速公路網(wǎng)十分發(fā)達的國家，一旦被敵生物武器襲擊發(fā)生傳染病疫情，后果十分嚴(yán)重。這就要求我們對現(xiàn)代戰(zhàn)爭條件下的傳染病疫情傳播模型進行深入、有效地研究和探討，從中得出可以指導(dǎo)疫情應(yīng)對活動的科學(xué)理論。

1 現(xiàn)有模型及不足

現(xiàn)有模型一般是基于傳染病動力學(xué)的經(jīng)典模型——SEIR 模型適配具體疫情傳播案例的數(shù)據(jù)修正而來［1］。國內(nèi)現(xiàn)有的比較經(jīng)典的模型出現(xiàn)在2003年非典疫情之后，當(dāng)時疫情的各類總結(jié)性數(shù)據(jù)在隨后的模型研究中發(fā)揮了很大作用，現(xiàn)有模型基本上都是適用2003 年非典疫情傳播數(shù)據(jù)的。

1.1 現(xiàn)有模型的假設(shè)與符號約定

1）模型所適用的疫情傳播地域區(qū)域內(nèi)假設(shè)總?cè)丝诒３譃橐粋€常數(shù)，不考慮出生死亡率、遷入和遷出率，因病死亡的人口仍然計數(shù)在內(nèi)，作為總?cè)丝诘囊徊糠郑?］；

2）時間以天（d）為單位計算，傳染病具有長度不定的潛伏期，定義潛伏期患者是已感染，但尚未發(fā)病的人；

3）已發(fā)病患者是可以被確診的，同時不會被誤診，即已感染人群僅被區(qū)分為已發(fā)病患者和潛伏期患者兩類；

4）潛伏期病人不具備傳染性，已治愈病例、已死亡病例也不具備傳染性，已治愈患者不會再次感染；

5）傳播地域內(nèi)所有人口分為3 大類:未感染者，即人口中的正常人，這個群體是易感人群，與感染者接觸后就有一定概率感染。已感染者，即已經(jīng)感染的人群，如前文所述可分為兩類，已發(fā)病患者和潛伏期患者。移出者，即前文所述的已痊愈和已死亡的患者，他們實質(zhì)上已退出傳染病系統(tǒng)。

針對以上的假設(shè)，現(xiàn)對模型需要用到的符號及所代表的意義約定如下［3］:

1.2 現(xiàn)有模型的建立

根據(jù)以上假設(shè)與約定的符號，可以得到一系列關(guān)于以上幾類人員之間相互轉(zhuǎn)化的方程［4］:

首先可得S+I+R=N；

至此，建立起了針對傳染病傳播與擴散的現(xiàn)有比較常見的微分方程模型。

同時可建立相應(yīng)的計算機模擬模型來追蹤病毒的個體傳播情況。在計算機模擬模型中，為了進一步簡化便于數(shù)據(jù)的處理，將整個傳染病系統(tǒng)中的人群分為5 類［5］:

傳播者為f（t），指已被感染，具備傳染性但未確診、隔離，尚可自由活動與外界人群接觸的群體；

每日新增確診者為x（t），指醫(yī)療機構(gòu)每日確診并加以隔離治療的患者群體；

被隔離的疑似患者為y（t），指與病人有接觸史被政府疾控管理部門強制隔離但尚未被醫(yī)療機構(gòu)確診的群體；

有效接觸者為z1（t），易感人群中每日與傳播者接觸后被感染的群體；

無效接觸者為z2（t），易感人群中每日與傳播者接觸后未被感染的群體；

傳播者人均每日有效接觸的人數(shù)為k1，傳播者人均每日無效接觸的人數(shù)為k2，與傳播者接觸的人群中可被有效控制，隔離的比例為β。

在現(xiàn)有的計算機模擬模型中，一般伴隨作出如下假設(shè)［6］:

1）已確診的或已隔離的人群不會發(fā)生傳染或被傳染；

2）有效接觸者必然會發(fā)病。

1.3 現(xiàn)有模型的缺陷

從之前的假設(shè)可以很容易地發(fā)現(xiàn)這個統(tǒng)一模型的缺陷［8］:

1）未考慮潛伏期病人的傳染性，而很多傳染病的潛伏期病人都具有傳染性；

2 改進方法和提出新模型

2.1 建立統(tǒng)一模型

前文給出了基于SEIR 模型的微分方程模型形式，和便于跟蹤個體感染情況的計算機模擬模型的形式，現(xiàn)將兩者聯(lián)立，建立一個統(tǒng)一模型，便于進一步分析和改進模型。

2.2 考慮潛伏期病人的傳染性

2.3 考慮潛伏期長度的概率分布

3 新模型的數(shù)據(jù)模擬與求解

為了驗證所建立模型的有效性，需要尋找有關(guān)傳染病的官方統(tǒng)計數(shù)據(jù)，使用這些數(shù)據(jù)對模型中相關(guān)參數(shù)賦值，并將模型在Matlab 中編程實例化，將相關(guān)結(jié)果以圖表形式顯示即可直觀判斷模型的效果。本文以2003 年“非典”疫情的相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)為依據(jù)，對本文所設(shè)計的模型進行模擬仿真與求解。

由公開披露的“非典”疫情的相關(guān)數(shù)據(jù)［10］可知，“非典”潛伏期從2 d～7 d 不等，潛伏期的長短服從以5 d 為期望值，2 d 為方差的正態(tài)分布；潛伏期感染率非常小，認(rèn)為v 低于千分之一，可忽略；自由攜帶者將以68%的概率在3 d～7 d 內(nèi)發(fā)病，以95 %的概率在1 d～9 d 內(nèi)發(fā)?。? 月20 日政府調(diào)控之前k1為3，β 為0.1，4 月20 日政府調(diào)控后k1為1，β 為0.6；缺乏疫情初始幾天的染病人數(shù)，在程序中用1個1～6 的向量模擬最初6 d 的感染人數(shù)；從發(fā)現(xiàn)疫情到4 月20 日政府采取措施歷時35 d，k 取值1.35，λ 取值為0.6。Matlab 程序中主函數(shù)如下:

可以看到主函數(shù)調(diào)用了func1 和func2 兩個函數(shù)，前者主要作用是計算人群被感染1 d 后才可能被發(fā)現(xiàn)并采取措施時人群中各類群體數(shù)量的變化，后者作用是計算感染者當(dāng)天即可被發(fā)現(xiàn)并隔離的情況推算，其中代碼在此不作贅述。Matlab 程序運行后得出對3 月15 日作為疫情傳播開始的每日新增患者數(shù)的序列，首先來看感染后1 d 即采取隔離措施時所得的序列值，及序列值擬合而成的曲線與實際數(shù)據(jù)的對比結(jié)果。序列值如下:

擬合曲線與實際情況對比如圖1 所示。

圖1 實際感染情況與仿真擬合曲線對比圖

如果進一步考慮疾控部門采取措施的時效性對疫情蔓延的影響，可以制作感染后滯后5 d 才采取措施及提前5 d 采取措施這兩種情況下的仿真數(shù)據(jù)，并與目前的擬合曲線作對比。

圖2 提前與滯后5 d 干預(yù)感染情況仿真對比圖

4 對新模型的評價

通過以上對本文所建立的新模型的介紹，以及按照2003 年“非典”疫情的相關(guān)數(shù)據(jù)對新模型進行參數(shù)賦值，并進行數(shù)據(jù)模擬與求解的結(jié)果分析來看，新模型對于一般烈度的、固定地域范圍內(nèi)的傳染病疫情傳播有一定的預(yù)測、指導(dǎo)意義，可以對局部區(qū)域傳染病蔓延時的應(yīng)對工作起到一定的參考價值。但新模型由于考慮因素有限，同時可供使用的真實疫情數(shù)據(jù)十分有限，不可避免地暴露出以下問題和不足:

1）本模型考慮到了潛伏期病人的傳染性，但使用的“非典”疫情的特點是潛伏期病人傳染率極低，未能充分驗證潛伏期病人傳染性高時的情況對模型預(yù)測結(jié)果的影響，需要進一步進行研究；

2）本模型考慮的情況傾向于小區(qū)域，較大人口規(guī)模，同時初始感染人數(shù)少，且未考慮正常的人口遷移和流動。實際的情況中，初始感染人數(shù)的預(yù)測是比較困難的；同時現(xiàn)代社會交通發(fā)達，各地區(qū)間人口流動頻繁，對一系列相連區(qū)域統(tǒng)籌考慮疫情傳播模型，可能會牽扯到馬爾科夫隨機過程，這也需要后續(xù)能夠進行深入研究。