Newton-Steffensen型迭代在廣義Lipschitz條件下的半局部收斂性

陸 東，梁 娟，何育宇，凌永輝

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州363000）

關(guān)于求解式(1)的迭代算法，已經(jīng)有學(xué)者做了大量的研究，其中最著名的是Newton法，其形式如下：

當(dāng)F′滿(mǎn)足Lipschitz 連續(xù)時(shí)， 由牛頓法生成的點(diǎn)列{xk} 是二階收斂的.為了得到Newton 法的三階收斂，Euler-Halley 迭代族將牛頓法進(jìn)行了推廣，見(jiàn)文獻(xiàn)[1-6].然而盡管是三階收斂的，但需要計(jì)算F的二階導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算成本高，且F的二階導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足Lipschitz連續(xù)才可以得到三階收斂性.而一些新的方法如凸加速Newton法，Supper-Halley法，變形Euler-Halley法(見(jiàn)文獻(xiàn)[7-12])，雖然不用計(jì)算F的二階導(dǎo)數(shù)，但仍需要F是二階可微的，且二階導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足Lipschitz連續(xù)才能保證三階收斂性.

Sharma在文獻(xiàn)[11]中提出了一種可以避免計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)同時(shí)又保證三階收斂性的Newton-Steffensen迭代法.令f→，其迭代格式為：

其中

在文獻(xiàn)[13]中，要得到三階收斂性，F(xiàn)的二階導(dǎo)數(shù)仍要滿(mǎn)足Lipschitz連續(xù).

在上面的研究中，為了建立三階收斂性，都要求F至少是二階可導(dǎo)的，但在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)F不一定二階可導(dǎo)，在文獻(xiàn)[14-15]中，作者僅研究了一階導(dǎo)數(shù)的情況下Newton-Steffensen法的三階收斂性.

受文獻(xiàn)[14-15]的啟發(fā)，本文考慮一種廣義Lipschitz條件，該條件由一個(gè)抽象函數(shù)構(gòu)成，利用該抽象函數(shù)的凸性我們得到了標(biāo)量Newton-Steffensen迭代的收斂性，并進(jìn)一步得到Newton-Steffensen迭代式(4)的半局部收斂性.我們的收斂性結(jié)果除了推廣了文獻(xiàn)[14]的結(jié)果，還可以得到了在H?lder條件下的新收斂結(jié)果.

1 主要結(jié)論

本節(jié)給出Newton-Steffensen迭代式(4)在廣義Lipschitz條件下的半局部收斂結(jié)果，進(jìn)而得到若干推論.

定理1令F:D?→是Fréchet可微的，給初始點(diǎn)x0∈D使得F′(x0)?1存在.記{xk} 由式(4)迭代產(chǎn)生.假設(shè)F′滿(mǎn)足如下廣義Lipschitz條件:

i)h(t)在(0，R)內(nèi)至少有一個(gè)根，且t*是其最小正根；

ii)h(t)是嚴(yán)格凸的；

iii)h(0)＞0，h′(0)= ?1.

則{xk} 是有定義的，且三階收斂于式(1)在上的唯一解x*.此外，有誤差估計(jì)

其中，實(shí)序列{sk} 與{tk} 由Newton-Steffensen 迭代產(chǎn)生，即

注1上述定理給出了Newton-Steffensen迭代的一般性半局部收斂結(jié)果.當(dāng)抽象函數(shù)h(t)選取不同的顯式形式可以得到若干重要的推論，設(shè)β＞0，當(dāng)取時(shí)，其中L(u)為非遞減可積函數(shù)且滿(mǎn)足此時(shí)，廣義Lipschitz條件(6)變?yōu)長(zhǎng)-平均Lipschitz條件

進(jìn)而，由定理1 可得Newton-Steffensen 在上述L-平均Lipschitz 條件下的半局部收斂性結(jié)果，為文獻(xiàn)[15]的主要結(jié)論.特別地，當(dāng)取時(shí)，條件(6)變?yōu)長(zhǎng)ipschitz條件

此時(shí)，由定理1 得Newton-Steffensen 迭代在Lipschitz 條件下的半局部收斂性，即文獻(xiàn)[14]中的主要結(jié)論，而當(dāng)取時(shí)， 由定理1 得Newton-Steffensen 迭代在γ-條件下的收斂性， 見(jiàn)文獻(xiàn)[15]推論5.3.此外，當(dāng)取時(shí)，條件(6)變成H?lder條件

從而由定理1可得Newton-Steffensen迭代在H?lder條件下的半局部收斂性結(jié)果，而該結(jié)果是新的結(jié)果.

2 引理

為了證明Newton-St effensen 法，式(4)的半局部收斂性，先證明若干技術(shù)性引理.本節(jié)假定定理1 的條件成立，利用h的凸性可以得到如下關(guān)于實(shí)序列{sk} 與{tk} 的收斂性.

引理1設(shè)點(diǎn)列{sk} 和{tk}由式(8)迭代生成，對(duì)于任意k≥0，有

而且{sk} 與{tk} 收斂到同一點(diǎn)t*.

由Banach引理及式(6)中可得如下結(jié)論.

引理2令0 ＜r＜t*，x0∈D且F′(x0)?1存在.若F′(x0)?1F′(x)在Β(x0，r)上滿(mǎn)足廣義Lipschitz 條件，即式(6)，則對(duì)任意x∈Β(x0，r)，F(xiàn)′(x)?1存在且

引理3[15]令x∈D且F′(x)?1存在.設(shè)y: =x?F′(x)?1F(x)，: =x?[y，x；F]?1F(x)且[y，x；F]?1存在.則下列式子成立:

引理4設(shè)x0∈D使得F′(x0)?1存在， 且若F′(x0)?1F′(x)在Β(x0，t*)上滿(mǎn)足廣義Lipschitz條件，則以x0為初始點(diǎn)，由式(4)迭代產(chǎn)生的點(diǎn)列{xk} 有定義，且對(duì)于k≥1，有如下關(guān)系式成立:

證明(歸納法)先證當(dāng)k= 1 時(shí)， i)- iii)成立.由(4)有由此可以得到

注意到在(0，t*)內(nèi)，由h′(t)＜0，知故由Banach引理得[y0，x0；F]—1存在且滿(mǎn)足

因此

由引理3 ii)可得

從而當(dāng)k= 1時(shí)，i)-iii)成立.

假設(shè)當(dāng)k=n時(shí)，i)-iii)成立，下面證明當(dāng)k=n+ 1時(shí)，i)-iii)也成立.由歸納假設(shè)得

即xn∈Β(x0，t*)，故由引理2知，F(xiàn)′(xn)?1F′(x0)存在且有

即i)的第一個(gè)不等式對(duì)k=n+ 1時(shí)成立，由此可得

由引理1 及h(t)在(0，t*)上的單調(diào)性得故于是由Banach引理得

此外，由式(4)及式(13)得

故有‖xn+1?yn‖≤tn+1?sn，即i)的三個(gè)不等式對(duì)k=n+ 1 時(shí)成立.而由式13)可得ii)對(duì)k=n+ 1 時(shí)成立.最后證明當(dāng)k=n+ 1時(shí)，iii)成立.事實(shí)上，由引理3 ii)及式(15)得

從而k=n+ 1時(shí)，i)- iii)成立.因此，由歸納法知對(duì)任意k≥1，i)-iii)恒成立.

3 定理1的證明

證明由引理4 知{xk} 是有定義的，而由引理1 與引理4 i)得{xk} 是Cauchy 列，故其極限存在，記為x*.下證x*是方程(1)的解.對(duì)k≥0，由引理4 iii)得令k→∞得x*是式(1)的解.x*是式(1)在上的唯一解可由文獻(xiàn)[16]定理1.5直接得到.

由引理4i)得‖x*?xk‖≤t*?tk.下證誤差估計(jì)式(7)成立.由于

結(jié)合引理2，可得

注意到 [yk，xk；F](xk+1?xk)+F(xk)= 0，得

于是由式(16)可進(jìn)一步得到

結(jié)合引理4及式(17)有

由此可知估計(jì)式(7)對(duì)任意k≥0恒成立.由式(7)可以知道{xk} 三階收斂到{x*} .