探尋“數(shù)學(xué)規(guī)定”的理與美

杜海良 沈俊杰

摘要：《含有中括號(hào)的三步混合運(yùn)算》一課教學(xué)，在確保教學(xué)內(nèi)容科學(xué)性的同時(shí)，又讓形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)活躍于課堂，使學(xué)生禁不住要探尋“數(shù)學(xué)規(guī)定”之理，括號(hào)的產(chǎn)生和使用自然而然：“襯衣外套”析層次，“哥哥弟弟”明順序;應(yīng)用深化價(jià)值，練習(xí)提升素養(yǎng)。同時(shí)，貫穿始終的簡潔美、規(guī)范的指導(dǎo)和循序漸進(jìn)的教學(xué)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)規(guī)定 結(jié)合符號(hào) 數(shù)學(xué)美 《含有中括號(hào)的三步混合運(yùn)算》

一、課堂實(shí)錄

（一）感受學(xué)習(xí)需求：經(jīng)歷“中括號(hào)”的產(chǎn)生

1.不含括號(hào)。

師（出示算式60÷6+4×2）這題會(huì)算嗎？等于多少？

生18。

師咦，我怎么算出是28呀？大家看，60÷6=10，10+4=14，14×2=28。

生老師，你算的順序不對(duì)，不是從左往右，而是應(yīng)該先乘除后加減。

師原來如此，先乘除后加減是四則混合運(yùn)算的一個(gè)法則，既然是法則，人人都要遵守，也包括老師。

2.添加小括號(hào)。

師還是這個(gè)算式，如果把得數(shù)18改成12，這個(gè)等式肯定是錯(cuò)誤的，但有什么辦法讓這個(gè)等式仍舊成立嗎？

生添一個(gè)括號(hào)，變成60÷（6+4）×2=12。

師添了括號(hào)，怎么算？

生先算括號(hào)里的加法，再除，最后乘，得數(shù)就是12了。

師括號(hào)在這兒起了什么作用？

生算的順序變了。

師非常好！括號(hào)是一個(gè)特殊的數(shù)學(xué)符號(hào)，它可以改變運(yùn)算順序。括號(hào)里的必須先算，這也是四則混合運(yùn)算的一個(gè)法則。

3.添加中括號(hào)。

師[指算式60÷（6+4）×2，并板書“=3”]還是這個(gè)算式，你能添上一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，使這個(gè)算式的得數(shù)等于3嗎？

（學(xué)生獨(dú)立嘗試，教師巡視，指名學(xué)生上臺(tái)板演。）

生60÷（（6+4）×2）=3。

生60÷[（6+4）×2]=3。

師（指著中括號(hào)）這是什么符號(hào)？

生中括號(hào)。

師也是括號(hào)，這里已經(jīng)有了括號(hào)了，為什么還要再添一個(gè)？

生括號(hào)可以改變運(yùn)算順序。當(dāng)一個(gè)括號(hào)不夠用時(shí)，我們可以再添一個(gè)。

師[指算式60÷（（6+4）×2）]那為什么不像這樣，繼續(xù)添小括號(hào)，非要用一個(gè)新的符號(hào)呢？

生小括號(hào)已經(jīng)用過了。

生兩個(gè)小括號(hào)混在一起會(huì)搞不清。

師大家的意思是，小括號(hào)外面如果還要加一個(gè)括號(hào)的話，得換一種形式了，就像襯衣外面不能再穿襯衣了，得穿外套。這樣，就產(chǎn)生了中括號(hào)。這樣表示是不是更有層次、更清楚？

生（齊）是。

（二）豐富運(yùn)算法則：明晰含“中括號(hào)”算式的運(yùn)算順序

1.明確運(yùn)算順序。

師現(xiàn)在這個(gè)算式，既有小括號(hào)，又有中括號(hào)，我們知道括號(hào)里的要先算，那到底應(yīng)該先算哪個(gè)呢？

生先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的。

師是的，中括號(hào)是小括號(hào)的哥哥，并且還是個(gè)好哥哥，先算弟弟小括號(hào)里面的，再算自己里面的。誰來說說怎么算出3的？

生先算小括號(hào)里的，6+4=10;再算中括號(hào)里的，10×2=20;最后，60÷20=3。

師得數(shù)果然是3了，大家這個(gè)中括號(hào)添得真靈！現(xiàn)在我們知道了，當(dāng)算式中既有小括號(hào)又有中括號(hào)時(shí)，我們應(yīng)該怎么算？

生先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的，最后算括號(hào)外的。

師這同樣是四則混合運(yùn)算的法則，我們都要遵守。

2.比一比。

師現(xiàn)在，大家對(duì)四則混合運(yùn)算的順序能搞得清嗎？我們來試一試，（出示算式，如圖1）說說這三道算式的運(yùn)算順序，再算出得數(shù)。

（學(xué)生分別說出三道算式的運(yùn)算順序與結(jié)果。）

師比較一下，這三道算式有什么相同的地方，又有什么不同的地方？

（學(xué)生回答略。）

師是的，雖然數(shù)相同，運(yùn)算符號(hào)也相同，但因?yàn)橛辛死ㄌ?hào)，改變了運(yùn)算順序，結(jié)果就不同了，這就是括號(hào)的作用。

（三）體驗(yàn)學(xué)習(xí)價(jià)值：用含“中括號(hào)”的算式解決問題

師括號(hào)的這個(gè)作用能幫助我們解決生活中的一些問題。比如——

（教師出示題目：小明帶了210元錢，買8個(gè)網(wǎng)球后還剩42元，你能提出哪些可以解決的問題？學(xué)生回答略。）

師老師這有兩個(gè)問題，你能列綜合算式解答嗎？

（教師出示：1.每個(gè)網(wǎng)球的單價(jià)是多少？）

生（210-42）÷8。

師這里為什么要用到小括號(hào)？

生必須要先算出已經(jīng)用去的錢，然后才能除以8，算出每個(gè)網(wǎng)球多少元。

（教師出示：2.剩下的錢可以買幾個(gè)這樣的網(wǎng)球？）

生42 ÷[（210-42）÷8]。

師這里除了小括號(hào)，為什么還要用到中括號(hào)？

生要求還能買幾個(gè)網(wǎng)球，需先求出每個(gè)網(wǎng)球的單價(jià)，就要先算后面，所以這時(shí)我們就需要中括號(hào)來幫忙。

師如果沒有這個(gè)中括號(hào)呢？

生算式就不符合題目要求了。

師我們可以發(fā)現(xiàn)，中括號(hào)與小括號(hào)一樣，都是為了解決問題，用來改變運(yùn)算順序。

（四）規(guī)范運(yùn)算流程：明確含“中括號(hào)”算式的遞等式運(yùn)算規(guī)則

師要求剩下的錢還能買幾個(gè)網(wǎng)球，算式有點(diǎn)復(fù)雜了，你會(huì)用遞等式計(jì)算嗎？

（學(xué)生獨(dú)立嘗試，教師指名兩名學(xué)生上黑板演算。）

師先算什么？

生小括號(hào)里的。

師沒輪到算的應(yīng)該怎么樣？

生照抄下來。

師中括號(hào)直接抄下來，還是寫成小括號(hào)？

（學(xué)生交流。）

師大家的意見不一致。這樣，我們一起請(qǐng)教身邊的“老師”！打開課本，翻到74頁，看看書上是怎么寫的。

生還是寫中括號(hào)。

師其實(shí)，兩種做法都可以！不過，保留中括號(hào)能夠表達(dá)更多的信息?？吹竭@個(gè)中括號(hào)，我們就知道，它的上一步剛剛完成了小括號(hào)里的運(yùn)算;我們還知道，下一步就要算中括號(hào)里的了。而且，這么寫，不需要改變數(shù)學(xué)符號(hào)，所以也就不容易出錯(cuò)。我這么說，大家同意嗎？

生同意！

師好，我們就這么做，請(qǐng)完成例3和“練一練”。

（學(xué)生獨(dú)立練習(xí)后交流。）

（五）總結(jié)提升：反思本節(jié)課所學(xué)并完成針對(duì)性練習(xí)

1.回顧拓展。

師今天我們學(xué)習(xí)了“含有中括號(hào)的三步混合運(yùn)算”。學(xué)到這，你還有什么不明白的或者有什么想法嗎？

生有沒有大括號(hào)？

（其他學(xué)生齊答“有”。）

生括號(hào)是怎么產(chǎn)生的，為什么這么寫？

生要改變運(yùn)算順序就產(chǎn)生括號(hào)了。

生有的時(shí)候，在解決問題列出綜合算式時(shí)，要先算加減后算乘除，就要用到括號(hào)了。

師的確，括號(hào)就是這樣應(yīng)“需”而生。而且，有時(shí)光有小括號(hào)還不夠用，所以又有了中括號(hào)。那是不是有了中括號(hào)，以后所有的問題都能解決了呢？

生不是的，還有大括號(hào)。

師的確如此，以后的生活、學(xué)習(xí)中我們還會(huì)遇到需要用到大括號(hào)的情況?？磥碇欣ㄌ?hào)也只是小括號(hào)的二哥，大括號(hào)才是他們的大哥。具體的，請(qǐng)大家打開課本，閱讀《你知道嗎》的內(nèi)容。

（學(xué)生讀課本。）

師同學(xué)們，一個(gè)括號(hào)的產(chǎn)生，其實(shí)也經(jīng)歷了漫長的發(fā)展歷程，凝聚著人類無窮的智慧。

2.練習(xí)提升。

師（出示練習(xí)，如圖2）我們繼續(xù)來讓括號(hào)大顯身手。

二、教學(xué)評(píng)析

運(yùn)算順序“從左到右”和“先乘除后加減”都不是以客觀規(guī)律為基礎(chǔ)的定理或定律，而是一種人為的關(guān)于數(shù)學(xué)符號(hào)語言的規(guī)定，目的在于盡可能減少算式中的括號(hào)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，這樣的“數(shù)學(xué)規(guī)定”往往被生搬硬套;為避免教學(xué)中的知識(shí)性錯(cuò)誤，課堂上引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度思考的案例更是少之又少。杜海良老師執(zhí)教的這節(jié)課，在確保教學(xué)內(nèi)容科學(xué)性的同時(shí)，讓形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)活躍于課堂，使學(xué)生禁不住要探尋“為什么是這樣”“是誰規(guī)定的”“還可能是怎樣”，即“數(shù)學(xué)規(guī)定”之理，括號(hào)的產(chǎn)生和使用自然而然。同時(shí)，通過貫穿始終的簡潔美、規(guī)范的指導(dǎo)和循序漸進(jìn)的教學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美。

（一）括號(hào)之理

1.“襯衣外套”析層次，“哥哥弟弟”明順序。

細(xì)品杜老師課上的語言：“小括號(hào)外面如果還要加一個(gè)括號(hào)的話，得換一種形式了，就像襯衣外面不能再穿襯衣了，得穿外套。這樣，就產(chǎn)生了中括號(hào)?！睂W(xué)生在經(jīng)歷了中括號(hào)產(chǎn)生的過程、體會(huì)了中括號(hào)產(chǎn)生的必要后，這種清晰的層次感了然于心。這不僅僅是“含有中括號(hào)的三步混合運(yùn)算”的教學(xué)，也很好地溝通了其他結(jié)合符號(hào)產(chǎn)生的必要性——說明所需的運(yùn)算順序，進(jìn)一步明確了中括號(hào)在其中的位置與順序。整節(jié)課也在分明的教學(xué)層次中展開。

“中括號(hào)是小括號(hào)的哥哥，并且還是個(gè)好哥哥，先算弟弟小括號(hào)里面的，再算自己里面的。”又一個(gè)比方，賦予了數(shù)學(xué)符號(hào)生命。既然括號(hào)的產(chǎn)生是運(yùn)算順序的需要，那么順序的明確就是學(xué)習(xí)括號(hào)的關(guān)鍵。區(qū)別于語文中的標(biāo)點(diǎn)符號(hào)，數(shù)學(xué)結(jié)合符號(hào)（如小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)等）與運(yùn)算順序有關(guān)。兩個(gè)比喻，從符號(hào)到物，從物到人，形象生動(dòng)地明晰了中括號(hào)的運(yùn)算順序。

2.應(yīng)用深化價(jià)值，練習(xí)提升素養(yǎng)。

杜老師引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中理解運(yùn)算順序的合理性。在同一個(gè)問題情境中，因所求問題的不同選擇，使用的括號(hào)也不相同，既與之前所學(xué)的小括號(hào)呼應(yīng)，又為后續(xù)學(xué)習(xí)多步計(jì)算的解決問題埋下伏筆。“那是不是有了中括號(hào)，以后所有的問題都能解決了呢？”將學(xué)生的思維再次引向深入，讓整節(jié)課有了整體感和結(jié)構(gòu)性。

整體性、結(jié)構(gòu)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特性。用整體建構(gòu)的理念指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)一系列的數(shù)學(xué)結(jié)合符號(hào)，創(chuàng)建出結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)課堂，引領(lǐng)學(xué)生在完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、豐富學(xué)習(xí)感受、發(fā)展思維素養(yǎng)的過程中，逐步地從自主走向自為。這，既符合數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，又符合兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律，更符合信息時(shí)代素養(yǎng)教育的大方向。

（二）數(shù)學(xué)之美

1.貫穿始終的簡潔美。

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“就數(shù)學(xué)本身而言，是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的……認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味的人，只是看到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，而沒有體會(huì)出數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。”括號(hào)的使用也有美感嗎？這一點(diǎn)，杜老師早就洞察到了，并讓這種美貫穿始終?！昂啙嵜朗菙?shù)學(xué)永遠(yuǎn)追求的目標(biāo)?！睌?shù)學(xué)用空間形式和數(shù)量關(guān)系譜寫了自然界和人類社會(huì)的內(nèi)在旋律，以其簡潔、優(yōu)美的公式與定理揭示了世界的本質(zhì)，給人以美感。結(jié)合符號(hào)是有限的，隨著解題步驟的增多，算式也會(huì)變得龐大，杜老師適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生：括號(hào)的使用不在于豐富，而是在于簡潔。作為人類智慧結(jié)晶的數(shù)學(xué)再次與美密切聯(lián)系在了一起。

2.規(guī)范的指導(dǎo)和循序漸進(jìn)的教學(xué)結(jié)構(gòu)。

遞等式計(jì)算中，是否保留中括號(hào)引發(fā)了學(xué)生的爭議。然而，杜老師包容的點(diǎn)評(píng)中，既肯定了學(xué)生的多樣化表達(dá)，也進(jìn)一步明確了保留中括號(hào)做法的有益之處，更為練習(xí)提升做好了規(guī)范表達(dá)的準(zhǔn)備。

全課的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)也處處彰顯美感。從“感受中括號(hào)產(chǎn)生的必要”到“明晰含中括號(hào)的順序”“應(yīng)用中深化價(jià)值”，再到“遞等式計(jì)算”和“練習(xí)提升”，輪廓清晰，又絲絲入扣、緊密相連，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的基本思想和學(xué)科核心素養(yǎng)。不僅在教學(xué)內(nèi)容本身把握得當(dāng)，還在教學(xué)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)之中力求向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的魅力——高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、廣泛的應(yīng)用性，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)潤物無聲。