趙岷
摘 要:“圓錐的體積”是蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)的知識(shí)內(nèi)容。教材編排是以“提出猜想—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—獲得結(jié)論”為線索,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)圓錐體積公式。文章作者認(rèn)為,教材上的實(shí)驗(yàn)方案過(guò)于單一,沒(méi)有充分體現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主體地位,學(xué)生的創(chuàng)造思維沒(méi)有得到充足發(fā)展。為此,文章對(duì)“圓錐的體積”的教學(xué)進(jìn)行了思考、探究。
關(guān)鍵詞:“圓錐的體積”;主體地位;思維發(fā)展
中圖分類號(hào):G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 收稿日期:2020-05-14 文章編號(hào):1674-120X(2020)30-0033-02
一、實(shí)驗(yàn)思考
“圓錐的體積”教學(xué)采用實(shí)驗(yàn)法。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,用一個(gè)圓錐狀容器裝滿水或者沙子,接著將水或沙子倒入一個(gè)與它等底等高的圓柱狀容器,重復(fù)操作三次后,剛好可以裝滿圓柱狀容器。學(xué)生回顧實(shí)驗(yàn)過(guò)程,推導(dǎo)出圓錐體積是與它等底等高圓柱體積的三分之一。從實(shí)驗(yàn)本身來(lái)看,這樣的教學(xué)是成功的,學(xué)生理解了圓錐體積的推導(dǎo)過(guò)程,并且學(xué)會(huì)了運(yùn)用圓錐的體積公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。但是,這樣的設(shè)計(jì)著眼于知識(shí)本身和教師的預(yù)設(shè),排斥了學(xué)生的思維和個(gè)性,忽視了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位,忽視了學(xué)生創(chuàng)造思維的發(fā)展。在具體教學(xué)中,筆者思考了如下問(wèn)題:
(一)學(xué)生準(zhǔn)確的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)在哪里?
教學(xué)新知識(shí)要從學(xué)生的認(rèn)知實(shí)際出發(fā),基于學(xué)生已有的知識(shí)背景和能力水平。在一般的教學(xué)中, 教師往往只注重教學(xué)生“怎樣做”, 而忽略了 “為什么這樣做”,造成了學(xué)生知識(shí)的片段化,學(xué)生只知結(jié)果不知起因。圓錐只由兩個(gè)面構(gòu)成,一個(gè)是圓形,另一個(gè)是曲面,在小學(xué)教學(xué)中比較特殊,圓錐的體積無(wú)疑是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。六年級(jí)學(xué)生此前已經(jīng)學(xué)過(guò)的立體圖形有長(zhǎng)方體、正方體、圓柱。要把圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱,學(xué)生應(yīng)該怎樣思考?有什么樣的選擇過(guò)程?一開始就出示等底等高的一組圓柱和圓錐,暗示兩者體積的必然關(guān)系,讓學(xué)生猜測(cè)他們的體積關(guān)系,然后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,得出結(jié)論,這種實(shí)驗(yàn)過(guò)程沒(méi)有立足學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)點(diǎn),沒(méi)有重視學(xué)生的想象力,思維含量太低。
(二) 如何體現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主體地位?
把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,發(fā)揮已有知識(shí)力量,由學(xué)生主動(dòng)去打通新舊知識(shí)的通道,是學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的有力體現(xiàn)。教師在教學(xué)本節(jié)內(nèi)容之前,可以讓學(xué)生利用不同圖形之間等積轉(zhuǎn)化的原則,通過(guò)切割、拼接等方式,把圓柱轉(zhuǎn)化成和它等底等高的近似的長(zhǎng)方體,觀察發(fā)現(xiàn)圓柱和長(zhǎng)方體各邊之間的關(guān)系,推導(dǎo)出圓柱的體積公式。由于有對(duì)圓柱體積相關(guān)知識(shí)的記憶,學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐體積時(shí)很自然就會(huì)聯(lián)想到等積轉(zhuǎn)化。因?yàn)榈鹊椎雀卟僮鞯闹庇^、便捷性,教材直接采用不等積轉(zhuǎn)化原則,把3個(gè)圓錐轉(zhuǎn)化成一個(gè)和它等底等高的圓柱,通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)圓錐體積是和它等底等高圓柱體積的三分之一。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),前期已有的操作經(jīng)驗(yàn)是等積轉(zhuǎn)化,如何想到不等積轉(zhuǎn)化的實(shí)驗(yàn)方案?如何在教師的指令下驗(yàn)證等底等高,進(jìn)行3次倒水實(shí)驗(yàn),得到體積公式?
二、實(shí)驗(yàn)實(shí)踐
(一)確定實(shí)驗(yàn)方案
讓學(xué)生回答:要研究圓錐的體積,可以把圓錐轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的哪一種立體圖形?
生1:把圓錐轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體,長(zhǎng)方體的體積我們學(xué)過(guò),很好計(jì)算。
生2:我不同意,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都不知道,沒(méi)有具體的數(shù)據(jù),沒(méi)法計(jì)算。
生3:我想把圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱,因?yàn)閳A錐和圓柱的底面一樣,都是圓形。
生4:我同意這個(gè)想法,因?yàn)閳A柱可以被削成圓錐,它們的底面積相同,高也相同。
師:同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考有了結(jié)果,都能想到利用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決今天的問(wèn)題。那么,你準(zhǔn)備把已知圓錐轉(zhuǎn)化成什么樣的圓柱呢?
小組討論,匯報(bào),形成了三種實(shí)驗(yàn)方案:
A:把圓錐轉(zhuǎn)化成和它體積相等、底面積相等的圓柱。
B:把圓錐轉(zhuǎn)化成和它體積相等、高相等的圓柱。
C:把圓錐轉(zhuǎn)化成和它底相等、高相等的圓柱。
(二)實(shí)施實(shí)驗(yàn)過(guò)程
學(xué)生分組選擇試驗(yàn)方案,實(shí)施實(shí)驗(yàn)。匯報(bào)時(shí)先從等積轉(zhuǎn)化開始。
小組1:我們的實(shí)驗(yàn)方案是:體積不變,底面積不變,看看圓錐的高和轉(zhuǎn)化后的圓柱的高有什么關(guān)系。選用橡皮泥材質(zhì)的圓錐,為確保圓錐底面積不變,把圓錐放入一個(gè)等底的圓柱內(nèi),把圓錐從頂部向底部輕輕擠壓,最后圓錐轉(zhuǎn)化成和它等積等底的圓柱。測(cè)量發(fā)現(xiàn):等體積等底面積的圓錐的高是圓柱高的1/3。
小組2補(bǔ)充:我們的實(shí)驗(yàn)方案和上一組一樣。選擇一個(gè)和圓錐等底的量杯,并在量杯里裝部分水,把圓錐放入量杯(一定要把圓錐頂部朝下放置,這樣方便水上漲),觀察圓錐的體積等于水上升圓柱的體積。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):等體積等底的圓錐的高是圓柱高的1/3。
小組3:我們的實(shí)驗(yàn)方案是:體積不變,高不變,看看圓錐的底面積和轉(zhuǎn)化后的圓柱的底面積有什么關(guān)系。選用橡皮泥材質(zhì)的圓錐做實(shí)驗(yàn),把圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱。由于半徑太難測(cè)量,只是感覺(jué)底面積變小了,缺乏具體數(shù)據(jù),不能準(zhǔn)確描述探究結(jié)果。
小組4:我們的實(shí)驗(yàn)方案是:底面積不變,高不變,看看圓錐的體積和轉(zhuǎn)化后的圓柱的體積有什么關(guān)系。選擇等底等高的一組圓錐和圓柱,用圓錐裝滿水倒向圓柱,倒了三次,把圓柱倒?jié)M。通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):等底等高的圓錐是圓柱體積的1/3。
生5補(bǔ)充:我是第4組的。我們第一次把圓錐里的水倒入等底的圓柱時(shí),也感覺(jué)轉(zhuǎn)化后圓柱的高是圓錐的1/3,即第一組發(fā)現(xiàn)的結(jié)果。
(三)歸納實(shí)驗(yàn)結(jié)論
師:通過(guò)剛才的實(shí)驗(yàn)過(guò)程,你們發(fā)現(xiàn)圓錐的體積可以怎樣計(jì)算?
生6 :我們把圓錐轉(zhuǎn)化成體積相同、底面積相同的圓柱,發(fā)現(xiàn)圓柱的高是圓錐的1/3,所以,圓錐的體積=底面積×
(高×1/3)。
生7:我們把圓錐轉(zhuǎn)化成底面積相等、高相等的圓柱,發(fā)現(xiàn)圓柱的體積是圓錐體積的3倍。所以,圓錐的體積=(底面積×高)×1/3。
生8:我根據(jù)生6和生7的總結(jié),可以推導(dǎo)出圓錐的體積=(底面積×1/3)×高。
三、實(shí)驗(yàn)反思
(一)核心問(wèn)題引領(lǐng)實(shí)驗(yàn)方案
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中明確指出:“教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從真實(shí)的情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,有針對(duì)性地展開討論,提出解決問(wèn)題的思路,使學(xué)生的認(rèn)識(shí)逐步得到發(fā)展。”傳統(tǒng)教材編排實(shí)驗(yàn)開始直接出示一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐,讓學(xué)生觀察兩個(gè)圖形之間底與高的關(guān)系,這樣的實(shí)驗(yàn)方式,限制了學(xué)生的合理想象,把學(xué)生的思維直接定型在兩者之間的必然聯(lián)系上,阻礙了學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)二者之間體積轉(zhuǎn)化的可能。學(xué)生雖然發(fā)現(xiàn)圓錐和圓柱之間等底等高的關(guān)系,但并不知道為什么要觀察這兩個(gè)圖形,為什么要選擇等底等高這樣的條件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。筆者提出問(wèn)題“圓錐可以轉(zhuǎn)化成什么圖形?”“你想把圓錐轉(zhuǎn)化成什么樣的圓柱?”讓學(xué)生大膽想象,在討論中發(fā)現(xiàn)兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系,最終自主選擇把圓錐轉(zhuǎn)化為圓柱。在核心問(wèn)題的引導(dǎo)下,小組展開討論,提出了三種圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱的實(shí)驗(yàn)方案:可以等積等底研究高的關(guān)系,可以等積等高研究底的關(guān)系,也可以等底等高研究體積的關(guān)系。
(二)高質(zhì)操作保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果
兒童的思維體現(xiàn)在手指尖上。動(dòng)手操作的過(guò)程是一個(gè)手腦并用的過(guò)程,是培養(yǎng)技能、促進(jìn)思維發(fā)展的一種有效手段。高質(zhì)有效的操作能夠讓實(shí)驗(yàn)順利進(jìn)行,還能保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確、有效。教材編排實(shí)驗(yàn)材料簡(jiǎn)單:沙土,等底等高的圓錐和圓柱各一個(gè)。在教學(xué)時(shí),筆者豐富了實(shí)驗(yàn)材料,給學(xué)生增添了量杯、橡皮泥材質(zhì)的圓錐。由于實(shí)驗(yàn)具有一定難度,所以組織方式采用小組合作互評(píng)互議,讓學(xué)生在互幫互助中使實(shí)驗(yàn)順利進(jìn)行。在實(shí)驗(yàn)中,學(xué)生為了滿足等積等高,需要縮底,嘗試把圓錐的底面在桌上滾動(dòng)壓縮,還嘗試把圓錐底部直接削去,添補(bǔ)在圓錐的頂部。實(shí)驗(yàn)的過(guò)程很費(fèi)時(shí),也沒(méi)有達(dá)到學(xué)生們的預(yù)期效果。但是,經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)過(guò)程,學(xué)生感悟:要想等積等高,底必須縮小,至于縮小的具體關(guān)系暫時(shí)還無(wú)法測(cè)量計(jì)算。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程不是簡(jiǎn)單地模仿數(shù)學(xué)家“舊發(fā)現(xiàn)”“舊創(chuàng)造”,而是經(jīng)歷一個(gè)真正的“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的過(guò)程。學(xué)生通過(guò)親自實(shí)踐,發(fā)現(xiàn)了兩種圖形之間的多種關(guān)系,學(xué)有所得,體驗(yàn)到了成功的快樂(lè)。
(三)全面歸納豐富實(shí)驗(yàn)結(jié)論
在課堂教學(xué)中,很多教師因?yàn)榻虒W(xué)時(shí)間受限和教學(xué)任務(wù)的影響,喜歡幫助學(xué)生歸納總結(jié),把教師認(rèn)為最容易教、學(xué)生最不易出錯(cuò)的方法,直接歸納教給學(xué)生。這些教師覺(jué)得這樣既可以節(jié)省時(shí)間,又能保證做題的正確率,讓學(xué)生少走彎路。殊不知這種省時(shí)省力的做法,扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。教學(xué)中讓學(xué)生動(dòng)手操作, 自主思考,全面歸納,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力、提高學(xué)生思維能力的有效方法。在課堂中,筆者讓每一組都把實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié),匯報(bào)交流,這樣學(xué)生才理解書里編排的在“等底等高”情況下研究體積的方法只是眾多實(shí)驗(yàn)路徑之一;簡(jiǎn)單的圓錐體積公式里蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵,1/3在公式中所處的位置不同,表達(dá)了計(jì)算圓錐體積時(shí)不同的意義。學(xué)生通過(guò)等底等高的圓錐體積是圓柱的1/3和等積等底圓錐的高是圓柱的3倍,可以推理出等積等高圓錐的底面積是圓柱的1/3。
數(shù)學(xué)家波利亞指出:“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑,都是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、探索、研究,因?yàn)檫@樣理解起來(lái)更深刻,也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”。本案例的教學(xué)設(shè)計(jì)中,教師從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā),對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行了改變,讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案,自主經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過(guò)程,自主總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)論,讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí),數(shù)學(xué)思維也得到了發(fā)展。
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