可解群的Hall π子群的Hall分解

余中興,周 芳

(太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,山西 晉中 030619)

0 引言

設(shè)π是一個(gè)素?cái)?shù)集合,有限群G的一個(gè)子群H是π群,并且H在G中的指數(shù)的所有素因子均不包含在π中,那么稱H是G的Hallπ子群.P.Hall 在文獻(xiàn)[1]系統(tǒng)的提出了π系理論,并且指出了當(dāng)π只有一個(gè)素?cái)?shù)時(shí)即是Sylow p理論.本文是下述結(jié)論的一個(gè)推廣.

引理設(shè)G=HK，P∈Sylowp(G).則存在P1∈Sylowp(H)，P2∈Sylowp(K)，使得P=P1P2.

2 主要結(jié)果

定理設(shè)G=HK是有限階的可解群,其中H和K是G的子群,π是某個(gè)素?cái)?shù)的集合，則存在T?Hallπ(G)使得T∩H?Hallπ(H)和T∩K?Hallπ(K)，并且T=(T∩H)(T∩K).

證明 根據(jù)題設(shè),G=HK是有限階的可解群.由[2]的定理3.13知對(duì)于任意的素?cái)?shù)集合π，G都有Hallπ子群.

首先,需證明如果U是G的一個(gè)π子群,則存在S∈Hallπ(G)使得U?S.

下面證明存在T∈Hallπ(G)使得T∩H∈Hallπ(H)和T∩K∈Hallπ(K).

不妨設(shè)A∈Hallπ(H)，那么根據(jù)上面的證明知道存在R∈Hallπ(G)使得A?R，則有A=R∩H.同理可知存在W∈Hallπ(G)使得W∩K∈Hallπ(K).根據(jù)[2]的定理3.14知G的所有Hallπ子群都是共軛的,那么存在g∈G使得W=Rg.由于G=HK，所以對(duì)于任意的g∈G，存在h∈H和k∈K使得g=hk.那么則有W∩K=Rg∩K=Rhk∩K=(Rh∩K)k∈Hallπ(K).同理有，則Rh∩H=(R∩H)h∈Hallπ(H).令Rh=T∈Hallπ(G)即為所需要的Hallπ子群,結(jié)論成立.

最后需證明T=(T∩H)(T∩K).