半線性微分方程的近似可控性

李建利，陳麗珍

(1.太原學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 太原 030032；2.山西財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

0 引言

本文主要研究下列微分方程:

(1)

溫和解的近似可控性.算子A在Banach空間Y上生成強連續(xù)半群T(s)，u(·)是L2(J,U)中給定的控制函數(shù)，B是U→Y的有界線性算子，g:J×Y→Y.y0是Y的一個給定的元素，C(J,Y)表示定義在J上取值于Y的連續(xù)函數(shù)全體，賦予范數(shù)‖y‖=sup{|y(s)|:s∈J}.

由于可控性問題與極點配置、結(jié)構(gòu)分解、最優(yōu)控制等有密切的聯(lián)系，所以可控性問題在控制理論和工程中占有重要的地位[1,2].近年來，各種微分和脈沖微分系統(tǒng)的可控性問題已被許多人使用不同的方法進行了廣泛研究[3-5].在文獻[3,4,7]中有半群緊性的假設(shè)，也有相應(yīng)線性系統(tǒng)的可控性假設(shè)， 但在無限維的情況下，這些假設(shè)是相互矛盾的[6,7].實際上，在這種情況下，可控性僅在子空間上成立.因此，微分方程的近似可控性的研究具有重要意義.在本文中，利用不動點方法和非緊性測度來研究半線性微分方程的近似可控性.

1 預(yù)備知識

本節(jié)主要介紹一些基本定義、符號及引理.

設(shè)yk(y0,u)為系統(tǒng)(1)在終點k對應(yīng)控制函數(shù)u的狀態(tài)值，y0為初始值.定義集合:

R(k,y0)={yk(y0,u)(0):u(·)∈L2(J,U)}，

定義算子

根據(jù)文獻[8]可知，(S1)成立，當(dāng)且僅當(dāng)線性系統(tǒng)

(2)

在J上是近似可控的.

定義1.2若函數(shù)y∈C([0,k],Y)滿足

則稱函數(shù)y為問題(1)的一個溫和解.

設(shè)X為Banach空間，定義X上的Hausdorff非緊性測度MNC，

χ(Ω)=inf{ε>0:Ω在X中有一個有限的ε-網(wǎng)}.

在下面的引理中給出了Hausdorff非緊性測度χ的的一些基本性質(zhì).

引理1.3[9]設(shè)X為實Banach空間，B1,B2?X有界，則滿足下列性質(zhì)：

(ⅰ)B1是預(yù)緊的，當(dāng)且僅當(dāng)χ(B1)=0；

(ⅲ)若B1?B2，則χ(B1)≤χ(B2)；

(ⅳ)χ(B1+B2)≤χ(B1)+χ(B2)，其中B1+B2={x+y;x∈B1,y∈B2}；

(ⅴ)對任意的λ∈R，χ(λB1)=|λ|χ(B1).

定義1.4定義有界線性算子G:L1([0,k],Y)→C([0,k],Y)為:

(3)

稱之為Cauchy算子，其中T(s)是由A生成的C0半群.

那么對于所有的s∈[0,k]，有

引理1.6[11]假設(shè)A:D(A)→Y是Banach空間Y中一致有界線性算子{T(s),s≥0}緊半群的無窮小生成元,那么由:

給出的p>1的算子Q:Lp(J,Y)→C(J,Y)是強連續(xù)的.

下面的不動點定理在主要結(jié)果的證明中起著關(guān)鍵作用.

y≠λF(y)，

下面僅需證明，對所有α>0，都存在一個連續(xù)函數(shù)y(·)∈C(J,Y)，使得:

其中:

則系統(tǒng)(1)是近似可控的.

2 主要結(jié)果

假設(shè)：

(H1) 半群T(s)(s>0)，是緊的.

(H2)g:[0,k]×Y→Y；對于幾乎處處的s∈[0,k]，函數(shù)g(s,·):Y→Y是連續(xù)的；對于所有y∈Y，函數(shù)g(·,y):[0,k]→Y是可測的.

(H3) 對于所有y∈Y和s∈[0,k]，存在一個函數(shù)m∈L1([0,k],R+)和一個非遞減連續(xù)函數(shù)Ω:R+→R+，使得

‖g(s,y)‖≤m(s)Ω(‖y‖).

(H4) 存在一個函數(shù)b∈L1([0,k],R+),使得對每個有界集D?Y，有

χ(g(s,D))≤b(s)χ(D)，a.e.s∈[0,k]，

其中χ是Hausdorff MNC.

為了方便起見，引入兩個符號

定理2.1設(shè)Y為實Banach空間.若假設(shè)(H1)-(H4)成立，則對于所有的0<α≤1，只要存在一個常數(shù)N>0，且滿足

(4)

和

(5)

則系統(tǒng)(1)在J上有一個溫和解.

證明 對于α>0，將C(J,Y)上的算子Γα定義為

Γα(y)=z，

其中:

下證，對所有α>0，Γα:C(J,Y)→C(J,Y)都有一個不動點.

那么對于所有的ε′>ε，存在一個有限族{η1,η2,…,ηj}?L2([0,k],U)，使得對于任意的un∈L2([0,k],U)，存在

‖un-ηi‖L2(J,U)≤ε′,i∈{1,2,…,j}.

根據(jù)上面的不等式，有:

和

因為

由引理1.3

因此，

利用(5)式，上式表明χ(D)=0.

第3步，設(shè)λ∈(0,1)，y=λΓα(y)，那么對于s∈[0,k]，有

因此

所以

那么由(4)可知，存在N使得‖y‖≠N.定義集合

U={y∈C([0,k],Y):‖y‖

定理2.2假設(shè)線性系統(tǒng)(2)在J上近似可控，如果滿足條件(H1)-(H4)，則系統(tǒng)(1)是近似可控的.

下的一個溫和解，且滿足等式

Qgα→Qg.

因此，當(dāng)α→0+時，

其中:

那么當(dāng)α→0+時，

因此，系統(tǒng)(1)在J上是近似可控的.