認(rèn)知發(fā)展觀視域下分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常見錯誤分析

于桓

摘?要：分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點所在。初學(xué)者在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題方面會由于數(shù)量關(guān)系分析不得當(dāng)、誤判單位“1”、分量與分率理解不到位、量率不對應(yīng)等導(dǎo)致各式各樣的錯誤。根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展觀理論，錯誤的主要原因是由于學(xué)生已有圖式無法修改，新的圖式尚未建立，同化—順應(yīng)—平衡未實現(xiàn);已有圖式不足以支撐新情境下的問題解決;已有知識經(jīng)驗干擾;新知識不牢固;直覺等因素影響學(xué)生的判斷。學(xué)生分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常見錯誤以及錯誤原因值得一線小學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注與反思，旨在為教師教學(xué)設(shè)計提供支持。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知發(fā)展觀;分?jǐn)?shù)應(yīng)用題;常見錯誤;成因分析

【中圖分類號】G648?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A?【文章編號】1005-8877（2020）27-0179-02

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位，是教師教學(xué)的重點，也是小學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題一向是小學(xué)生的老大難問題，題目難度大，問題情境復(fù)雜，數(shù)量關(guān)系不易厘清，計算步驟繁瑣等特點，給人一種枯燥、乏味、不好切入的印象，學(xué)生常常會在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中栽跟頭，教師面對學(xué)生的錯誤，常常伴隨著苦惱和無奈的心情。無論分?jǐn)?shù)應(yīng)用題如何講解，仍然有學(xué)生出現(xiàn)各種各樣的問題。學(xué)生的常見錯誤是什么？有哪些常見的錯誤類型？錯誤的原因是什么？學(xué)生在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的思維規(guī)律是什么？這些問題顯得尤為重要了。本研究基于皮亞杰認(rèn)知發(fā)展觀重新審視學(xué)生在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的學(xué)習(xí)困難、障礙、錯誤類型，成因分析，這應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教育工作者不斷反思的議題。

1.皮亞杰認(rèn)知發(fā)展觀理論

皮亞杰，瑞士兒童心理學(xué)家，建構(gòu)主義認(rèn)知理論的先驅(qū)。皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展觀中涉及到了圖式、同化、順應(yīng)、平衡幾個核心概念。其中，圖式是指活動的結(jié)構(gòu)和組織，是一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，一種有組織的、可重復(fù)的行為或者思維模式。兒童先天具有遺傳圖式，隨著兒童通過活動，有機(jī)體不斷變化，豐富已有圖式，這些變化包括同化和順應(yīng)兩個方面。具體而言，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，起初是平衡狀態(tài)的，當(dāng)新知識進(jìn)入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，如果能被順利地吸收，則新知識順利地被同化。當(dāng)然，還可能是學(xué)生自認(rèn)為同化成功了，但是出現(xiàn)了誤解，事實上并沒有同化成功，那么就需要澄清誤解，修改圖式，把新的元素加入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而達(dá)到平衡。（見圖1）如果不能被同化，這時候就產(chǎn)生了認(rèn)知不平衡的狀態(tài)，教師需要修改學(xué)生頭腦中的圖式或者創(chuàng)建新的圖式，幫助學(xué)生同化新的知識，當(dāng)新的知識能夠進(jìn)入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，那么新知識就被很好的順應(yīng)，再次達(dá)到了平衡的狀態(tài)。如果學(xué)生不能夠創(chuàng)造新的圖式或者舊的圖式?jīng)]有被很好地修改，那么新知識就沒有被學(xué)生吸收，也就沒有順應(yīng)的過程。同化實際上是主體能夠利用已有圖式或者認(rèn)知結(jié)構(gòu)把刺激整合到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。順應(yīng)就是結(jié)構(gòu)受到了它所同化元素的影響而發(fā)生了改變。換言之，同化即將客體納入主體已有的圖式之中，引起圖式的量變;順應(yīng)即當(dāng)主體的圖式與客體發(fā)生沖突時，就調(diào)節(jié)原有的圖式，創(chuàng)立新的圖式，從而引起質(zhì)變。最后，個體在與外界環(huán)境的不斷接觸中，通過同化和順應(yīng)兩種變化來達(dá)到某種相對穩(wěn)定的狀態(tài)，即平衡狀態(tài)。學(xué)生自身未能實現(xiàn)同化的，出現(xiàn)各式各樣的誤解或者錯誤，這正是教師教學(xué)需要下功夫之處。

2.分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常見錯誤及成因分析

學(xué)生解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常見錯誤有數(shù)量關(guān)系分析不得當(dāng)、誤判單位“1”、分量與分率理解不到位、量率不對應(yīng)、計算等導(dǎo)致錯誤等，具體分析如下。

（1）數(shù)量關(guān)系分析不得當(dāng)

例題1：有兩包糖，甲包比乙包多千克，如果從乙包中取出千克放入甲包，這時甲包比乙包多多少千克？

是沒有仔細(xì)分析清楚數(shù)量關(guān)系，憑借直覺簡單的對兩個分?jǐn)?shù)相加;學(xué)生感知到兩個分?jǐn)?shù)，但僅僅感知了兩個分?jǐn)?shù)，沒有理解數(shù)量關(guān)系背后的意義。即感知到了數(shù)字，沒有感知到問題情境的真實含義。在分析數(shù)量關(guān)系時，學(xué)生沒有理解清楚從乙包中取出五分之一放入甲包，并非僅僅意味著甲包增加了，還有一個情況是乙包也面臨減少了五分之一，學(xué)生頭腦中已有的圖式未被準(zhǔn)確的同化、順應(yīng)、平衡，于是出現(xiàn)了錯誤，此題正確答案是，，所以甲包比乙包多，為了提高小學(xué)生的認(rèn)識以及正確率，此題可以通過畫圖的方式給小學(xué)生演示甲包、乙包取出和放入的過程。

（2）誤判單位“1”

例題2：一臺電腦5000元，先降價，再漲價，小紅說：這臺電腦現(xiàn)價與原價相等。小明說：這臺電腦低于原價。誰說的對？現(xiàn)價是多少元？

學(xué)生的錯誤答案是小紅對，現(xiàn)價和原價相等。此題從直覺角度看，兩個十分之一會給人一種誤解，誤認(rèn)為是一樣多。另外，從學(xué)生已有的整數(shù)經(jīng)驗來看，如果題目改為一臺電腦5000元，先降價500，再漲價500元，問現(xiàn)價與原價之間的關(guān)系，那么這樣是一樣多的。學(xué)生發(fā)生錯誤的原因還有一種可能是，已有的圖式在遇到新情況時不能被很好同化與順應(yīng)，也就是學(xué)生意識到了此題的情況與整數(shù)情況是不同的，但是無法找到變化后的單位“1”，于是做出了錯誤的判斷。正確的解法是：兩次單位“1”不同。第一次的單位1是5000元，第二次的單位“1”是5000×（1-）=4500元，所以，4500×（1+）=4950，4950<5000，所以小明說的對。

（3）分量與分率理解不到位

例題3：兩根同樣長的繩子，從第一根截取它的，從第二根上截取米，余下部分哪個長？

學(xué)生的經(jīng)典錯誤答案是認(rèn)為兩條繩子余下的部分是一樣長的。學(xué)生已有的整數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗表明，如果此題改為兩根同樣長的繩子，第一根截取3米，第二根上截取3米，剩下的部分哪個長？如果改為這樣的題目，兩根繩子余下的一定是一樣多的，但是如果是分?jǐn)?shù)，雖然分?jǐn)?shù)都是，但是一個表示分率，一個表示分量，量是有單位的，率是沒有單位的，學(xué)生出錯是因為受到了已有知識經(jīng)驗的影響;還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了和米之間的區(qū)別，但是因為未能順利的進(jìn)行同化和順應(yīng)，不知道此題應(yīng)該如何下手分析，即整數(shù)經(jīng)驗的圖式在新的問題情境下已不適用了，需要修改圖式以適應(yīng)新的問題情。所以正確的答案是兩根繩子無法比較，從情感角度來看，小學(xué)生更希望做出具體答案，比如，第一根長、第二根長或者同樣長，學(xué)生更不愿意選擇無法比較這樣的選項。為了準(zhǔn)確的做出判斷，通常會用設(shè)數(shù)的方法來解答此題，設(shè)繩子長1米和7米進(jìn)行分析判斷。

（4）量率不對應(yīng)

例題4：一輛車從甲地開往乙地，如果把車速減少，那么要比原定時間遲到1小時到達(dá)，如果以原始行駛180千米，再把車速提高，那么可以比原定時間早1小時到達(dá)。甲、乙兩地之間的距離是多少千米？

此題是小升初考試的一道原題。學(xué)生處理此題時，能夠正確計算第一種情況下原定時間1÷×（1-）=9小時，或者計算V原：V現(xiàn)=10：9，T原：T現(xiàn)=9：10;第二種情況中，V原：V?，F(xiàn)=5：6，T原：T?，F(xiàn)=6：5，學(xué)生的錯誤在于用180對應(yīng)的是先行的路程，而前邊討論的剩下部分的速度和時間問題，所以，不能用量“180”除以率，量率是不對應(yīng)的，如果此題教師講解后學(xué)生仍找不到量率對應(yīng)關(guān)系，教師可以通過畫圖的方式輔助學(xué)生理解。

（5）逆向思維

例題5：孫悟空從山上采回一堆桃子，打算四天吃完，第一天吃了全部桃子的又3個，第二天它吃了剩下桃子的又2個，第三天吃了這時剩下的又一個，第四天正好只能吃1個。孫悟空從山上采回了多少個桃子？這道題目是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中非常經(jīng)典的一道題，通常學(xué)生習(xí)慣于正向的數(shù)量關(guān)系來分析，嘗試列方程解應(yīng)用題，但是，列式過于復(fù)雜，計算量過大導(dǎo)致各式各樣的錯誤。當(dāng)然，學(xué)生拿到之后會感到無從下手，即頭腦中已有的圖式不足以分析解答孫悟空采桃子的問題。這道題和以往的題目不同的是，要逆向思維從第四天開始分析，倒推第三天、第二天、第一天最后求出所有的桃子總量。（1+1）÷（1-）=4（個） 4+2=6（個） 6÷=9（個） 9+3=12（個） 12÷=16（個）

學(xué)生在初學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題會出現(xiàn)各式各樣的錯誤，教師可把學(xué)生的錯誤進(jìn)行收集、歸納、分類、整理，分析，真正實現(xiàn)“預(yù)測錯誤—辨別錯誤—解釋錯誤—應(yīng)用錯誤。”預(yù)測錯誤是在學(xué)生未發(fā)生錯誤之前，教師進(jìn)行的預(yù)判，出現(xiàn)錯誤之后，教師需要辨別錯誤，呈現(xiàn)錯誤，澄清誤解，修正錯誤，解釋應(yīng)用，幫助學(xué)生實現(xiàn)從“誤”到“悟”的轉(zhuǎn)變。

參考文獻(xiàn)

[1]陳琦，劉德儒.當(dāng)代教育心理學(xué)[J].北京：北京師范大學(xué)出版社，2015（07）：30-37

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