基于迭代函數(shù)系統(tǒng)的分形樹模擬

廖原 馬燕

摘 ?要：?研究了迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）的各個參數(shù)對生成分形圖形的影響，在拼貼方法基礎(chǔ)上提出了一種設(shè)計IFS碼的高效方法，總結(jié)了調(diào)整分形圖形的策略，對IFS碼作微小調(diào)整，模擬植物生長過程中由風(fēng)力、光照等因素引起的樹枝彎曲程度和樹葉疏密的變化。

關(guān)鍵詞：?迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）;?圖形學(xué);?分形

中圖分類號： TP391.41 ???文獻(xiàn)標(biāo)志碼：?A ???文章編號：?1000-5137（2020）05-0541-06

Simulation of fractal tree based on iteration function system

LIAO Yuan， MA Yan^*

（College of Information， Mechanical and Electrical Engineering， Shanghai Normal University， Shanghai 201418， China）

Abstract：?In this paper the influence on the fractal graphics with the change of iteration function system （IFS）?parameters was studied respectively.An efficient algorithm for designing IFS codes based on collage method was proposed and the strategies for regulating fractal graphics were summarized.Lastly，a strategy for adjusting IFS codes was presented，which was able to imitate the changes of branch bending and density of the leaves caused by wind and illumination during the plant growth process.

Key words：?iteration function system （IFS）;?graphics;?fractal

0 ?引 ?言

自然界中存在很多具有自相似性的事物，例如云朵、海浪、雪花、植物等，可以通過分形描述它們。分形在任意小的尺度上都具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，可用簡單的規(guī)則表示較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。將分形應(yīng)用于計算機(jī)圖形學(xué)，可用較少的語言精準(zhǔn)地描繪細(xì)節(jié)被放大的圖形，其常見的方法有：L-系統(tǒng)、粒子系統(tǒng)、迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）等^[1]。

植物是地理信息系統(tǒng)、虛擬現(xiàn)實、園林設(shè)計等領(lǐng)域的研究對象，是計算機(jī)圖形學(xué)的重要研究課題^[2]。迭代函數(shù)系統(tǒng)是繪制植物分形圖形的主要方法之一，前人已做了不少研究。李慶忠等^[3]提出了一種通過跟蹤仿射變換點對枝干和樹葉自然著色的方法;劉蕓等^[4]通過加入風(fēng)力影響因子，模擬了自然條件下的沙丘植被生長狀況;李彩云等^[5]分析了IFS的各個參數(shù)對生成分形樹的影響，并通過擬仿射變換分形圖形，生成了多片葉瓣的圖形;劉娟等^[6]提出了一種引入隨機(jī)因子繪制不同形態(tài)楓樹的方法。

本文作者分析了IFS系統(tǒng)各個參數(shù)對生成圖形的影響，總結(jié)了生成分形樹的參數(shù)調(diào)整策略，根據(jù)需求有針對性地修改參數(shù)，能夠精準(zhǔn)可控地模擬生長過程中的樹木形態(tài)變化，以及由風(fēng)、光照等因素引起的樹枝彎曲程度和樹葉疏密的變化。本研究可模擬不同的植物，可應(yīng)用于虛擬場景、動畫制作、景觀設(shè)計等領(lǐng)域。

1 ?IFS

1.1 仿射變換

IFS由一個完備度量空間（X，ρ）和一個有限的壓縮映射集W_n及相應(yīng)的壓縮因子s_n，n=1，2，…，N所組成，每個W_n有一個伴隨概率p_n，0<p_n<1且=1。壓縮映射集W_n是由縮放、選擇、錯切、平移得到的仿射變換，采用直角坐標(biāo)系表示的變換形式如下：

其中，i，j，k，l，m，n為實數(shù)^[7]。

1.2分形樹IFS的計算

用拼貼的方法建立IFS模型，模擬有分形特征的自然植物。首先確定完整圖形（圖1（a））由哪些小部分構(gòu)成，然后用一個長方形區(qū)域覆蓋完整圖形，每一個子圖用一個平行四邊形區(qū)域覆蓋（圖1（b）），最后通過這些區(qū)域的形狀、位置關(guān)系，計算出IFS的參數(shù)值^[1]。

由于分形圖形是經(jīng)多次迭代計算得到，需要多次調(diào)整IFS的參數(shù)值，以繪制達(dá)到預(yù)期形狀的分形樹。本研究給出一種較為簡單高效的IFS參數(shù)設(shè)計方法：

通過對原圖形的縮放和旋轉(zhuǎn)，確定植物的大致形狀。每個四邊形代表一個壓縮映射，其中的點通過同一個仿射變換得到。為了更好地模擬植物形態(tài)，在確定了大概樹形之后考慮樹枝、樹葉形狀，對IFS參數(shù)進(jìn)行細(xì)微調(diào)整。

仿射變換用矩陣相乘的結(jié)果表示為：

式（1）與式（2）中的參數(shù)一一對應(yīng)^[8]，即：

其中，r，s表示沿x軸、y軸方向縮放倍數(shù);θ，φ表示x，y軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度;m，n表示沿x，y軸方向平移距離。

以圖1為例，W₁，W₂對應(yīng)的樹干部分由原圖形x軸方向大幅縮小得到，因此和其他部分相比，繪制樹干部分時，重合的點較多，分配給W₁，W₂的概率可以較少，可以設(shè)置p₁=p₂=0.05;W₃，W₄，W₅的概率大致相同，在保證=1的前提下，可以設(shè)置p₃=p₄=p₅=0.3。

2 ?參數(shù)調(diào)整策略

2.1各參數(shù)的主要影響

樹的形狀特征決定了θ，φ的取值一般在。由式（2）可知，i，l為正數(shù)。由式（3）和（4）可知，當(dāng)i增大時，r增大，|θ|減小;當(dāng)|k|增大時，r增大，|θ|增大。由式（5）和（6）可知，當(dāng)|j|增大時，s增大，|φ|增大;當(dāng)l增大時，s增大，|φ|減小。參數(shù)m，n是平移參數(shù)，平移的距離為參數(shù)乘以放大倍數(shù)。

當(dāng)W₁，W₂對應(yīng)樹干部分，θ，φ一般取0，因此，主要通過改變i，l調(diào)整樹干粗細(xì)和高度。W₃，W₄，W₅分別表示中間、左側(cè)、右側(cè)的小樹枝，同時調(diào)整W₃，W₄，W₅的參數(shù)n，使分支在合適的高度。

當(dāng)W₃的參數(shù)i增大時，每個中間分支的x方向縮放倍數(shù)變大，x軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度變大，樹枝的枝葉都更加舒展，向左傾斜的角度減小，分支橫向的縮放倍數(shù)較傾斜角度變化更為明顯（圖2（a））。

當(dāng)W₃的參數(shù)|j|增大時，每個中間分支的y方向縮放倍數(shù)變大，y軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度減小，樹枝的枝葉都更加細(xì)長，最大中間分支向左傾斜的角度增大，每個分支都向左彎曲（圖2（b））。

當(dāng)W₃的參數(shù)|k|增大時，每個中間分支的x方向縮放倍數(shù)變大，x軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度變大，樹枝的枝葉都更加舒展，最大中間分支向左傾斜的角度增大，每個分支都向左彎曲，中間最大分支的傾斜角最明顯（圖2（c））。

當(dāng)W₃的參數(shù)l增大時，每個中間分支的y方向縮放倍數(shù)變大，y軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度變大，樹枝的枝葉都更加細(xì)長，向左傾斜的角度減小，中間分支的長度變化更加明顯。同理，若參數(shù)l減小，樹枝變短（圖2（d））。

W₄，W₅的原理與分析過程與之類似，增大某參數(shù)的絕對值引起的分形樹主要變化如表1所示。

根據(jù)上述拼貼、參數(shù)調(diào)整方法得出的IFS如表2所示，可以較好地模擬一棵樹的形態(tài)。

2.2結(jié)果導(dǎo)向的參數(shù)設(shè)置

不同生長條件下，同種植物的形態(tài)不盡相同，在不同時刻，同一棵樹的形態(tài)也有變化，對參數(shù)進(jìn)行微小改動可以更好地模擬植物形態(tài)。

四季變換過程中，一棵樹的形態(tài)變化主要體現(xiàn)在樹葉萌芽、茂盛再到凋零的過程，可逐漸調(diào)整W₃，W₄，W₅的參數(shù)i對其進(jìn)行模擬。

風(fēng)中，樹枝的彎曲程度、樹葉和樹枝的夾角隨著風(fēng)力增大而變大，可隨風(fēng)力增大，逐漸增大W₃的參數(shù)|j|，以此改變樹枝的彎曲程度，同時適當(dāng)減小W₃的參數(shù)l，以調(diào)整枝葉長度。

單側(cè)光照條件下，樹兩側(cè)樹葉疏密程度不同。若左側(cè)光照優(yōu)于右側(cè)，左側(cè)枝葉更繁茂，同時，由于向陽性，右側(cè)樹枝與樹干夾角較小，可通過增大W₄的參數(shù)i，減小W₅的參數(shù)|k|實現(xiàn)。同理，若左側(cè)光照較好，可適當(dāng)增大W₅的參數(shù)i，減小W₄的參數(shù)|k|。

3 ?參數(shù)調(diào)整策略的應(yīng)用

3.1繪制示例

增大W₃，W₄，W₅的參數(shù)i，樹葉舒展，可以體現(xiàn)生長過程中樹葉形態(tài)的變化。圖3給出了W₃，W₄，W₅的參數(shù)i不同、其他IFS參數(shù)（同表2）均相同時的分形樹。

適當(dāng)調(diào)整參數(shù)W₃的參數(shù)j，l，可以繪制出一棵樹在不同風(fēng)力環(huán)境的形態(tài)。圖4給出了W₃的參數(shù)j，l不同、其他IFS參數(shù)（同表2）均相同時的分形樹。

在增大W₃，W₄，W₅的參數(shù)i的基礎(chǔ)上，減小W₅的參數(shù)|k|，模擬樹左右兩側(cè)樹葉生長過程中由光照不均勻而造成不同的展開程度的情況。圖5給出了W₄的參數(shù)i，W₅的參數(shù)k不同，其他IFS參數(shù)（同圖3（c））均相同時的分形樹。

3.2顏色改進(jìn)

仿射變換W₄，W₅得到的點屬于樹干部分，如果某點由仿射變換W₄或W₅得到，那么該點顏色設(shè)置為棕色;如果某點的上一次迭代變換是仿射變換W₄或W₅，那么該點屬于樹的3個大分支，顏色設(shè)置為淺棕色;以此類推，越靠近頂端，顏色越淺，最終得到一棵顏色與真實樹較為接近的分形樹。按照樹木因生長而改變的形態(tài)，修改繪制圖形的顏色，可以達(dá)到更好的效果。

4 ?結(jié) ?論

本文作者分析了IFS的各個參數(shù)對生成分形樹的作用，提出了一種參數(shù)設(shè)計方法，可根據(jù)需求有針對性地改變IFS參數(shù)，較為準(zhǔn)確地反映了不同環(huán)境中的樹木形態(tài)。本方法有以下優(yōu)勢：1） 計算高效，仿真效果良好，繪制的樹細(xì)節(jié)精細(xì);2） 可以根據(jù)虛擬環(huán)境狀況實時對樹木的形態(tài)、顏色進(jìn)行調(diào)整，符合植物生長規(guī)律;3） 考慮了風(fēng)力、光照等影響因素，使模擬效果更加具有真實感。

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（責(zé)任編輯：包震宇）