多陣列中非圓信號(hào)借助于降維搜索和子空間數(shù)據(jù)融合的直接定位算法

張小飛，曾浩威，鄭 旺，李建峰

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京，211106）

引 言

眾所周知，無線定位技術(shù)是現(xiàn)代信號(hào)處理中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，軍事國防、地震勘探和工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域都離不開它的發(fā)展。隨著國防技術(shù)的不斷突破和創(chuàng)新，對(duì)輻射源目標(biāo)定位技術(shù)的要求也不斷提高[1?2]。傳統(tǒng)的定位模式大多數(shù)是兩步定位模式，即先從原始接收信號(hào)中提取出包含目標(biāo)位置信息的中間參量，如到達(dá)角度、到達(dá)頻差和到達(dá)時(shí)間差等，然后結(jié)合這些參數(shù)并根據(jù)幾何關(guān)系進(jìn)行目標(biāo)位置的交叉定位解算[3?5]。該方法中各觀測(cè)站獨(dú)立進(jìn)行中間參數(shù)估計(jì)，然后將參數(shù)發(fā)送至同一中心站，“目標(biāo)?參數(shù)”匹配后結(jié)合相應(yīng)算法完成定位解算，原理簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)。

然而，傳統(tǒng)二步定位的方式存在一些不足。從原始觀測(cè)數(shù)據(jù)到目標(biāo)位置估計(jì)的過程中，經(jīng)歷的中間處理環(huán)節(jié)越多，損失的信息就越多，后續(xù)的定位精度也會(huì)受到影響。此外，多目標(biāo)情況下存在“目標(biāo)?參數(shù)”關(guān)聯(lián)問題[6?7]，任何一個(gè)參數(shù)關(guān)聯(lián)錯(cuò)誤，都將使后續(xù)定位精度急劇下降。為了避免傳統(tǒng)二步定位體制的問題，近些年國內(nèi)外學(xué)者們提出了一種新型定位技術(shù)——直接定位(Direct position determina?tion, DPD)技術(shù)[8]。該方式的原理是直接從觀測(cè)數(shù)據(jù)中估計(jì)目標(biāo)位置，無需額外估計(jì)任何中間參量，因而也叫單步定位。由于直接利用原始觀測(cè)數(shù)據(jù)，充分利用了目標(biāo)信息，且有效避免了目標(biāo)與參數(shù)關(guān)聯(lián)的步驟，大大提升了對(duì)目標(biāo)的定位精度，信噪比較低時(shí)仍能獲得不錯(cuò)的估計(jì)性能。

相比于傳統(tǒng)二步定位方法，直接定位方法復(fù)雜度太高，且對(duì)通信帶寬要求較高，因此在其提出之初發(fā)展緩慢。然而，隨著近些年計(jì)算機(jī)與通信技術(shù)的快速發(fā)展，制約其發(fā)展的主要因素不再是帶寬和計(jì)算能力。

現(xiàn)有直接定位算法大多是針對(duì)未知信號(hào)進(jìn)行研究的，而從信息論的角度來講，所能利用的原始信息越多，理論上算法的性能就越好。研究表明，在建立算法模型時(shí)考慮目標(biāo)源的信號(hào)特征能夠進(jìn)一步提升定位精度。針對(duì)常用于現(xiàn)代通信系統(tǒng)中的正交頻分復(fù)用信號(hào)，文獻(xiàn)[9?10]提出了基于最大似然的DPD 算法；為降低算法復(fù)雜度，提升算法的實(shí)用性，文獻(xiàn)[11]在此基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的DPD 算法。此外，針對(duì)恒模信號(hào)，文獻(xiàn)[12]利用其恒包絡(luò)特征，構(gòu)建最大似然估計(jì)模型，提出了一種針對(duì)恒模信號(hào)的DPD 算法。

除了上述兩種信號(hào)類型，調(diào)幅信號(hào)、二進(jìn)制相移鍵控、脈沖幅度調(diào)制信號(hào)、正交相移鍵控信號(hào)等都是現(xiàn)代通信系統(tǒng)中不可或缺的信號(hào)形式，而它們都屬于非圓(Non?circular, NC)[13]信號(hào)類型。因此有關(guān)NC 信號(hào)定位算法的研究具有重要的實(shí)際應(yīng)用意義。本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上，利用輻射源信號(hào)的NC特性擴(kuò)展空間信息獲得增大的虛擬陣列孔徑與更多的可識(shí)別信源數(shù)，然后結(jié)合子空間數(shù)據(jù)融合(Sub?space data fusion, SDF)算法的思想，推導(dǎo)了針對(duì) NC 信號(hào)的 SDF 形式的 DPD 算法(Non?circular sub?space data fusion，NC?SDF)；但是由于NC 相位導(dǎo)致的高維搜索大大增加了算法求解時(shí)的復(fù)雜度，因此本文引入文獻(xiàn)[15]的降維(Reduced?dimension, RD)搜索思想，提出了降維后的子空間數(shù)據(jù)融合算法(Re?duced?dimension subspace data fusion，RD?SDF)。仿真結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng) SDF 算法、Capon 算法和傳統(tǒng)二步定位算法，RD?SDF 算法具有更高的定位精度和空間自由度；且通過降維方法，RD?SDF 算法在保證估計(jì)性能的同時(shí)顯著降低了算法復(fù)雜度。

本文主要貢獻(xiàn)可以概括為：（1）將NC 信號(hào)特征引入到直接定位算法模型中，根據(jù)其橢圓協(xié)方差不為零的特點(diǎn)擴(kuò)展空間信息，并結(jié)合SDF 的思想，推導(dǎo)了NC?SDF 算法。相比于傳統(tǒng)SDF 算法，NC?SDF算法的定位性能更優(yōu)，且具有更大的陣列孔徑和空間自由度。（2）由于NC 相位導(dǎo)致的高維搜索大大增加了算法求解時(shí)的復(fù)雜度，本文通過RD 方法，去除了NC?SDF 算法求解時(shí)的NC 相位搜索維度，提出了RD?SDF 算法，在保證估計(jì)精度的前提下，降低了算法復(fù)雜度。

1 數(shù)據(jù)模型

1.1 多陣列聯(lián)合定位模型

考慮如圖1 所示的定位場(chǎng)景，假設(shè)已知二維x?y平面內(nèi)存在Q個(gè)互不相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶非圓信號(hào)入射到L個(gè)位置且裝有沿x軸水平放置的M元均勻線陣的觀測(cè)站，陣元間距d=λ2，目標(biāo)信號(hào)源位置分別位于pq=[xq,yq]T(q=1,2,…,Q)，L個(gè)觀測(cè)站分別位于ul=[xul,yul]T(l=1,2,…,L)。

假設(shè)信號(hào)包絡(luò)變化為慢起伏，則各信號(hào)到達(dá)觀測(cè)站時(shí)的信號(hào)包絡(luò)近似相等。于是第l(l=1,2,…,L)個(gè)觀測(cè)站接收到的第k(k=1,2,…,K)個(gè)采樣快拍時(shí)刻對(duì)應(yīng)的接收信號(hào)復(fù)包絡(luò)rl(k)可以表示為[14]

圖1 多陣列聯(lián)合定位場(chǎng)景圖Fig.1 Location scene of multiple arrays

式中:sl,q(k)表示第q個(gè)信號(hào)源在第l個(gè)觀測(cè)站的第k個(gè)采樣快拍時(shí)刻的信號(hào)波形,nl(k) ∈CM×1表示第l個(gè)觀測(cè)站的天線陣列的噪聲矢量，滿足文獻(xiàn)[14]中的高斯白噪聲模型假設(shè),al(pq)為方向矢量，由信號(hào)到達(dá)方向θl(pq)決定，即

將式(1)用矢量形式表示，得到

式中

1.2 非圓信號(hào)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[13]可知，對(duì)于復(fù)圓信號(hào)隨機(jī)矢量sl(k)來說，協(xié)方差矩陣E[sl(k)sHl(k)]≠0，但橢圓協(xié)方差而對(duì)于非圓信號(hào)隨機(jī)矢量來說，二者都不為零。且對(duì)于非圓信號(hào)來說，其協(xié)方差矩陣和橢圓協(xié)方差矩陣滿足

式中，φ為非圓相位，ρ為取值在0～1 的非圓率。

非圓率為1 的信號(hào)叫做最大非圓率信號(hào)。為了簡(jiǎn)單起見，本文假設(shè)非圓率均為1。根據(jù)文獻(xiàn)[16?19]，非圓信號(hào)可表示為

式中

2 非圓信號(hào)直接定位算法

根據(jù)信號(hào)的非圓特性這一先驗(yàn)信息，構(gòu)建非圓信號(hào)定位模型，再結(jié)合SDF 的思想，得到NC?SDF 算法的代價(jià)函數(shù)?？紤]到算法求解時(shí)需要進(jìn)行高維譜峰搜索，本文引入文獻(xiàn)[15]中的降維思想，去除非圓相位搜索維度，最終得到RD?SDF 算法。

2.1 子空間數(shù)據(jù)融合算法

根據(jù)式(10)，式(4)等價(jià)為

式中

為源信號(hào)矢量的幅度，是一個(gè)實(shí)值矢量。

利用非圓信號(hào)的橢圓協(xié)方差矩陣不為零的特點(diǎn)，可將接收信號(hào)矢量擴(kuò)展為[20]

又由式(10)可得

則式(15)可以表示為

式中

式中，bl(pq) ∈ C2M×1為擴(kuò)展陣列流形矢量。

將第l個(gè)觀測(cè)站所有采樣快拍的擴(kuò)展接收信號(hào)矢量綜合起來，得到擴(kuò)展接收信號(hào)矩陣Zl

一般通過式（21）估計(jì)接收信號(hào)協(xié)方差

SDF 算法本質(zhì)上是多重信號(hào)分類算法的擴(kuò)展[21]，其原理為綜合所有觀測(cè)站的噪聲子空間來估計(jì)目標(biāo)源位置，因此需要先進(jìn)行子空間分解。

對(duì)R?l進(jìn)行特征值分解，得

若用λm(m=1,2,…,2M) 表示按從大到小排序后的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量用em(m=1,2,…,2M)表示。則式（22）中，信號(hào)子空間噪聲子空間Σl為以特征值為元素的對(duì)角矩陣，即Σl=diag{λ1,λ2,…,λ2M}。

相比于圓信號(hào)，針對(duì)非圓信號(hào)的算法就需要考慮非圓相位的影響，為保證定位精度，求解目標(biāo)源位置時(shí)還需要對(duì)非圓相位進(jìn)行估計(jì)。同時(shí)對(duì)位置p和φ進(jìn)行搜索，得到NC?SDF 算法的代價(jià)函數(shù)

式（23）峰值對(duì)應(yīng)坐標(biāo)即為目標(biāo)源位置及非圓相位的估計(jì)值。由于對(duì)接收信號(hào)矢量的擴(kuò)展本質(zhì)上增大了陣列孔徑，因此理論上NC?SDF 算法可比一般的SDF 算法估計(jì)更多信源，具有更大的空間自由度。但該算法求解時(shí)需要同時(shí)對(duì)位置(x,y)和φ進(jìn)行搜索，是個(gè)三維搜索問題，復(fù)雜度很高。

2.2 降維直接定位算法

為了降低算法復(fù)雜度，提高算法的實(shí)用性。本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上，引入降維思想，在保證原有估計(jì)性能的前提下，減少搜索維度，提出了RD?SDF 算法。

由于(k)為實(shí)值矢量，顯然有

根據(jù)式(13，24)，式(15)中的擴(kuò)展接收信號(hào)矢量zl(k)可表示為

式中

令

則

為擴(kuò)展流形矢量，包含了第q個(gè)目標(biāo)源的位置信息與非圓相位信息。

對(duì)式(29)進(jìn)行矩陣轉(zhuǎn)換，使位置信息與非圓相位信息分離

式中

于是得到第l個(gè)觀測(cè)站的子代價(jià)函數(shù)

顯然，有

對(duì)于未知參數(shù)φ來說，式(35)是個(gè)二次優(yōu)化問題。令e=[1,0]T，則eHg(φ) =1，于是重構(gòu)式(35)的優(yōu)化問題

為求解上述優(yōu)化問題，擬采用拉格朗日乘子法，于是構(gòu)造以下函數(shù)

式中，λ為乘子。令式（37）對(duì)e0(φ)的導(dǎo)數(shù)為零，即

則

又因?yàn)閑Hg(φ) =1，因此μ= 1 ( )eHJl(p)-1e，于是

根據(jù)式(39，40)，得到降維后第l個(gè)觀測(cè)站的子代價(jià)函數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[22]，理論上當(dāng)位置矢量p處于目標(biāo)源位置時(shí)1,2,…,L)二者滿足正交關(guān)系，若考慮噪聲影響，此時(shí)對(duì)于所有觀測(cè)站來說，式(41)都取得極大值。于是構(gòu)建RD?SDF 的代價(jià)函數(shù)為

至此，在保證原有精度的前提下，通過二次優(yōu)化問題的求解，實(shí)現(xiàn)了式(23—42)的等價(jià)轉(zhuǎn)換，減小了搜索維度，進(jìn)而降低了算法復(fù)雜度。

觀察比較式(23)和式(42)可以發(fā)現(xiàn)，降維前后的代價(jià)函數(shù)只是通過矩陣變換和替代實(shí)現(xiàn)，其本質(zhì)是利用二次優(yōu)化問題去除非圓相位搜索維度，先估計(jì)得到目標(biāo)位置p?，再通過式(40)求解非圓相位，并未舍棄非圓相位，因此式(23)和(42)是等價(jià)的。

2.3 算法主要步驟

上述推導(dǎo)已經(jīng)給出RD?SDF 的定位求解過程，算法主要步驟如下：

(1)根據(jù)式(15)擴(kuò)展接收信號(hào)矢量，進(jìn)而得到擴(kuò)展接收信號(hào)矩陣Zl；

(3)根據(jù)式e=[1,0]T和式(35)構(gòu)造代價(jià)函數(shù)fRD?SDF(p)；

(4)將目標(biāo)位置搜索區(qū)域劃分為若干個(gè)二維平面網(wǎng)格，計(jì)算每個(gè)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的代價(jià)函數(shù)值，峰值處對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)即為目標(biāo)源位置估計(jì)值 (x?q,y?q)(q=1,2,…,Q)。

3 性能分析

3.1 復(fù)雜度分析

本文算法復(fù)雜度分析如下：M表示陣元數(shù)，Q表示信源數(shù)，L表示觀測(cè)站數(shù)，K表示快拍數(shù)，全局搜索時(shí)x方向劃分為Lx等份，y方向劃分為Ly等份，非圓相位劃分為Lφ等份。本文的降維前算法主要由協(xié)方差矩陣Zl的計(jì)算、特征值分解以及搜索譜函數(shù)計(jì)算3 個(gè)步驟構(gòu)成，對(duì)應(yīng)的計(jì)算復(fù)雜度分別為4LKM2、8LM3和 4M2(2M-Q) +4M2+2M，因 此 NC?SDF 算 法 總 復(fù) 雜 度 為 4LKM2+8LM3+LLx Ly Lφ[4M2(2M-Q)+4M2+2M]；相比而言，降維后算法不同之處在于，一次譜函數(shù)計(jì)算復(fù)雜度為4M2(2M-Q) +8M2+8M+14 且搜索維度僅包含x和y兩個(gè)維度，因此RD?SDF 算法總復(fù)雜度為4LKM2+8LM3+LLx Ly[4M2(2M-Q)+8M2+8M+14 ]；此外，文獻(xiàn)[21]的傳統(tǒng) SDF 所需復(fù)雜度為LKM2+LM3+LLx Ly[M2(M-Q)+M2+M]，文獻(xiàn)[23]的Capon 算法所需復(fù)雜度為LKM2+LM3+LLx Ly[M2+M]，傳統(tǒng)二步定位算法所需復(fù)雜度為LKM2+LM3+4LQ2(M-1) +10LQ3。從復(fù)雜度可以看出，由于去除了非圓相位搜索維度，降維后算法復(fù)雜度顯著降低。相比于傳統(tǒng)SDF 算法、Capon 算法和傳統(tǒng)二步定位算法，所提RD?SDF 算法復(fù)雜度雖然更高，但具有更高的估計(jì)精度和空間自由度。

3.2 優(yōu)點(diǎn)總結(jié)

綜上所述，本文提出的RD?SDF 具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1)相比于傳統(tǒng)SDF 算法、Capon 算法和傳統(tǒng)二步定位算法，所提算法的定位精度更高。

(2)相比于傳統(tǒng)SDF 算法和傳統(tǒng)二步定位算法，本文所提算法可同時(shí)估計(jì)更多信源，具有更高的空間自由度。

(3)RD?SDF 算法通過引入降維思想，在保證估計(jì)性能的前提下，去除了非圓相位搜索維度，實(shí)現(xiàn)了三維搜索到二維搜索的轉(zhuǎn)變，算法復(fù)雜度較低。

4 仿真結(jié)果

仿真實(shí)驗(yàn)中，算法的估計(jì)性能分析通過計(jì)算求根均方誤差(Root mean squares error, RMSE)來完成，RMSE 的定義為

式中，MN=300 為 Monte Carlo 仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)，Q為目標(biāo)信號(hào)源個(gè)數(shù)，(x?q,mn,y?q,mn)表示第q個(gè)目標(biāo)源位置在第mn次仿真實(shí)驗(yàn)中的估計(jì)值，(xq,yq)為第q個(gè)目標(biāo)源的真實(shí)值。

假設(shè)目標(biāo)源個(gè)數(shù)Q=3，分別位于p1=[-800,800]，p2=[0,500]和p3=[500,700](單位為 m，下同)，非圓相位φ=[30°,60°,45°]，觀 測(cè) 站 數(shù)L= 5 ，分 別 位 于u1=[-1 000,-500]，u2=[-700,-200]，u3=[-200,-500]，u4=[100,-300]和u1=[900,-700]，具體位置示意如圖2所示。

仿真1探究陣元數(shù)和目標(biāo)源數(shù)相等條件下本文RD?SDF 算法的定位性能。仿真過程中，采樣快拍數(shù)K=200，陣元數(shù)M=3，信噪比為15 dB，圖3 給出了算法定位散點(diǎn)圖。從圖3 可以看出，即使在陣元數(shù)和目標(biāo)源數(shù)相等的條件下，RD?SDF 算法仍能成功定位。

仿真2探究信噪比變化對(duì)本文RD?SDF 算法、文獻(xiàn)[21]中傳統(tǒng)SDF 算法、文獻(xiàn)[23]中Capon 算法和傳統(tǒng)二步定位算法定位性能的影響。仿真過程中，采樣快拍數(shù)K=100，陣元數(shù)M=6，信噪比從-5 dB 以 5 dB 間隔步進(jìn)至30 dB。從圖4 可以看出，所提RD?SDF 算法性能始終優(yōu)于傳統(tǒng)SDF 算法、Capon 算法和傳統(tǒng)二步定位算法。

仿真3探究快拍數(shù)變化對(duì)本文RD?SDF 算法、文獻(xiàn)[21]中傳統(tǒng)SDF 算法、文獻(xiàn)[23]中Capon 算法和傳統(tǒng)二步定位算法定位性能的影響。仿真過程中，陣元數(shù)M=6，信噪比SNR=10 dB，快拍數(shù)從50 以間隔50 步進(jìn)至300。圖5仿真結(jié)果顯示，快拍數(shù)增加可以提升算法的估計(jì)性能，該信噪比下所提算法的性能始終保持最優(yōu)。

圖2 仿真場(chǎng)景示意圖Fig.2 Schematic diagram of simulation scene

圖3 所提算法估計(jì)性能Fig.3 Estimation performance of proposed al?gorithm

圖4 所提算法與現(xiàn)有算法性能對(duì)比(改變信噪比)Fig.4 Performance comparison (change SNR)

圖5 所提算法與現(xiàn)有算法性能對(duì)比(改變快拍數(shù))Fig.5 Performance comparison (change num?ber of snapshots)

仿真4探究陣元數(shù)變化對(duì)本文RD?SDF 算法、文獻(xiàn)[21]中傳統(tǒng)SDF 算法、文獻(xiàn)[23]中Capon 算法和傳統(tǒng)二步定位算法性能的影響。仿真實(shí)驗(yàn)中，陣元數(shù)M分別為3、5、7 和9，采樣快拍數(shù)K=100，SNR=5 dB。圖6 仿真結(jié)果顯示，當(dāng)陣元數(shù)為3(M=Q)時(shí)，傳統(tǒng)二步定位算法和傳統(tǒng)SDF 算法已經(jīng)失效，而所提RD?SDF 算法仍能完成定位，可見本文RD?SDF 算法具有更大的空間自由度。

仿真5比較算法的計(jì)算時(shí)間。假設(shè)快拍數(shù)K=100，信噪比SNR=20 dB，陣元數(shù)M=6。從表1 中可以看出，降維后算法的計(jì)算時(shí)間明顯減小，可見所提算法可以有效降低算法復(fù)雜度，使算法更具實(shí)用性。

圖6 所提算法與現(xiàn)有算法性能對(duì)比(改變陣元數(shù))Fig.6 Performance comparison (change number of ar?ray elements)

表1 算法計(jì)算時(shí)間對(duì)比Table 1 Comparison of calculation time between al?gorithms

5 結(jié)束語

針對(duì)現(xiàn)代通信系統(tǒng)中常用的非圓信號(hào)類型，本文在構(gòu)建算法模型時(shí)結(jié)合非圓信號(hào)的特征來擴(kuò)展空間信息，以獲得增大的虛擬陣列孔徑，與更多的可識(shí)別信源數(shù)。但由于非圓相位導(dǎo)致的高維搜索大大增加了算法求解時(shí)的復(fù)雜度，于是本文引入降維思想并結(jié)合子空間數(shù)據(jù)融合的思想，提出了RD?SDF算法。復(fù)雜度分析和計(jì)算時(shí)間對(duì)比結(jié)果表明，引入降維思想去除非圓相位搜索維度后，算法復(fù)雜度顯著降低，但估計(jì)精度未受到影響。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，在陣元數(shù)和目標(biāo)源數(shù)相等的條件下傳統(tǒng)SDF 算法和二步定位算法已經(jīng)失效，而所提RD?SDF 算法仍能完成目標(biāo)定位，可見本文算法具有更高的空間自由度；此外，本文RD?SDF 算法的定位性能要優(yōu)于傳統(tǒng)SDF 算法、Capon 算法和二步定位算法。