初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想的研究
——以“一次函數(shù)”為例

陜西省延安市實驗中學(xué) 薛曉霞

在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，模型思想與數(shù)感、符號意識、空間觀念等一同被列入十大核心素養(yǎng)中，在函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想受到重視。以下擬結(jié)合筆者自身的教學(xué)實踐體會對此作簡要探討，希望對一線教師有所啟示。

一、函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想的策略

根據(jù)課標(biāo)中的敘述，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程主要是從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義?？梢?，在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)所表示的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律本身就屬于重要模型之一，它是利用函數(shù)知識解決現(xiàn)實生活中具體問題的基本載體和必由途徑，所謂數(shù)學(xué)建模的意義主要就在于此，這也是函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想的主要目的所在，即讓學(xué)生具備基本的建模意識和建模能力，能夠應(yīng)用函數(shù)知識去解決相關(guān)的實際問題。由此而見，在函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想的基本策略就是多引入一些實際問題，多列舉一些真實案例，讓學(xué)生在具體情境中運用函數(shù)知識。進(jìn)一步而言，教師要注重在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用其解決實際問題的過程，使學(xué)生形成深刻體驗，實現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的躍遷和升華，這也代表著學(xué)生真正掌握了數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，長此以往，必能在潛移默化中促進(jìn)學(xué)生模型思想的形成。下面以一次函數(shù)為例對此進(jìn)行具體探討。

二、一次函數(shù)教學(xué)中模型思想的滲透

一次函數(shù)是初中函數(shù)知識的基礎(chǔ)和重要組成部分，很多實際問題可以利用一次函數(shù)來解決。在學(xué)生掌握其定義和特征后，就可出示一些實際問題，引導(dǎo)學(xué)生通過一次函數(shù)的模型來解決。

1.直接給出模型

所謂直接給出模型，就是問題中說明了數(shù)學(xué)關(guān)系和變化規(guī)律是一次函數(shù)，或者沒有明確說明但很容易看出來，這是最簡單的一種情況。例如：“已知某彈簧在一定限度內(nèi)，其長度y（cm）是所掛物體重量x（kg）的一次函數(shù)。當(dāng)所掛物體重量為4kg 時，彈簧的長度是7.2cm；當(dāng)所掛物體重量為5kg 時，彈簧的長度是7.5cm。那么當(dāng)所掛物體重量為6kg 時彈簧的總長度是多少？”

顯然，此題很簡單，一次函數(shù)的關(guān)系明確給出，這意味著解題者就不再需要分析題意建模了，直接利用模型y=kx+b即可，只要將題目中的兩個已知條件分別代入這一關(guān)系式中，得到二元一次方程組，求解得到k和b的值，進(jìn)而得到模型關(guān)系式為y=0.3x+6，然后將x=6代入，求得此時彈簧的長度為7.8cm。這種直接給出模型的題目屬于層次較低的應(yīng)用，省略了通過分析從具體實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，但不妨作為一種鋪墊和踏板，在初期供學(xué)生練習(xí)進(jìn)步。

2.猜測建立模型

這類問題就不再有一次函數(shù)模型的明確顯示或強烈暗示了，需要解題者自己判斷，進(jìn)而建立模型。例如：“張老師的鞋子是42 碼的，長26cm；王老師的鞋子是39 碼的，長24.5cm；黃老師的鞋子是36碼的，長23cm；李老師的鞋子是41 碼的，長多少呢？”

這個問題中鞋碼和長度的關(guān)系顯然是不確定的，可能是一次函數(shù)關(guān)系，但也可能不是，需要解題者猜測并驗證，解題的思路是先假設(shè)問題中的關(guān)系是一次函數(shù)模型，設(shè)y=kx+b，然后利用題目中給出的兩組數(shù)據(jù)得到一個方程組，求得k和b的具體值，得到模型關(guān)系式的表達(dá)式，再用另一組已知數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，最終得到結(jié)論：鞋碼和鞋的長度之間是一次函數(shù)關(guān)系，最后利用得到的模型關(guān)系式求解即可。這類題目顯然比直接給出模型的問題增加了難度，同時也可真正地鍛煉學(xué)生的建模素養(yǎng)，促進(jìn)其模型思想的形成。

3.實際推導(dǎo)模型

實際推導(dǎo)，顧名思義，就是需要根據(jù)已知條件進(jìn)行推導(dǎo)分析，以明確模型關(guān)系。例如：“李老師提著重量為0.5 斤的籃子去超市買10斤雞蛋。當(dāng)售貨員稱好了雞蛋往籃子里放時，李老師發(fā)現(xiàn)個數(shù)比以前買的10 斤雞蛋少了很多，于是將雞蛋連著籃子又讓售貨員稱量，結(jié)果是10.55 斤。李老師看到這一結(jié)果，立刻要求售貨員退1 斤雞蛋的錢，售貨員認(rèn)錯并退錢。那么，李老師是如何很快知道少了一斤雞蛋的呢？（精確到1 斤）請寫出分析過程并說說啟發(fā)。”

這個問題顯然有著一定難度。如果設(shè)雞蛋實際重量為x斤，顯示重量為y斤，在正常情況下是y=x。但售貨員顯然是作弊了，即要令y大于x。如果是秤盤底下加了吸鐵石，相當(dāng)于在x后加了一個常數(shù)，使得y=x+a，但售貨員由于不知道顧客買多少東西，如果顧客買得多會很容易發(fā)現(xiàn)弊端，因此，售貨員不會采取這種方式作弊。那么，要讓y大于x，其實可以調(diào)整秤，使得y=kx成立，k為大于1 的常數(shù)，這樣就可以達(dá)到作弊且不易被發(fā)現(xiàn)的效果了。根據(jù)問題已知條件有：10=kx，10.55=k（x+0.5），由此式得到10.55=kx+0.5k，將10=kx代入該式求得k=1.1，再把k=1.1 代入10=kx可求得x=9.09，由此可知售貨員少給了大于1 斤雞蛋。這樣，就通過推導(dǎo)確定了模型關(guān)系，從而解決了問題。

本文簡要探討了初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中如何滲透模型思想。事實上，初中函數(shù)教學(xué)中模型思想的滲透是一個兼具深度和廣度的教學(xué)話題，需要一線教師在教學(xué)實踐中積極探索和總結(jié)，本文拋磚引玉，尚盼同仁指教。