三維Minkowski空間剛體運(yùn)動(dòng)下曲線的性質(zhì)

張 誠，孫 巖

（遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

在歐氏空間的微分幾何經(jīng)典教材和相關(guān)文獻(xiàn)中［1-5］，討論了歐式空間下剛體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。對(duì)于三維Minkowski空間的研究中，Ali等［6］給出曲線α=α(s)的Frenet標(biāo)架{T,N,B}，用曲率和扭轉(zhuǎn)來描述斜螺旋。Ali等［7］利用Frenet方程研究了類時(shí)斜螺旋在Minkowski空間E-1（3）標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的位置矢量，構(gòu)造了一個(gè)三階向量微分方程來確定任意類時(shí)斜螺旋的位置向量?？臻g曲線的曲率和撓率，可以用弧長(zhǎng)作為參數(shù)。Shabana等［8］利用微分幾何方程、曲線方程和弧長(zhǎng)參數(shù)定義了空間曲線的Frenet坐標(biāo)系以歐拉角為參數(shù)描述曲線，證明了曲線微分方程在無窮小的旋轉(zhuǎn)情況下，用歐拉角表示的曲率和扭轉(zhuǎn)不依賴于旋轉(zhuǎn)序列，與剛體動(dòng)力學(xué)中把歐拉角定義為廣義坐標(biāo)一致。Cui等［9］基于達(dá)布坐標(biāo)系，利用逆變矢量、滾動(dòng)速度和接觸曲線的法曲率、測(cè)地線曲率和測(cè)地線扭轉(zhuǎn)等幾何不變量，導(dǎo)出了運(yùn)動(dòng)物體上任意點(diǎn)的平移速度。Yu等［10］借助于構(gòu)造活動(dòng)標(biāo)架，得到剛體運(yùn)動(dòng)下的不變量，即離散曲率撓率，并提出一種刻畫三維Hilbert曲線的新算法。郭?。?1］研究了曲率、撓率對(duì)曲線形狀的影響。文獻(xiàn)［12］討論了三維Minkowski空間下曲率撓率為常數(shù)的曲線、一般螺線、Bertrand曲線和Manheim曲線等曲線性質(zhì)，并對(duì)這幾種特殊曲線的相互聯(lián)系進(jìn)行探討。趙廣宇［13］給出Minkowski一般螺線的定義及其等價(jià)定義，并給出平面曲線和Minkowski一般螺線是如何相互構(gòu)造得到的。裴東河等［14］應(yīng)用奇點(diǎn)理論方法對(duì)三維Minkowski空間內(nèi)由空間型曲線生成的副法線標(biāo)型和可展焦曲面的奇點(diǎn)進(jìn)行了分類，并研究了在Lorenzian群作用下的空間型曲線的幾何學(xué)不變量同這些奇點(diǎn)之間的關(guān)系。周珂安［15］給出了de Sitter達(dá)布像、雙曲達(dá)布像和光錐像的奇點(diǎn)分類，并描述了曲線ψ的雙曲布達(dá)像與曲線C(s)之間的對(duì)偶關(guān)系以及曲線ψ的光錐像與曲線C(s)之間的對(duì)偶關(guān)系。文獻(xiàn)［16］主要研究了直紋面的測(cè)量線及腰線的相關(guān)性質(zhì)和從切可展曲面與測(cè)地線之間的關(guān)系。錢金花等［17］主要討論了以類時(shí)曲線為脊線的圓紋曲面，并用類似的方法討論了類空曲線和類光曲線為脊線的圓紋曲線的性質(zhì)。?zyilmaz等［18］介紹了三維Minkowski空間中簡(jiǎn)單閉合零曲線的一些特征，研究了這種曲線“恒定寬度的零曲線”的特例。Bukcu等［19］研究了三維Minkowski空間中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的Frenet向量場(chǎng)與Bertrand曲線的曲率和撓率之間的關(guān)系。Hatice等［20］對(duì)三維Minkowski空間中特殊類時(shí)曲線進(jìn)行了研究。

上述文獻(xiàn)從不同方面對(duì)Minkowski空間進(jìn)行了研究，然而對(duì)于三維Minkowski空間中剛體運(yùn)動(dòng)下曲線的性質(zhì)沒有相應(yīng)的結(jié)論。本文研究的角度不同于上述文獻(xiàn)，利用Frenet標(biāo)架及其標(biāo)架的運(yùn)動(dòng)方程，從曲線的弧長(zhǎng)、曲率和撓率三個(gè)方面來研究三維Minkowski空間中剛體運(yùn)動(dòng)下曲線的性質(zhì)。

1 三維Minkowski空間向量

定義1［11］：設(shè) R3是三維實(shí)向量空間，對(duì) R3中的兩個(gè)向量x=(x1,x2,x3)和y=(y1,y2,y3)，它們的偽數(shù)量積（內(nèi)積）為

稱定義了這種內(nèi)積的三維實(shí)向量空間R3為三維Minkowski空間，記為。

定義 2［11］：在中，向量可分為類時(shí)、類空和類光三種向量。設(shè)有一個(gè)非零向量z，則

（1）若 z,z＞0，z稱為類空向量；

（2）若 z,z＜0，z稱為類時(shí)向量；

（3）若 z,z=0，z稱為類光向量。引理 1［21］：設(shè) α,β,γ 分別是中曲線r=r(s)在選的點(diǎn)處的單位切向量、單位主法向量和單位副法向量，故 {r(s);α(s),β(s),γ(s)}稱為曲線 r=r(s)的Frenet標(biāo)架。在中，又可以根據(jù)向量的類時(shí)、類空和類光把α,β,γ分為以下三種情況：

情況1：當(dāng)α,β類空 γ類時(shí)，對(duì)應(yīng)Frenet公式為

情況2：當(dāng)α,γ類空 β類時(shí)，對(duì)應(yīng)Frenet公式為

情況3：當(dāng) β,γ類空α類時(shí)，對(duì)應(yīng)Frenet公式為

2 三維Minkowski空間剛體運(yùn)動(dòng)下曲線的性質(zhì)

因Γ是假定的剛體運(yùn)動(dòng)，所以弧長(zhǎng)參數(shù)s也是r1(s)這條曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)。根據(jù)曲線r1的標(biāo)架有

因此，α1=α2T,β1=β2T,κ1=κ2。由于detT=1，

所以γ1=γ2T。由此得出τ1=τ2。 證畢。定理1：在中，設(shè)r1(s)和r2(s)都是以弧長(zhǎng)s作為參數(shù)的曲線，且r1(s)不等于r2(s)，定義域均為(a,b)。設(shè) κ1(s)=κ2(s),τ1(s)=τ2(s),?s∈(a,b)，則不存在M31中的一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)Γ把曲線r2變成r1，即r1≠?！鉹2。

證明：因在E3中可以找到上述這樣的剛體運(yùn)動(dòng)，它滿足將曲線r2變成r1［1］。故利用反證法來證明上述定理。假設(shè)在中存在一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)Γ把曲線r2變成 r1，即 r1=?！鉹2。假定 0∈(a,b)，相應(yīng)的兩條曲線在 s=0處根據(jù)Frenet標(biāo)架有{r1(0);α1(0),β1(0),γ1(0)}和{r2(0);α2(0),β2(0),γ2(0)}。由性質(zhì)1知，在中可以找到一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)Γ 把 {r2(0);α2(0),β2(0),γ2(0)} 變 為 {r1(0);α1(0),β1(0),γ1(0)}，所以可以得到r1和Γ°r2在s=0處的Frenet標(biāo)架重合。故只需證明當(dāng)曲線r1和r2在s=0的Frenet標(biāo)架重合時(shí)有且僅有r1=r2。

情況1：當(dāng) α,β 類空 γ 類時(shí)，有曲線Frenet公式為

將上述方程組改寫為

其中

首先定義函數(shù)

且f(0)=0。

對(duì)函數(shù) f(s)求導(dǎo)并且 κ1(s)=κ2(s),τ1(s)=τ2(s)，則得

結(jié)合E3中相關(guān)定理［1］知當(dāng)且僅當(dāng)(aij)為反對(duì)稱矩陣時(shí)滿足，才有 f(s)=f(0)=0，即

情況2：當(dāng)α,γ類空 β類時(shí)，對(duì)應(yīng)(aij)為

情況3：當(dāng) β,γ類空α類時(shí)，對(duì)應(yīng)(aij)為

可知(aij)均不是反對(duì)稱矩陣，故與情況1結(jié)論相同。 證畢。

證明：根據(jù)定理1和Frenet公式做三種情況的討論。

情況1：對(duì)于r(s),e1(s),e2(s)類空e3(s)類時(shí)，滿足一階微分方程組

若r是所要求的曲線，則{e1,e2,e3}必須是它的Frenet標(biāo)架。故而這里首先對(duì){e1(s),e2(s),e3(s)},?s∈(c,d)均是與自然定向同向的正交標(biāo)架做出證明。

將方程組（16）改寫為

其中g(shù)ij滿足這個(gè)齊次線性微分方程組，并且在上述初值的前提下，方程組解也是唯一的。

因Minkowski空間向量的特殊性，所以在Minkowski空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基e1,e2,…,en滿足

可以驗(yàn)證gij=δij滿足方程（20），由上述初值條件（16）可得到 gij(s0)=δij，故而 gij(s)=δij，即 {e1(s),e2(s),e3(s)}是正交標(biāo)架。并且連續(xù)性保證

即{e1,e2,e3}的定向與自定向相同。

現(xiàn)在由式（16）的第一式有

因而s是曲線r的弧長(zhǎng)參數(shù)且α(s)=e1(s)。由式（16）的第二式知 κ(s)=| e?1(s)| 是 r的曲率，e2是r的主法向量。同樣容易推出γ且τ(s)是r的撓率。

在情況2：r(s),e1(s),e3(s)類空e2(s)類時(shí)和情況3：r(s),e2(s),e3(s)類空e1(s)類時(shí)中對(duì)應(yīng)aij的值分別為

在這兩種情況下仍可推出gij=δij，不難證明

且κ(s)和τ(s)分別為r的曲率和撓率。 證畢。

3 結(jié)論

本文討論了三維Minkowski空間中剛體運(yùn)動(dòng)不改變曲線的弧長(zhǎng)、曲率和撓率。證明了在三維Minkowski空間中曲率和撓率相同的兩條弧長(zhǎng)參數(shù)曲線r1和r2，不存在一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)Γ使得r1=Γ°r2，及存在三維Minkowski空間中的弧長(zhǎng)參數(shù)曲線r(s),s∈(c,d)，它以s作為弧長(zhǎng)參數(shù)，以κ和τ為曲率和撓率。