噪聲和音樂的分形維數(shù)

劉娟娟，李世昌，趙 巖 ，雷 洪

（1.東北大學(xué) 材料電磁過程研究教育部重點實驗室，遼寧 沈陽 110819；2.東北大學(xué) 冶金學(xué)院，遼寧 沈陽 110819）

為了追求更高品質(zhì)的生活，人們對聲環(huán)境要求也越來越高。校園的聲污染也逐漸得到了師生的重視［1-2］。一般強度的噪音會影響人的注意力，降低工作效率；高強度的噪音會干擾語言交流，引起損傷聽覺，誘發(fā)多種疾?。?］。對于聲音的評估有主觀評估和客觀參數(shù)評估兩種方法［4-7］。主觀評估是通過人的聽覺感知聲音的音程、力度、音調(diào)和節(jié)奏等來分析聲音的特點，此方法的參與人員多，評價過程復(fù)雜，工作量大?？陀^參數(shù)法是采集聲音的時域信號，根據(jù)聲音的頻率、聲壓級、譜密度、分形維數(shù)等來分析聲音的特點，此方法需要專用的聲音采集設(shè)備，結(jié)果的重現(xiàn)性好。

減輕噪音污染的第一步是準(zhǔn)確地識別噪音和音樂，而分形理論則給出了一種有效的聲音客觀參數(shù)識別方法。20世紀(jì)70年代，Voss等首先給出了譜密度與聲音頻率倒數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系［8］，之后，盒維數(shù)、信息維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)和廣義維數(shù)等分形概念被用于分析音樂的分形結(jié)構(gòu)［9-10］。本文采用Python語言開發(fā)了聲音軟件SOUND 1.0，利用此軟件的采樣模塊對音樂和噪音進(jìn)行采樣，通過分析模塊進(jìn)行頻譜分析、1/1倍頻程分析和總聲級分析聲音信號特點，通過分形理論計算聲音信號的分形維數(shù)，定量地刻畫聲音信號不規(guī)則程度。

1 聲音的采集及處理

聲音是一個連續(xù)信號，是時間的連續(xù)函數(shù)。軟件Sound 1.0利用麥克風(fēng)和聲卡將環(huán)境中連續(xù)的聲音信號轉(zhuǎn)換為采樣頻率441 kHz的離散數(shù)值信號，采樣時間為10 s，聲壓數(shù)據(jù)保存在電腦硬盤中。

1.1 A計權(quán)聲壓級

本文將收集到的聲壓級數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為A計權(quán)聲壓級數(shù)據(jù)［4］。第i個1/1倍頻程的中心頻率聲壓級Li的計算式為

A計權(quán)總聲壓級L′可表示為

式中：pref是參考聲壓，2×10-5Pa；m是第i個中心頻率最大值與最小值之間的頻率數(shù)量；n是中心頻率的數(shù)量；pij是第i個中心頻率最大值與最小值之間的第 j個頻率下的聲壓，Pa；Ai是頻率響應(yīng)的計權(quán)。

1.2 傅里葉級數(shù)

描述聲波的主要參數(shù)有振幅、頻率和相位。為了得到這些參數(shù)，引入傅立葉級數(shù)。為了提高運算速度，采用快速傅里葉變換方法［4］

式中：f(t)是周期函數(shù)；t是時間；a0是直流分量；T是一次諧波（基波）的周期；n表示諧波的次數(shù)；an和bn分別表示n次諧波的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的振幅。

2 分形維數(shù)

作為分形理論的基本參數(shù)，分形維數(shù)可以定量刻畫分形集的混亂與復(fù)雜程度。聲音信號被視為一種時間序列，分形當(dāng)然也能對它進(jìn)行有效地描述［5，8-11］。聲音信號可以從時域和頻域兩個角度進(jìn)行分析，本文對時域信號采用簡化的盒維數(shù)和變分維數(shù)來計算分形維數(shù)，對頻域信號采用信息維數(shù)進(jìn)行計算。

2.1 簡化的盒維數(shù)

電磁時域信號的分形維數(shù)可采用盒維數(shù)的簡化形式［12-13］。假設(shè)聲壓信號由Ns個采樣點{y(ni),i=1,2,…,Ns}組成。相鄰時刻聲壓差值的和為

相鄰三個時刻聲壓最大波動范圍的和為

則盒維數(shù)的簡化形式為

2.2 變分維數(shù)

對于時間序列函數(shù) f(t)，a≤t≤b，在子區(qū)間τ內(nèi)的振幅為VARτ=max(f(t)-minf(t))，那么在區(qū)間[a,b]內(nèi)，時間序列函數(shù) f(t)的平均振幅為

變分維數(shù)［14］可表示為

2.3 頻域信號的信息維數(shù)

對于經(jīng)過傅里葉變換后的聲音頻域信號{Fy(ni),i=1,2,…,NF}，相鄰頻率幅值之差為

那么，頻域信號的信息維數(shù)［12］可表示為

3 計算結(jié)果及分析

在人們工作和學(xué)習(xí)的聲環(huán)境中，樂聲和噪聲相互交織。為了明確樂聲和噪聲的特性，本文對校園內(nèi)具有代表性的噪音和音樂等進(jìn)行了取樣分析。其中，噪音選擇空調(diào)噪音、服務(wù)器機房噪音和割草機械噪音，音樂選擇手鼓和古箏彈奏的樂曲。

圖1是不同聲音隨時間的時域分布。立式空調(diào)噪音呈現(xiàn)出振幅約為0.5 Pa的等幅振蕩，強擾動隨機出現(xiàn)，其幅值通常為1 Pa，偶爾出現(xiàn)2 Pa的情形。服務(wù)器機房的噪音與空調(diào)噪音基本類似，是振幅約為5 Pa的等幅振蕩，強擾動偶爾能達(dá)到10 Pa。割草機械的噪音呈紡錘形，其振幅的范圍為2～10 Pa。古箏（彎彎的月亮）的時域圖則體現(xiàn)出力度的強弱和節(jié)奏的跳躍，振幅范圍為0～12 Pa。手鼓（青春萬歲）的時域圖基本呈現(xiàn)出振幅約為7 Pa的等幅振蕩，強擾動的幅值可高達(dá)10 Pa。

綜上，噪音和音樂的時域信號均會出現(xiàn)等幅震蕩現(xiàn)象。這樣，在時域信號出現(xiàn)等幅振蕩并不一定表明噪聲的出現(xiàn)，但是，等幅震蕩或紡錘形震蕩是噪音的基本特征。因此，時域圖出現(xiàn)明顯的力度強弱和節(jié)奏的跳躍是音樂判定的充分條件。

圖1 聲音的時域分布Fig.1 Time-domain signal of sounds

圖2 是不同聲音的A計權(quán)下的倍頻程。樣本聲音的主要頻率一般分布在250～300 Hz，大多數(shù)聲音的聲能隨著頻率的降低而逐漸降低，并且機械鋸草和服務(wù)器機房的噪聲與音樂呈現(xiàn)出一致的下降趨勢。而立式空調(diào)的噪聲的聲能隨著頻率的增加而增加，當(dāng)頻率增加到約1 000 Hz后逐漸減小。

圖2 A計權(quán)下的倍頻程Fig.2 Aweighted octaves of sounds

表1給出了A計權(quán)下聲音樣本的總聲級。服務(wù)器機房和鋸草機械的A計權(quán)總聲壓級均為110 dB（A）。而國家規(guī)定的生產(chǎn)車間和作業(yè)場所的噪聲最大值為90 dB（A），因此，在服務(wù)器機房作業(yè)的人員和進(jìn)行鋸草機械的人員應(yīng)采用佩戴防噪耳塞等相應(yīng)的防噪措施。音樂的錄制現(xiàn)場也超過了國家規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)，因此在播放這些音樂時應(yīng)調(diào)小音量。

表2給出了不同種類聲音的分形維數(shù)。噪音頻域信號的信息維數(shù)變化不明顯，其范圍為4.14～4.16，而古箏和手鼓頻域信號的信息維數(shù)范圍為4.09～4.16。古箏和手鼓的信息維數(shù)范圍覆蓋了噪音頻域信號的信息維數(shù)范圍。因此，通過聲音頻域信號的信息維數(shù)很難將噪聲和音樂區(qū)分出來。

對于聲音的時域信號，采用簡化盒維數(shù)來分析時，噪音的分形維數(shù)為1.05～1.12，古箏和手鼓的分形維數(shù)為1.01～1.41。因此，古箏和手鼓的簡化盒維數(shù)范圍覆蓋了噪音頻域信號的信息維數(shù)范圍。采用變分維數(shù)分析，噪音的分形維數(shù)為1.38～1.49，古箏和手鼓的分形維數(shù)為1.32～2.00。因此，古箏和手鼓的變分維數(shù)范圍覆蓋了噪音頻域信號的信息維數(shù)范圍。

在日常生活中，部分音樂給人的感覺是柔美、細(xì)膩和婉轉(zhuǎn)，而部分音樂也會給部分人帶來類似于噪聲的不適感覺，這是因為音樂的分形特征事實上涵蓋了噪音。

表1 A計權(quán)下聲音樣本的總聲級Tab.1 Total sound pressure levels on base of A-weighted sound levels

表2 聲音的維數(shù)Tab.2 Dimensions of sounds

4 結(jié)論

服務(wù)器機房和鋸草機械的A計權(quán)總聲壓級約為110 dB（A）。時域圖出現(xiàn)明顯的力度強弱和節(jié)奏的跳躍是音樂判定的充分條件。噪音時域信號的簡化盒維數(shù)為1.05～1.12，音樂（古箏和手鼓）時域信號的簡化盒維數(shù)為1.01～1.41。噪音時域信號的變分維數(shù)為1.38～1.49，音樂（古箏和手鼓）時域信號的變分維數(shù)為1.32～2.00。噪音頻域信號的信息維數(shù)為4.14～4.16，而音樂（古箏和手鼓）頻域信號的信息維數(shù)為4.09～4.16。古箏和手鼓的信息維數(shù)、簡化盒維數(shù)和變分維數(shù)范圍涵蓋了噪音信號。