無窮小存在的證據(jù)與康托集合論的錯(cuò)誤

四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會 張喜安

為了論述方便，我們首先引述康托集合論的兩個(gè)集合間一一對應(yīng)的定義如下：

康托集合論的兩個(gè)集合間一一對應(yīng)的定義：如果存在函數(shù)y=f(x)為集合A→B的雙射函數(shù)，則集合A和B為一一對應(yīng)的關(guān)系。

康托集合論的基本觀點(diǎn)是一個(gè)無窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等。而這個(gè)觀點(diǎn)正是康托集合論的一個(gè)定理，本文稱它為康托集合論的基本定理，現(xiàn)在我們把這個(gè)定理及其證明引述如下：

康托集合論的基本定理：令a，b為實(shí)數(shù)，且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。

證明：令y=f(x)=a+(b-a)x，顯然，y=f(x)為[0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。

為了論述得簡單明了，我們?nèi)∫环N具體的情況，即令a=0，b=2，于是就得到集合[0，2]，并且[0，1]和[0，2]是兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，[0，1]是[0，2]的真子集，這是已知條件。為了論證需要，我們首先讓[0，1]和[0，2]都在x軸上，現(xiàn)在假定[0，1]和[0，2]為一一對應(yīng)的關(guān)系，則相互對應(yīng)的元素的性質(zhì)就存在相同和不同兩種情況。如果相互對應(yīng)的元素的性質(zhì)相同，根據(jù)集合論的外延公理：如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，并且集合B的每一個(gè)元素都是集合A的元素，則A=B，所以[0，1]=[0，2]，但是，這是和客觀事實(shí)矛盾的；如果[0，1]和[0，2]相互對應(yīng)的元素不同，則[0，1]不是[0，2]的子集，因此[0，1]也就不是[0，2]的真子集，這不僅和已知條件相互矛盾，而且和客觀事實(shí)相互矛盾，那是因?yàn)樵赱0，1]和[0，2]在同一個(gè)坐標(biāo)軸上的時(shí)候，[0，1]一定是[0，2]的真子集，因此，在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時(shí)候，[0，1]和[0，2]不可能是一一對應(yīng)的關(guān)系，只能是非一一對應(yīng)的關(guān)系。也就是說，在這種情況下，康托集合論的基本定理的證明不能成立。因?yàn)檫@個(gè)定理是根據(jù)康托集合論的兩個(gè)集合間一一對應(yīng)的定義證明的，所以這個(gè)定義的正確性就值得懷疑?，F(xiàn)在我們再讓[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上，根據(jù)康托集合論的理論，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，所以[0，1]和[0，2]為一一對應(yīng)的關(guān)系，這時(shí)[0，1]和[0，2]相互對應(yīng)的元素的性質(zhì)就存在相同和不同兩種可能。如果[0，1]和[0，2]相互對應(yīng)的元素的性質(zhì)相同，則根據(jù)集合論的外延公理，有A=B，因此[0，1]=[0，2]，這顯然和客觀事實(shí)矛盾。因此只有一種可能，那就是[0，1]和[0，2]相互對應(yīng)的元素具有不同的性質(zhì)。而實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，它們的元素是沒有性質(zhì)的，因此這時(shí)的[0，1]和[0，2]就是兩個(gè)非實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合。因?yàn)楹瘮?shù)y=2x的存在改變了它的判斷對象[0，1]和[0，2]的性質(zhì)，使它們從兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合變?yōu)閮蓚€(gè)非實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，所以康托的兩個(gè)集合間一一對應(yīng)的定義就是錯(cuò)誤的，根據(jù)它證明的康托集合論的基本定理也就不能成立，所以康托集合論也就是一個(gè)錯(cuò)誤的理論。

前面已經(jīng)指出，在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的時(shí)候，一方面，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，所以[0，1]和[0，2]為一一對應(yīng)的關(guān)系，另一方面，也正是由于函數(shù)y=2x的存在，[0，1]和[0，2]的元素，即點(diǎn)就具有了不同的性質(zhì)。現(xiàn)在我們就來研究一下它們具有什么樣的不同的性質(zhì)。由于[0，1]和[0，2]是一一對應(yīng)的關(guān)系，所以[0，1]和[0，2]的點(diǎn)的數(shù)目相等，但是[0，2]對應(yīng)的線段的長度卻是[0，1]對應(yīng)的線段的長度的2 倍，原因是集合[0，1]和[0，2]上的元素，即點(diǎn)一定具有不同的長度，而點(diǎn)所具有的長度只能是小于任意正實(shí)數(shù)，但是又不等于0 的無窮小長度，并且這些無窮小長度又必須遵守算術(shù)公理，也就是說，集合[0，1]和[0，2]上的點(diǎn)的無窮小長度的算術(shù)和分別等于[0，1]和[0，2]對應(yīng)的線段的長度。而[0，1]和[0，2]具有不同的性質(zhì)，則可以理解為，[0，1]和[0，2]上的點(diǎn)具有不同的無窮小長度，具體地說，即[0，2]上的點(diǎn)所具有的無窮小長度是[01]上的點(diǎn)所具有的無窮小長度的2 倍。

這也就是說，由于函數(shù)y=2x的存在，x軸上和y軸上的點(diǎn)具有了無窮小的長度，并且y軸上的點(diǎn)所具有的無窮小長度是x軸上的點(diǎn)所具有的無窮小長度的2 倍，這些無窮小長度都遵守算術(shù)公理。根據(jù)以上的論證，我們可以假定，由于函數(shù)y=f(x)的存在，兩個(gè)軸上的點(diǎn)就具有了無窮小的長度，這時(shí)兩個(gè)軸上的點(diǎn)也就不是實(shí)數(shù)的點(diǎn)，而是超實(shí)數(shù)的點(diǎn)，同時(shí)超實(shí)數(shù)點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)就是超實(shí)數(shù)?，F(xiàn)在令X=x+dx表示x軸上的超實(shí)數(shù)點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)就是超實(shí)數(shù)。其中x為實(shí)數(shù)，表示該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，dx為無窮小，它表示該點(diǎn)所具有的無窮小長度，它小于任意正實(shí)數(shù)，但是不等于0，并且遵守算術(shù)公理。請注意，這里的dx和經(jīng)典微積分的微分概念有本質(zhì)的區(qū)別。同樣的，Y=y+dy。如果有實(shí)函數(shù)y=f(x)，那么有超實(shí)函數(shù)Y=f(X)=f(x+dx)。因?yàn)閅=y+dy，所以dy=Y-y，因此dy=f(x+dx)-f(x)。這是一個(gè)重要的公式，我們稱它為超實(shí)函數(shù)的基本公式。現(xiàn)在讓我們來比較超實(shí)函數(shù)Y=f(x+dx)和實(shí)函數(shù)y=f(x)之間的差別時(shí)就會發(fā)現(xiàn)，實(shí)函數(shù)是超實(shí)函數(shù)丟掉了dx而得到的函數(shù)，因此和超實(shí)函數(shù)比較，實(shí)函數(shù)就是一個(gè)不完整的函數(shù)。再有，我們應(yīng)該認(rèn)識到，超實(shí)函數(shù)是客觀存在的，并且是我們原來所不知道的一個(gè)函數(shù)，而實(shí)函數(shù)只是超實(shí)函數(shù)的一個(gè)伴隨的不完整的函數(shù)。根據(jù)超實(shí)函數(shù)的基本公式dy=f(x+dx)-f(x)，如果有實(shí)函數(shù)y=2x，那么有dy=2dx。其中dy表示y軸上的點(diǎn)所具有的無窮小長度，dx表示x軸上的點(diǎn)所具有的無窮小長度。根據(jù)dy=2dx，則y軸上的點(diǎn)所具有的無窮小長度是x軸上的點(diǎn)所具有的無窮小長度的2 倍。如此可見，康托只知道，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，因此[0，1]和[0，2]是一一對應(yīng)的關(guān)系，而康托卻不知道，也正是由于函數(shù)y=2x的存在，使兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合[0，1]和[0，2]變成兩個(gè)非實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，這就說明了，作為判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合是否為一一對應(yīng)關(guān)系的定義，卻改變了它的判斷對象[0，1]和[0，2]的性質(zhì)，使它們從兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合變成兩個(gè)非實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，因此，康托的兩個(gè)集合間一一對應(yīng)的定義就是一個(gè)錯(cuò)誤的定義，康托集合論也就是一個(gè)錯(cuò)誤的理論。

上面關(guān)于無窮小存在性的證明充分表明了，康托對于無窮小理論的否定是完全錯(cuò)誤的。對于無窮小數(shù)，非標(biāo)準(zhǔn)分析的創(chuàng)始人，美國數(shù)學(xué)家魯濱遜認(rèn)為：在實(shí)數(shù)之后，下一個(gè)十分自然的步驟，即引入無窮小。而在無窮小的基礎(chǔ)之上引入的超實(shí)函數(shù)，則給數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了更為廣闊的空間。