創(chuàng)設(shè)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想
——從“確定位置”一課說(shuō)起

江蘇無(wú)錫市新吳區(qū)旺莊實(shí)驗(yàn)小學(xué) 錢(qián) 慧 顧萬(wàn)春

“確定位置”一課是四年級(jí)下冊(cè)第八單元的內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了用前后、左右、上下等表示具體位置和簡(jiǎn)單路線知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)物體在空間的具體位置。四年級(jí)學(xué)生之前有了對(duì)“列、排”的初步認(rèn)知，但對(duì)“數(shù)對(duì)”這個(gè)概念沒(méi)有足夠的認(rèn)知,是極為抽象而又陌生的。如何讓學(xué)生既對(duì)其生成過(guò)程有所經(jīng)歷，又對(duì)其實(shí)質(zhì)能順理成章地輕松接受呢？用心思考之后，筆者把本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念定位為：既尊重教材，又超越教材；既自主發(fā)現(xiàn)，又適當(dāng)講授；既夯實(shí)基礎(chǔ)，又適當(dāng)拓展。讓學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法。

一、從一維到二維，體會(huì)對(duì)應(yīng)思想

對(duì)應(yīng)思想是指用“聯(lián)系的視角”來(lái)看待自然界或社會(huì)上的各種變量之間的關(guān)系，也就是人們對(duì)兩種事物的合集建立某種聯(lián)系的一種思想方法。數(shù)學(xué)中的對(duì)應(yīng)思想就是通過(guò)數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)理解與思考數(shù)學(xué)中的問(wèn)題。在這節(jié)課的教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)“小豬佩奇和小伙伴們排隊(duì)”的生動(dòng)情境，由一維（只有一行或一列）到二維（幾列幾行），讓學(xué)生明確：只有一列或一行時(shí)，確定方向后一個(gè)數(shù)就能確定佩奇的位置，幾列幾行時(shí)，一個(gè)數(shù)就不能確定佩奇的位置了，要兩個(gè)數(shù)才能確定佩奇的位置，進(jìn)而明確數(shù)對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)——先列再行，不能顛倒，一個(gè)數(shù)對(duì)確定一個(gè)位置，學(xué)生在排隊(duì)中體會(huì)位置與數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)思想。

師：同學(xué)們，看，誰(shuí)來(lái)了呀？（視頻）今天佩奇和小伙伴們要給大家表演節(jié)目，瞧，它們上場(chǎng)了。

師：我們從這個(gè)角度觀察，動(dòng)物們排成一行，佩奇排在第幾個(gè)？

生：從左向右數(shù)佩奇排在第2個(gè)，從右向左數(shù)佩奇排在第5 個(gè)。

師（小結(jié)）：是呀，數(shù)的方向不同，位置的表達(dá)就不同。

師（出示箭頭）：這樣呢？

生：從左向右數(shù)佩奇排在第2 個(gè)。

師：那它的位置可以用哪個(gè)數(shù)來(lái)表示呢？

師：從左向右佩奇排在第2個(gè)，用2 這個(gè)數(shù)就能確定佩奇的位置。

師：注意！變隊(duì)形了，動(dòng)物們排成了一列(用箭頭和數(shù)同時(shí)出示)，現(xiàn)在佩奇的位置可以用哪個(gè)數(shù)來(lái)表示？

師：我們一般說(shuō)從前向后數(shù)佩奇排在第4 個(gè)，用4 這個(gè)數(shù)就能確定它的位置。

師（小結(jié)）：看來(lái)只有一列或一行時(shí)，統(tǒng)一方向后我們用一個(gè)數(shù)就能確定位置。

師：小動(dòng)物們來(lái)排隊(duì)，現(xiàn)在還能用一個(gè)數(shù)來(lái)確定佩奇的位置嗎？佩奇的位置在哪里？你是怎么觀察的？

師：同學(xué)們，佩奇的位置只有一個(gè)，為什么會(huì)有這么多不同的說(shuō)法呢？

師：看來(lái)，想要確定位置，我們需要一個(gè)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

……

師：按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，佩奇的位置怎么確定？你是怎么知道的？先和同桌說(shuō)一說(shuō)。

師：從左向右數(shù)佩奇排在第4 列，從前向后數(shù)佩奇排在第3行，它的位置就是第4 列第3 行。誰(shuí)能像這樣來(lái)完整地說(shuō)一說(shuō)？

師：照這樣，你能說(shuō)說(shuō)喬治的位置嗎？

師：佩奇好朋友的位置在第2 列第4 行，你能在圖上找到它嗎？誰(shuí)來(lái)指一指。

師（小結(jié)）：我們用第幾列第幾行就能確定位置。

……

師：數(shù)對(duì)（4,3）表示什么意思？

師：那你覺(jué)得寫(xiě)數(shù)對(duì)時(shí)要注意什么？（先寫(xiě)列，再寫(xiě)行）

師（小結(jié)）：你的理解真到位，這是兩個(gè)有序的數(shù)，先列再行，不能顛倒。一個(gè)數(shù)對(duì)只對(duì)應(yīng)一個(gè)位置，它們是一一對(duì)應(yīng)的。

以上教學(xué)片段，學(xué)生在排隊(duì)中身臨其境，利用數(shù)形結(jié)合的方式，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)應(yīng)思想。在這樣的教學(xué)中，教師有意識(shí)地讓學(xué)生先在一維空間中體會(huì)一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)位置，再到二維空間中體會(huì)兩個(gè)數(shù)才能對(duì)應(yīng)一個(gè)位置，學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)中，一維到二維體會(huì)對(duì)應(yīng)思想的同時(shí)，提高了分析問(wèn)題和歸納問(wèn)題的能力；學(xué)生在認(rèn)知沖突中，從一個(gè)數(shù)到兩個(gè)數(shù)，加深對(duì)應(yīng)思想中孕伏的函數(shù)思想，體會(huì)數(shù)對(duì)中變與不變的聯(lián)系，從而深刻理解數(shù)對(duì)的知識(shí)。

二、從直觀到抽象，滲透模型思想

從廣義角度來(lái)看，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。模型思想就是學(xué)生在面對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠運(yùn)用實(shí)驗(yàn)觀察、體驗(yàn)操作、比較分析、綜合概括等活動(dòng)得到簡(jiǎn)化的容易理解的數(shù)學(xué)模型，是把生活中實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問(wèn)題模型的一種思想方法。在這節(jié)課的教學(xué)中，教師從實(shí)物（動(dòng)物）圖到圓圈圖，再?gòu)膱A圈圖到方格圖，再?gòu)姆礁駡D拓展為以O(shè) 為原點(diǎn)的格點(diǎn)圖，最后抽象成直角坐標(biāo)系，學(xué)生從直觀一步一步進(jìn)行抽象，在經(jīng)歷數(shù)對(duì)形成的過(guò)程中，數(shù)學(xué)模型也隨著抽象的過(guò)程越來(lái)越得以滲透，加深了思維的深度。

師：其實(shí)每個(gè)小動(dòng)物都在某一列和某一行的交叉點(diǎn)上（PPT），如果每個(gè)小動(dòng)物都用一個(gè)圓圈表示，這樣就得到了一張圓圈圖。對(duì)比剛才，你覺(jué)得這樣的圓圈圖看起來(lái)怎么樣？

生：簡(jiǎn)潔清晰，一目了然！

師：在圓圈圖上，我們用紅圈代表佩奇，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)佩奇的位置？

生：佩奇在第4 列第3 行。

師：藍(lán)圈代表喬治，粉圈代表蘇西，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)它們倆的位置？

師（小結(jié)）：我們用第幾列第幾行就能確定位置。

師：圓圈圖上，淘氣的佩奇開(kāi)始和我們玩起了捉迷藏，它會(huì)藏在哪兒呢？請(qǐng)你仔細(xì)觀察佩奇的位置，并在練習(xí)紙第一題記錄下來(lái)！

時(shí)間到！一起來(lái)看這幾位同學(xué)的記錄。

交流：（1）第一個(gè)，怎么沒(méi)寫(xiě)完呢？（太快，來(lái)不及）（2）再看這位同學(xué)的，他寫(xiě)了2 列3 行，表示什么意思？（3）再來(lái)看這位同學(xué)的，他就寫(xiě)了2 個(gè)數(shù)（6 5）你知道表示什么意思嗎？

師：這些方法，每一個(gè)位置都用了幾個(gè)數(shù)來(lái)記錄的？

師：原來(lái)，2 個(gè)數(shù)就能確定佩奇的位置了。

師：那這些方法中，你更欣賞哪一種？

師：大家都非常有數(shù)學(xué)的眼光，想知道數(shù)學(xué)家是怎么表示的嗎？

（錄音）：第4 列，第3 行，先寫(xiě)4 表示第4 列，再寫(xiě)3 表示第3 行，兩個(gè)數(shù)表示的意思不同，所以中間用逗號(hào)隔開(kāi)，因?yàn)? 和3放在一起才能表示一個(gè)完整的位置，所以?xún)蛇呉蛏侠ㄌ?hào)（紅色），這種表述方法在數(shù)學(xué)上叫做數(shù)對(duì)。讀作“數(shù)對(duì)四三”也可以直接讀“四三”。

師：我們一起來(lái)讀一讀：數(shù)對(duì)四三或四三。

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：用數(shù)對(duì)確定位置。

……

師：如果我們用線把這些圓圈連起來(lái)，就得到了一張方格圖。

師：佩奇和喬治來(lái)到了豬爺爺家的菜園。你能用數(shù)對(duì)來(lái)表示這個(gè)綠塊的位置嗎？

……

師：世界那么大，佩奇想出去走一走?，F(xiàn)在它的位置是？

現(xiàn)在，它走到了哪里？

師：那怎么辦呢？

師：我們可以用這樣的方格圖表示列與行，列數(shù)與行數(shù)都是用0 作為起始刻度，它又叫作原點(diǎn)。佩奇的位置是？（7,6）

師：淘氣的佩奇又走到了這里，你知道它的位置嗎？你是怎么想的？（-1,5）

師：現(xiàn)在呢？（-2，-1）

師：哇，你可真厲害！已經(jīng)知道初中的知識(shí)了!這是我們初中要學(xué)習(xí)的直角坐標(biāo)系。

以上教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程中經(jīng)歷實(shí)物圖—圓圈圖—格點(diǎn)圖—直角坐標(biāo)系的抽象，同時(shí)經(jīng)歷著第幾列第幾行——數(shù)對(duì)（x,y）的抽象，由直觀到抽象，形成了概念、圖象、關(guān)系等數(shù)學(xué)模型，滲透模型思想不僅能夠幫助學(xué)生分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，更有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力。

三、從基礎(chǔ)到拓展，感悟類(lèi)比思想

類(lèi)比思想是指把兩個(gè)或兩類(lèi)不同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，依據(jù)兩個(gè)或兩類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，有可能將已知的一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象上的思想。數(shù)學(xué)中的類(lèi)比就是學(xué)生通過(guò)觀察比較，感知發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的“同”與“異”，從而更有效地解決問(wèn)題。本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)對(duì)之后，教師設(shè)計(jì)了形式各樣的鞏固練習(xí)，從基礎(chǔ)到拓展，抓住不同數(shù)對(duì)的共同點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分類(lèi)、歸納；找到類(lèi)似數(shù)對(duì)中的不同點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遞進(jìn)性與復(fù)雜性，從而更有興趣地解決實(shí)際問(wèn)題。

1. 師：佩奇想來(lái)考考大家，請(qǐng)聽(tīng)。

（1）錄音：我說(shuō)數(shù)對(duì)你定位置。請(qǐng)你用水彩筆在練習(xí)紙的第3 題，涂出相應(yīng)的位置，準(zhǔn)備好了嗎？數(shù)對(duì)（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）

師：仔細(xì)觀察，這些數(shù)對(duì)有什么特點(diǎn)？

師：如果點(diǎn)的位置都在第5列，這些數(shù)對(duì)又會(huì)有什么特點(diǎn)呢？

師（小結(jié)）：是啊，同一列的數(shù)對(duì)中，第一個(gè)數(shù)相同。

（2）師：佩奇還想考考你。繼續(xù)聽(tīng)。

錄音：我定位置你寫(xiě)數(shù)對(duì)。我要找的點(diǎn)的位置，都在第3 行，想想有哪些數(shù)對(duì)？在點(diǎn)子圖上涂一涂，寫(xiě)一寫(xiě)。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你寫(xiě)的數(shù)對(duì)？

師：好樣的！比一比這些數(shù)對(duì)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師（小結(jié)）：看來(lái)，同一行的數(shù)對(duì)中第二個(gè)數(shù)相同。

（3）師：這8 個(gè)數(shù)對(duì)都在第3行，你能用一個(gè)數(shù)對(duì)來(lái)概括嗎？

瞧，佩奇用了這個(gè)數(shù)對(duì)，誰(shuí)來(lái)讀一讀：數(shù)對(duì)（x,3）。

師：（x,3）在這里可以表示哪些數(shù)對(duì)？

師：如果圓圈圖夠大（課件），（x,3）還可以表示哪些數(shù)對(duì)？

師（小結(jié)）：看來(lái)，任意一列的第3 行都可以用數(shù)對(duì)（x，3）表示。

2. （1）師：看大家表現(xiàn)得這么棒，佩奇想送一個(gè)禮物給大家，禮物就在我們的教室里，它藏在數(shù)對(duì)（x,y）中，數(shù)對(duì)（x,y）表示什么？你是怎么想的？

師：數(shù)對(duì)（x,y）表示第x 列，第y 行，列確定嗎？行呢？

表示的是全班同學(xué)，你有機(jī)會(huì)獲得這個(gè)禮物嗎？

（2）很遺憾，禮物只有一個(gè)，縮小范圍 ，禮物藏在數(shù)對(duì)（x，x）中。

師：想一想，這里可以表示哪些數(shù)對(duì)？

師：真棒！數(shù)對(duì)（x,x）表示第幾列和第幾行相同。

是哪些同學(xué)呀，請(qǐng)起立！

（3）師：能確定禮物在哪里了嗎？還不行，再給一個(gè)條件（3，x），禮物在哪呢？

師：這位同學(xué)看看你的課桌里有沒(méi)有禮物？哇，這是一張禮物券，課后到老師這來(lái)兌換，全班一起分享。

3.（1）師：如果我們用線把這些圓圈連起來(lái)，就得到了一張方格圖。

師：佩奇和喬治來(lái)到了豬爺爺家的菜園。你能用數(shù)對(duì)來(lái)表示這個(gè)綠塊的位置嗎？

師：如果把這個(gè)綠塊平移2格，你想怎么平移，它會(huì)在哪個(gè)位置？

師：你是怎么平移的？綠塊的位置是？（3,6）（3,2）（1,4）（5,4）

師：仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師（小結(jié)）：上下平移2 格，列數(shù)不變，行數(shù)相差2。左右平移2 格，行數(shù)不變，列數(shù)相差2。

（2）師：佩奇和你們想的一樣，它把綠塊平移到了這個(gè)位置。（3,6）如果把它看作一個(gè)整體，繞點(diǎn)0 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，綠塊（3,4）的位置旋轉(zhuǎn)到了哪里？（3,6）呢？（4,4）（6,4）

師：繼續(xù)繞點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，綠塊的位置又會(huì)到哪呢？小組討論一下。

師：對(duì)不對(duì)呢？我們一起來(lái)看，恭喜你們答對(duì)了！

師：看，綠塊的位置發(fā)生了變化，數(shù)對(duì)也在變化，它們是一一對(duì)應(yīng)的，雷達(dá)就是利用這個(gè)原理進(jìn)行工作的。

以上教學(xué)片段，每一個(gè)練習(xí)都分層設(shè)計(jì)，由基礎(chǔ)到拓展，學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口，趣味性與鞏固性并存，學(xué)生在快樂(lè)的氛圍中觀察比較、鞏固提升，通過(guò)類(lèi)比思想中的“同”與“異”，潛移默化地影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生養(yǎng)成了用類(lèi)比思想思考問(wèn)題的好習(xí)慣，掌握了解決問(wèn)題的方法，提升了學(xué)生的創(chuàng)造能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

美國(guó)教育家布魯納提出：掌握了基本的數(shù)學(xué)思想和方法，能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更易于理解和記憶。數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有效的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生通過(guò)形式多樣的活動(dòng)完成有意義的數(shù)學(xué)研究，習(xí)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。這樣，不僅解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題，更提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，數(shù)學(xué)思想也一步一步得以滲透與培養(yǎng)。