立足三維空間 提升學(xué)科素養(yǎng)
——一道山東高考卷試題的評(píng)析及另解

蔣金團(tuán)

（云南省施甸縣第一完全中學(xué)，云南 保山 678200）

在傳統(tǒng)的疊加場(chǎng)模型中，試題通常設(shè)計(jì)成如下的兩種情形：第一種情形是帶電粒子所受重力和電場(chǎng)力平衡，帶電粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；第二種情形是場(chǎng)力或場(chǎng)力的合力不為0，帶電粒子在場(chǎng)力和洛倫茲力的共同作用下做滾輪線(xiàn)運(yùn)動(dòng).與以上兩種設(shè)計(jì)情形不同的是，2021年高考山東卷第14題直接將平面內(nèi)的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)升級(jí)成了三維空間曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，通過(guò)受力分析可知，在沿著電場(chǎng)線(xiàn)的方向上粒子做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在垂直電場(chǎng)線(xiàn)的平面內(nèi)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng).這種拓展式的設(shè)計(jì)打破了“將曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的慣性思維”，更加深刻地考查了學(xué)生的動(dòng)力學(xué)觀念和學(xué)科素養(yǎng)，使考生更加深刻認(rèn)識(shí)到兩分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，領(lǐng)悟到合成與分解法的精髓.

1 試題呈現(xiàn)

例題.某離子實(shí)驗(yàn)裝置的基本原理如圖1（甲）所示.Ⅰ區(qū)寬度為d，左邊界與x軸垂直交于坐標(biāo)面點(diǎn)O，其內(nèi)充滿(mǎn)垂直于x Oy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0；Ⅱ區(qū)寬度為L(zhǎng)，左邊界與x軸垂直交于O1點(diǎn)，右邊界與x軸垂直交于O2點(diǎn)，其內(nèi)充滿(mǎn)沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).測(cè)試板垂直x軸置于Ⅱ區(qū)右邊界，其中心C與O2點(diǎn)重合.從離子源不斷飄出電荷量為q、質(zhì)量為m的正離子，加速后沿x軸正方向過(guò)O點(diǎn)，依次經(jīng)Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)，恰好到達(dá)測(cè)試板中心C.已知離子剛進(jìn)入Ⅱ區(qū)時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為θ.忽略離子間的相互作用，不計(jì)重力.

（1）求離子在Ⅰ區(qū)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的大小v；

（2）求Ⅱ區(qū)內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；

（3）保持上述條件不變，將Ⅱ區(qū)分為左右兩部分，分別填充磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B（數(shù)值未知）方向相反且平行y軸的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖1（乙）所示.為使離子的運(yùn)動(dòng)軌跡與測(cè)試板相切于C點(diǎn)，需沿x軸移動(dòng)測(cè)試板，求移動(dòng)后C到O1的距離s.

圖1

2 從動(dòng)量和沖量的角度進(jìn)行解答

這道題的3個(gè)設(shè)問(wèn)都在考查曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，事實(shí)上無(wú)論是平面內(nèi)的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)還是空間上的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，無(wú)論曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度是恒定還是變化，都可以采用運(yùn)動(dòng)分解的方法處理.在第（3）問(wèn)中，通過(guò)分解之后，三維空間曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)可看成是運(yùn)動(dòng)軌跡相互垂直的圓周運(yùn)動(dòng)和勻變速直線(xiàn)等效合成，雖然兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)截然不同，但“等時(shí)性”依然將它們緊緊關(guān)聯(lián)在一起，考慮到力對(duì)時(shí)間積累的效果表現(xiàn)為動(dòng)量的改變，因此本題也可以采用動(dòng)量和沖量的知識(shí)進(jìn)行解答.

（1）設(shè)離子在Ⅰ區(qū)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v，由洛倫茲力沖量公式qBy=m|Δvx|和qBx=m|Δvy|得［1］

qB0d=m|Δvy|=m（v sinθ-0），qB0y=m|Δvx|=m（v-v cosθ）.

聯(lián)立兩式解得

（2）離子在Ⅱ區(qū)中做勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，沿x軸方向有

沿y軸方向，由動(dòng)量定理得

-q Et=（-mvy）-（mv sinθ）.

沿y軸方向，由勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律得

聯(lián)立各式解得

（3）Ⅱ區(qū)內(nèi)填充磁場(chǎng)后，將離子進(jìn)入Ⅱ區(qū)時(shí)的速度分解成沿著x軸的分速度vx=v cosθ和沿著y軸的分速度vy=v sinθ，由受力分析可知，在y軸方向離子做類(lèi)豎直上拋運(yùn)動(dòng)，在xO1z平面內(nèi)離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.

圖2

離子在y軸方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

根據(jù)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性可知t′=t，

離子在xO1z平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力沖量公式得

qBx1=m|Δvz|=m|（-v cosθsin60°-0）|，

qBx2=m|Δvz′|=m［v cosθ-（-v cosθsin60°）］.

聯(lián)立各式解得

3 試題評(píng)析

試題第（1）問(wèn)考查了離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，第（1）問(wèn)主要體現(xiàn)了物理觀念中的運(yùn)動(dòng)觀（圓周運(yùn)動(dòng)），從考查要求上來(lái)看，第（1）問(wèn)注重基礎(chǔ)，體現(xiàn)了“一核四層四翼”的基礎(chǔ)性.

試題第（2）問(wèn)考查了離子在磁場(chǎng)中做勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，采用“運(yùn)動(dòng)分解”的方法解答即可.先根據(jù)受力情況確定兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，接著列出每個(gè)分運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，最后再用兩分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性便能將所有的方程聯(lián)系在一起.從核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，第（2）問(wèn)的解答基于合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的等效性，體現(xiàn)了學(xué)科思維和學(xué)科方法；從考查要求上看，解答過(guò)程既用到了沖量知識(shí)，也用到了動(dòng)量知識(shí)，體現(xiàn)了“一核四層四翼”的綜合性.

本題的亮點(diǎn)是第（3）問(wèn)，Ⅱ區(qū)填充磁場(chǎng)后，由于磁場(chǎng)和速度兩個(gè)矢量在同一個(gè)平面內(nèi)，離子在Ⅱ區(qū)受到的洛倫茲力必然沿著z軸，粒子在保持原來(lái)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的同時(shí)，將沿著z軸運(yùn)動(dòng)，所以粒子的運(yùn)動(dòng)將從平面內(nèi)的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)升級(jí)成為三維空間曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng).從核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，第（3）問(wèn)的解答仍然基于合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的等效性，體現(xiàn)了學(xué)科思維和學(xué)科方法；從考查要求上看，第（3）問(wèn)將平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)拓展成三維空間運(yùn)動(dòng)，體現(xiàn)了“一核四層四翼”的創(chuàng)新性，總之，這是一道符合課改精神且令人難忘的好題.