探究活躍在高考中的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

摘 要：文章以提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力為前提，分析高考中的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，分別從高中階段的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、求解思路、例題解析與經(jīng)驗(yàn)總結(jié)四個(gè)方面展開(kāi)討論，分析求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的有效方法，要求靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論思想，以期能夠更加高效且準(zhǔn)確的解得函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題答案。

關(guān)鍵詞：高考;函數(shù)零點(diǎn);數(shù)形結(jié)合;分類(lèi)討論

現(xiàn)如今高考中所涉及的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的考查不斷深入，也將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題相關(guān)命題空間、解題空間拓展，使得現(xiàn)階段高考中的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題難度與深度相繼增加。關(guān)于問(wèn)題涉及的背景、結(jié)構(gòu)等也越來(lái)越新穎。一般函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題會(huì)設(shè)計(jì)在解答題、客觀(guān)題之后，是現(xiàn)如今高考中的亮點(diǎn)。

一、 高考函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題討論

高中數(shù)學(xué)涉及的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，是新課標(biāo)基礎(chǔ)上新增考查內(nèi)容之一，即“當(dāng)f（x）=0時(shí)，對(duì)應(yīng)自變量x的值。”其中需要注意，零點(diǎn)指代的是數(shù)值，而非一個(gè)點(diǎn)，換言之就是函數(shù)和x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，涉及覆蓋知識(shí)范圍廣、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)多，同時(shí)又具有較強(qiáng)的綜合性，其中包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論這四種數(shù)學(xué)思想方法，可以了解學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及解題能力。

因?yàn)楦呖贾袑?duì)于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的考查不斷深入，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題在命題與解題方面空間范圍也越來(lái)越廣，使得學(xué)生面臨的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題難度增加，問(wèn)題本身的深度與廣度也相繼拓展。對(duì)于數(shù)學(xué)教材中涉及的函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)知識(shí)，需要在日常教學(xué)中帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行分析與討論，總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題多元化解法和處理方式，能夠在今后解答相關(guān)問(wèn)題時(shí)更加高效且準(zhǔn)確的得出最終結(jié)果。

二、 函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題求解思路

高中數(shù)學(xué)學(xué)科中零點(diǎn)是最為常見(jiàn)的考查知識(shí)點(diǎn)，針對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解答思路，主要可以總結(jié)為以下三個(gè)方面。

（一）函數(shù)零點(diǎn)存在性

“若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]中圖象是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]中有零點(diǎn)，即存在實(shí)數(shù)C∈（a，b），使得f（c）=0，其中c也是方程f（x）=0的根?！卑凑蘸瘮?shù)零點(diǎn)存在性的定理，對(duì)函數(shù)所在區(qū)間內(nèi)是否有零點(diǎn)存在，或者某一區(qū)間中方程是否有根存在，學(xué)生在求解時(shí)務(wù)必要關(guān)注“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理為函數(shù)存在零點(diǎn)的充分不必要條件”，在掌握這一要素之后完成函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的求解。

例1 已知f（x）定義在R上，是周期為3的奇函數(shù)，如果x∈0，32，此時(shí)f（x）=ln（x2-x+1），由此確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

解析：根據(jù)題意知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，區(qū)間[0，6]上必然會(huì)有f（0）=0。當(dāng)x∈0，32，通過(guò)已知條件f（x）=ln（x2-x+1）=0，得出x2-x+1=1。即x2-x=0，解得x=1。函數(shù)f（x）是周期為3的奇函數(shù)，因此f（0）=f（3）=f（6）=0。在區(qū)間[0，6]上，共有三個(gè)零點(diǎn)，即0、3、6。f（1）=f（4）=f（-1）=f（2）=f（5）=0，此時(shí)區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，包括1、2、4、5。如果x=32，

那么f32=f32-3=f-32=-f32，由此可以確定f32=0，即f32=f32-3=f92=0。這時(shí)區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，即32、92?？傆?jì)函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9個(gè)，選擇D。

（二）函數(shù)零點(diǎn)求解個(gè)數(shù)

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理要求，只能夠?qū)α泓c(diǎn)存在性進(jìn)行判斷，無(wú)法確定函數(shù)零點(diǎn)的數(shù)量。那么要想得知函數(shù)零點(diǎn)數(shù)量，建議構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)方程式，繪制函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)完成求解。主要分為兩種情況：（1）針對(duì)陌生函數(shù)零點(diǎn)數(shù)量的求解。如果學(xué)生面對(duì)不熟悉的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，建議將已知函數(shù)分解，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉度高的函數(shù)方程，隨后再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，將其化歸成為“求解兩個(gè)熟悉函數(shù)圖象中交點(diǎn)數(shù)量”的問(wèn)題，便可以降低問(wèn)題求解難度，進(jìn)而得出函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù);（2）針對(duì)一元高次函數(shù)。面對(duì)一元高次函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，學(xué)生可以使用導(dǎo)數(shù)法繪制函數(shù)圖像，明確圖象和x軸交點(diǎn)，進(jìn)而完成函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的求解。

例2 已知f（x）的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，滿(mǎn)足任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），如果x∈[2，3]，此時(shí)f（x）=-（x-2）2+1。如果函數(shù)y=f（x）-

ax-1112在（0，+∞）這一區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

解析：由題意知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，如果x=-1，f（-1+2）=f（-1）-f（1），即f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）。由此也可以確定函數(shù)f（x）屬于周期為2的周期函數(shù)，并且是偶函數(shù)。f（x）-ax-1112=0，得出f（x）=ax-1112可知函數(shù)f（x）圖象和函數(shù)y=ax-1112圖象共有3個(gè)交點(diǎn)。為了保證兩個(gè)函數(shù)圖象上有3個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)斜率a要在2條切線(xiàn)斜率中間。y=ax-1112

如果x∈[1，2]，f（x）=-（x-2）2+1，將公式y(tǒng)=ax-1112代入其中進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出公式x2+（a-4）x+3-11a12=0，判別式（a-4）2-4（3-11a12），求解得出a值為43或3（舍）。同理，如果x∈[3，4]，那么f（x）=-（x-4）2+1，在該公式中代入y=ax-1112并化簡(jiǎn)，并且判別式為0，求解a值為13或12（舍）。由此可以確定實(shí)數(shù)a的取值范圍為13，43，答案B為正確選項(xiàng)。

（三）函數(shù)零點(diǎn)與方程根的求解

針對(duì)一些比較特殊的函數(shù)，學(xué)生可以按照方程式特點(diǎn)搭建新函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化之后求解。

例3 已知函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a。

（1）若函數(shù)y=f（x）有實(shí)數(shù)零點(diǎn)，求a的取值范圍;

（2）若在區(qū)間[-1，1]上函數(shù)y=f（x）上有零點(diǎn)，求a的取值范圍。

解析：如果a=0，區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f（x）=2x-3沒(méi)有零點(diǎn)。因此，針對(duì)a≠0這一條件展開(kāi)分析：

①區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f（x）=0存在重根，Δ=4（2a2+6a+1）=0，求解得出a值，為a=-3-72，如果a=-3-72，此時(shí)f（x）=0重根x=-3-72∈[-1，1];如果a=-3+72，此時(shí)f（x）=0重根x=3+72[-1，1]。所以區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f（x）=0有重根的情況下，a=-3-72。

②區(qū)間[-1，1]上f（x）僅有1個(gè)零點(diǎn)，并且不是f（x）=0重根，這時(shí)f（-1）f（1）≤0，因?yàn)閒（-1）=a-5，f（1）=a-1，所以（a-5）（a-1）≤0，即1≤a≤5，當(dāng)a=5，此時(shí)區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f（x）=0存在2個(gè)相異實(shí)根，所以區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f（x）=0僅有1個(gè)根且非重根，解得1≤a<5。

③區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f（x）=0存在2個(gè)相異實(shí)根，函數(shù)f（x）=2ax+12a2-12a-a-3，圖象對(duì)稱(chēng)軸方程是x=-12a，a必須要滿(mǎn)足以下條件：（1）

Δ>0，求解不等式組（1）可以得出a值，即a≥5，求解不等式組（2），可以得出a<-3-72。所以，區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f（x）=0存在2個(gè)相異實(shí)根，此時(shí)a∈-∞，-3-72∪[5，+∞），如果1≤a<5，f（-1）f（1）≤0，區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f（x）=0有根，當(dāng)a∈-∞，-3-72∪[5，+∞）時(shí)，因?yàn)閒-12af（1）<0，|12a|<1，區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f（x）=0有根;如果a=-3-72，區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f（x）=0有根;由此可知，區(qū)間[-1，1]上函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，a取值范圍是-∞，-3-72∪[1，+∞）。

三、 高考函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題求解經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

根據(jù)以上分析以及例題解析，總結(jié)高考中的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，可以得出以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)：第一，數(shù)學(xué)教材中與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)必須要牢牢掌握，如果假設(shè)f（x）=g（x）-h（x），那么f（x）零點(diǎn)f（x）=0實(shí)數(shù)根f（x）圖象和x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)g（x）、h（x）圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo);第二，學(xué)生在求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，務(wù)必要加強(qiáng)對(duì)轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論這四種數(shù)學(xué)思想的重視，在問(wèn)題求解中靈活應(yīng)用。通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與問(wèn)題求解，積累解題經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)有效的思維方法。能夠在學(xué)習(xí)中思考、思考中研究，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，更加高效地完成函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題求解。

四、 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)學(xué)科中是非常重要的知識(shí)點(diǎn)之一，學(xué)生面對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，為了能夠更加高效的求解，應(yīng)該使用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思想，在求解問(wèn)題的過(guò)程中積累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)有效的解題思路，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

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作者簡(jiǎn)介：李翠娟，福建省寧德市，福建省寧德市古田縣第三中學(xué)。