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    透過現(xiàn)象看本質(zhì):由2461問題引發(fā)的探究

    2020-12-17 06:59:44張為康吳思懷
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2020年10期
    關(guān)鍵詞:數(shù)論素?cái)?shù)高斯

    張為康 吳思懷

    (南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210023)

    《數(shù)學(xué)通報(bào)》2461問題是一個三角函數(shù)求和問題,它本質(zhì)上是一個數(shù)論問題,本文將從初等數(shù)論的角度提出一般化的定理并給出詳細(xì)證明.

    1 原命題概述

    2 問題一般化

    作者這樣的構(gòu)造方法很巧妙,往往很難想到,但從其本質(zhì)來看就會覺得很自然.

    觀察解題過程中x,y的構(gòu)造,很容易聯(lián)想到單位根的有限和,即高斯和的相關(guān)內(nèi)容.代數(shù)式中π 前面的系數(shù)1,3,4,9,10,12為mod13的二次剩余,2,5,6,7,8,11為mod13的二次非剩余,而在數(shù)論中,二次剩余與二次非剩余聯(lián)系緊密,所以構(gòu)造y與x進(jìn)行配對計(jì)算,在數(shù)論中是自然而然的想法.原問題中13作為一個素?cái)?shù),不失一般性,而在二次剩余內(nèi)容中,4n+1型素?cái)?shù)與4n+3型素?cái)?shù)的性質(zhì)又有本質(zhì)上的差別.

    綜合以上考慮,將原問題進(jìn)行一般化的推廣,得到以下定理.

    3 證明定理

    為了證明這一定理,先給出初等數(shù)論中的一些基本定義和引理.

    定義1設(shè)素?cái)?shù)p>2,d是整數(shù),p|d.如果同余方程x2≡d(modp)有解,則稱d是模p的二次剩余;若無解,則稱d是模p的二次非剩余.

    引理2設(shè)素?cái)?shù)p>2,p|d1,p|d2,那么,

    (1)若d1,d2均為模p的二次剩余,則d1d2也是模p的二次剩余;

    (2)若d1,d2均為模p的二次非剩余,則d1d2也是模p的二次剩余;

    (3)若d1是模p的二次剩余,d2是模p的二次非剩余,則d1d2是模p的二次非剩余.

    引理3-1是模p的二次剩余的充要條件是p≡1(mod4).

    下面對此定理進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

    證明因{1,2,…,4n}是模p的一個既約剩余系,由引理1不妨設(shè)M={s1,s2,…,s2n}是{1,2,…,4n}中的所有模p二次剩余的集合,設(shè)N={t1,t2,…,t2n}是{1,2,…,4n}中的所有模p二次非剩余的集合.令

    由引理2,對?c∈{1,2,…,4n},

    于是得到4n個等式

    將這4n個式子左右兩邊相加,得

    =-(a1+a2+…+a4n),

    又a1+a2+…a4n=4n2,則AB=f(ζp)=-n.

    A,B是方程x2+x-n=0的兩根.

    實(shí)部相等可得,

    由引理3, -1是模p的二次剩余,于是4n+1-si(i=1,2,…,2n)也是模p的二次剩余,且si≠4n+1-si,即si與4n+1-si在集合M中成對出現(xiàn).不妨設(shè)si+n=4n+1-si(1≤i≤n),由抽屜原理知min{si,4n+1-si}≤2n.令ki=2min{si,4n+1-si}(1≤i≤4n),則1≤ki≤4n,且

    這樣就找到了n個符合條件的數(shù),定理得證.

    4 推論與推廣

    由上面的證明過程,還可以得到以下推論.

    推廣當(dāng)p是4n+3型素?cái)?shù),?1≤h1≤h2≤…≤hn≤4n+2,使得

    其中hi∈Z(i=1,2,…,2n+1).

    5 回顧與反思

    由于2,5,6為模13意義下的二次非剩余,利用推論知

    原命題得證.

    《數(shù)學(xué)通報(bào)》2461問題的探究證明可以從數(shù)論中找到理論依據(jù),有興趣的讀者可以從高斯和理論中找到更一般的推廣.

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