例析研究新函數(shù)圖像的基本策略

王成剛

(江蘇省鹽城市初級(jí)中學(xué) 224001)

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，是高中后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．在初中，學(xué)生通過一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，能初步形成研究函數(shù)圖像與性質(zhì)的基本方法和基本思路，并積累相應(yīng)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思考策略，為研究一些簡單的新函數(shù)奠定了基礎(chǔ)．那么，立足初中函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，該如何探究新函數(shù)的圖像與性質(zhì)呢？在2017年11月江蘇省初中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)中，筆者有幸開設(shè)了題為“以不變應(yīng)萬變——探究新函數(shù)的圖像”的數(shù)學(xué)活動(dòng)探究課，以下是筆者的設(shè)計(jì)思想、教學(xué)實(shí)施和一些教學(xué)思考．

1 設(shè)計(jì)思想

1.1 問題提出

問題1不少老師喜歡在課堂上借助圖形計(jì)算器快速畫出所給函數(shù)的圖像，這種做法雖然直觀、快捷，但掩蓋了畫函數(shù)圖像需經(jīng)歷的分析與體驗(yàn)過程．

圖1

問題3在學(xué)完“三大函數(shù)”后，學(xué)生雖已依次經(jīng)歷由圖像特征得圖像性質(zhì)(由形到數(shù))的過程,知道圖像是性質(zhì)的關(guān)鍵，但因三類函數(shù)表達(dá)式的形式單一，學(xué)生對(duì)取點(diǎn)和列表的經(jīng)驗(yàn)、連線的方法以及描述圖像的性質(zhì)，還顯得零碎和雜亂.為高中后續(xù)學(xué)習(xí)，有必要加以歸納和提煉，并思考是否能用圖像性質(zhì)倒逼圖像特征(由數(shù)想形).

1.2 案例啟示

啟示2文[2]提到：你準(zhǔn)備如何研究y=x3-3x2圖像與性質(zhì)？分別從什么角度入手研究(圖2)？高中對(duì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究，通常是結(jié)合函數(shù)表達(dá)式，①從函數(shù)的定義域、值域，確定函數(shù)圖像的分布和連續(xù)與間斷情況；②從函數(shù)的奇偶性，確定函數(shù)圖像的關(guān)于原點(diǎn)、y軸的對(duì)稱性；③用求導(dǎo)的方法，確定函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)等，得到圖像的特征，為如何列表和連線提供了依據(jù).

圖2

這樣的分析過程為我們解決問題1和問題2提供了方法，為解決問題3提供了一般路徑．筆者認(rèn)為，高中的這種研究方式雖然不能直接搬到初中，但對(duì)初中函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)有一定的借鑒意義.可以在不告知學(xué)生上述具體名稱的前提下，幫助學(xué)生提煉描述函數(shù)性質(zhì)的角度，以便初中學(xué)生也能更全面準(zhǔn)確地把握所給陌生函數(shù)圖像的一些特征，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)地思考問題.

1.3 解決問題設(shè)想

設(shè)想1通過對(duì)以上案例的分析，形成2個(gè)想法：①在初中階段,研究函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵是圖像，而畫圖像的難點(diǎn)是圖像的特征(長相),依據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，采用怎樣的方法去倒逼圖像的特征？②我們能否提煉學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，形成探究新函數(shù)圖像的“通性通法”？

設(shè)想2確定的本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路和教學(xué)目標(biāo)如下：①在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，通過實(shí)例歸納出研究函數(shù)圖像與性質(zhì)的幾個(gè)常見角度；②運(yùn)用所總結(jié)的方法繼續(xù)探究新函數(shù)的圖像，加深對(duì)上述方法的理解與感悟；③經(jīng)歷對(duì)新函數(shù)圖像的探究過程，初步掌握探究函數(shù)圖像特征的一般方法，形成探究新函數(shù)圖像的“通性通法”；④通過對(duì)新函數(shù)圖像的探究，利用圖形計(jì)算器快速畫圖的功能，借助自主探究與互動(dòng)合作的融合，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．

2 教學(xué)實(shí)施

2.1 提出新問，引入課題

師：前面我們研究了一些函數(shù)的圖像，下面請(qǐng)大家思考：

(學(xué)生沉默)

師：這不是我們熟悉的函數(shù)，所以大家感到有點(diǎn)困難. 那么如何畫陌生函數(shù)的圖像呢？為了解決這個(gè)問題，就讓我們走進(jìn)今天的課堂——探究新函數(shù)的圖像(板書課題)．

2.2 探究體驗(yàn)，方法提煉

師：我們不妨先從幾個(gè)熟悉的函數(shù)入手來研究.

前置練習(xí)請(qǐng)快速畫出下列三個(gè)函數(shù)的圖像：

(投影展示部分學(xué)生所畫圖像)

師：結(jié)合所畫圖像，請(qǐng)同學(xué)們思考：

問題1畫函數(shù)的圖像，通常要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟？(列表、描點(diǎn)、連線.)

追問1畫這三個(gè)圖像時(shí)，你分別取了幾個(gè)點(diǎn)？(2個(gè)、6個(gè)、5個(gè).)

追問2你為什么能根據(jù)有限的這幾個(gè)點(diǎn)畫出上述函數(shù)的圖像呢？

生1：因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道這幾個(gè)函數(shù)圖像的形狀——(師接)即它們的“長相”.

追問3函數(shù)圖像的形狀與性質(zhì)歸根結(jié)底是由什么決定的?

生2：函數(shù)表達(dá)式．

問題2那么，如何根據(jù)函數(shù)表達(dá)式來研究函數(shù)圖像的形狀與性質(zhì)呢？

問題2.1函數(shù)②的圖像稱為雙曲線，說明圖像分為兩支，為什么?

生3：因?yàn)閤≠0．

師：對(duì)，因?yàn)閤有不能取到的值，所以圖像就斷開了．這說明函數(shù)圖像是相連的還是斷開的，主要看——(生接)自變量x的取值情況．

問題2.2在畫函數(shù)③的圖像時(shí)，你從其表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)到了它的哪些特性？

生3：圖像有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值．

師：函數(shù)的最值也是我們經(jīng)常關(guān)注的重要特性.

追問你還發(fā)現(xiàn)到了它的哪些特性？

生4：圖像不間斷.

師：很好！我們看到了圖像不間斷是因?yàn)樽宰兞縳可取任意實(shí)數(shù).生4能活學(xué)活用.

生5：圖像與x軸沒有交點(diǎn)，都在x軸上方；與y軸有交點(diǎn)，坐標(biāo)是(0,5).

師：生5關(guān)注了函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況.

生6：當(dāng)x<-2時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>-2時(shí)，y隨x的增大而增大．圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱．

師：生6關(guān)注了函數(shù)圖像的增減情況和對(duì)稱情況.

問題2.3受其啟發(fā)，我們通?？蓮哪男┙嵌葋矸治龊瘮?shù)圖像的性質(zhì)呢？

生：圖像的連續(xù)與間斷情況、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況、最值情況、增減性情況、圖像的分布情況、對(duì)稱情況，等等.

(在師生對(duì)話中，逐步完成下列板書(如圖3))[3].

圖3

師：函數(shù)的圖像與其性質(zhì)是密切相關(guān)的.反過來，把握函數(shù)的一些性質(zhì)也可以幫助我們較為準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)圖像的特征，從而畫出它的示意圖.

設(shè)計(jì)說明立足學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合兩個(gè)子問題，在老師的追問下，穿梭“數(shù)”“形”之間，分析、比較、整合描述函數(shù)性質(zhì)的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，不經(jīng)意中共同完成描述函數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)角度，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，為下面教學(xué)的展開作好鋪墊.

2.3 簡單應(yīng)用，感悟內(nèi)化

師：我們不妨按照剛才總結(jié)的幾個(gè)角度，先來分析該函數(shù)圖像的一些性質(zhì)．

問題3.1該函數(shù)圖像的連續(xù)與間斷情況如何？

生：因?yàn)閤為一切實(shí)數(shù)，所以圖像是連續(xù)的.

(在直角平面坐標(biāo)系中表示如圖4對(duì)應(yīng)部分，下同.)

圖4

問題3.2該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況如何？

問題3.3該函數(shù)圖像的分布情況如何？

師：既然圖像與x軸沒有交點(diǎn)，又在x軸上方，你有什么想法？

生：無限逼近x軸，與反比例函數(shù)圖像類似.

問題3.4該函數(shù)的最值情況如何？

師：看來，新舊函數(shù)之間是相互作用和影響的.

問題3.5該函數(shù)的增減情況如何？

生：當(dāng)x<-2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>-2時(shí)，y隨x的增大而減小.

師：很好，根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，你會(huì)連線了嗎？伸出你的手，畫畫看.

(老師背對(duì)學(xué)生，與學(xué)生一起作手勢(shì)演示.)

問題3.6該函數(shù)的對(duì)稱情況如何？

師：函數(shù)的對(duì)稱問題相對(duì)復(fù)雜，我們也可以在得到圖像后，加以發(fā)現(xiàn).

問題3.7在上述性質(zhì)討論的基礎(chǔ)上，你會(huì)列表了嗎？

生：類似于二次函數(shù)在x=-2處左右對(duì)稱取值．

師：你畫的圖像示意圖正確嗎？請(qǐng)你用圖形計(jì)算器驗(yàn)證(圖5)．

圖5

(學(xué)生對(duì)照?qǐng)D像，指畫類似反比函數(shù)、二次函數(shù)圖像的特征，進(jìn)一步體會(huì)復(fù)合函數(shù)的思想.)

師：通過這個(gè)例題的分析，你有什么收獲？

在師生對(duì)話中，依次完成課堂活動(dòng)單，給出投影如下(圖6)

圖6

2.4 知識(shí)升華，靈活運(yùn)用

請(qǐng)寫出一個(gè)你想要探究的函數(shù)表達(dá)式．

(1)你能結(jié)合表達(dá)式猜想一、二個(gè)圖像的特征嗎？

(2)你能說出這些特征的合理性嗎？

(3)請(qǐng)你用圖形計(jì)算器畫出這個(gè)函數(shù)的圖像，并驗(yàn)證你的猜想；

(4)觀察圖像，你認(rèn)為它還有那些性質(zhì)？

設(shè)計(jì)說明此處設(shè)計(jì)一個(gè)開放性問題，給學(xué)生一個(gè)時(shí)空，讓學(xué)生從不同的視角，感受“由數(shù)想形”的合理性和必要性，結(jié)合多個(gè)問題探究方法的整合，進(jìn)一步感受問題解決的順序性、層次性，體會(huì)問題解決的一般路徑(通性通法)，彰顯課堂的生成性和課堂的張力.

2.5 課堂總結(jié)，課后探究

師：今天這節(jié)課，我們探究了畫陌生函數(shù)圖像的一般方法，在理性分析的基礎(chǔ)上給出了一種通法(補(bǔ)全課題:以不變應(yīng)萬變——探究新函數(shù)的圖像)，相信大家都有所感悟. 希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中，能用智慧的眼光去探尋解決問題的方法，培養(yǎng)自己理性思維的習(xí)慣．

探究作業(yè)請(qǐng)你選擇一個(gè)函數(shù)，對(duì)它的圖像進(jìn)行合理分析，在此基礎(chǔ)上畫出該函數(shù)圖像的示意圖，然后用圖形計(jì)算器加以驗(yàn)證，并盡可能多地寫出它的性質(zhì)，最后完成探究報(bào)告．

探究報(bào)告

設(shè)計(jì)說明本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容雖源于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，但遠(yuǎn)高于課標(biāo)要求，問題的解決需要學(xué)生把握對(duì)所學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的深度理解，既是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一個(gè)挑戰(zhàn)，更是一個(gè)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)積累的過程，需要老師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)問題情境，引領(lǐng)學(xué)生自主或合作探究，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

3 教學(xué)思考

3.1 教師站得高才能引領(lǐng)學(xué)生看得遠(yuǎn)

教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引路人，教師站的高度決定了學(xué)生視野. 本節(jié)課上，如果單純地立足于初中所學(xué)的函數(shù)基本方法和基本思路，學(xué)生探究會(huì)沒有方向，探究起來也有困難，學(xué)生的收獲可能也沒有這樣的處理方式來得豐滿．所以，我們除了要鉆研所教學(xué)段的教材外，還要對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容有一定的了解，并在不增加學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的前提下，經(jīng)歷師生對(duì)話，提煉已有經(jīng)驗(yàn)與方法，并能用新經(jīng)驗(yàn)、新方法解決新問題，這樣的教學(xué)，既可讓學(xué)生固化原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，又能讓學(xué)生知曉新的經(jīng)驗(yàn)和方法是從“哪里來”，又能到“哪里去”，并且還能知道“怎樣去”的一般路徑.

3.2 數(shù)學(xué)教學(xué)離不開問題的驅(qū)動(dòng)

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)應(yīng)是不斷地以提出問題并解決問題的方式來獲取新的經(jīng)驗(yàn)．本節(jié)課上，筆者從問題出發(fā)引入課題，并在解決了開始提出的問題后結(jié)束教學(xué)，前呼后應(yīng)，渾然一體. 為了解決該問題，其間又設(shè)計(jì)3個(gè)子問題，在每個(gè)子問題中又設(shè)計(jì)了一些問題串或進(jìn)行了一些追問，正是基于符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題情境，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等多樣化學(xué)習(xí)方式，課上學(xué)生的思維被充分調(diào)動(dòng)起來，學(xué)生的智慧潛能被激發(fā)出來．通過實(shí)踐，筆者認(rèn)為基于問題驅(qū)動(dòng)的探究活動(dòng)易于提煉已有經(jīng)驗(yàn)、易于提高學(xué)生認(rèn)知、易于提高學(xué)生分析問題的能力、易于發(fā)揮學(xué)生主體作用等優(yōu)點(diǎn)，值得提倡[4].

3.3 “思維可視化”是破解難點(diǎn)的有效方法

華東師范大學(xué)劉濯源教授指出：“思維可視化”是指運(yùn)用一系列圖示技術(shù)把本來不可視的思維(包括：思考方法和思考路徑)呈現(xiàn)出來，使其有清晰可見的過程.本節(jié)課中采用在坐標(biāo)系中畫陰影的方法來分析圖像的分布，又在給出圖像的最高點(diǎn)和對(duì)稱軸后，破解“如何取點(diǎn)”、“如何列表”這一難題；采用“伸出你的手，畫畫看”和教者的形體示意，再用圖形計(jì)算器加以驗(yàn)證，幫助學(xué)生理解“這樣連線”的理由，破解“如何連線”這一難題；對(duì)照二個(gè)函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)表達(dá)式的特征，破解函數(shù)的最大值和增減性這一難題，這樣的“可視化”教學(xué)過程，既可提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，又能有效提升教學(xué)效能.

3.4 注重通性通法才是好的數(shù)學(xué)教學(xué)

章建躍博士認(rèn)為：“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，“通法”就是概念所蘊(yùn)含的思想方法[5].本節(jié)課中，結(jié)合三大函數(shù)的圖像，分析三類圖像特征形成的原因，理解三大函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系，提煉描述一般函數(shù)性質(zhì)的角度，再用這些角度步驟化、層次化、可視化去推測(cè)新函數(shù)圖像的特征，倒逼圖像的長相，形成探究函數(shù)特征的“通性通法”，這樣的教學(xué)有助于學(xué)生把握研究問題的規(guī)律，探求數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想，提升能力水平，落實(shí)數(shù)學(xué)課程的育人功能，使學(xué)生真正從“長期利益”中得到好處.