也談空間向量的投影

崔 旺 保繼光

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

1 向量及其數(shù)量積、投影的起源

向量作為溝通代數(shù)和幾何的橋梁,在數(shù)學(xué)中有著重要的地位.1967年,美國(guó)數(shù)學(xué)家克羅威 (Michael J. Crowe,1936-) 在《向量分析的歷史》[1]中指出,向量早期發(fā)展來(lái)源于數(shù)學(xué)和物理學(xué).數(shù)學(xué)中的向量研究可以從埃及和巴比倫時(shí)期一直延伸到現(xiàn)代,與數(shù)的概念的發(fā)展有著緊密的聯(lián)系.物理學(xué)中的向量研究也可以追溯到很久之前,與尋找代表物理量的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算有著緊密的聯(lián)系.這兩大傳統(tǒng)科學(xué)在向量研究的歷史上互相交叉互相促進(jìn).

古希臘哲學(xué)家亞里士多德 (Aristotle,公元前384—322) 在《論力學(xué)》[2]中給出了速度的平行四邊形法則.1687年英國(guó)科學(xué)家牛頓 (Isaac Newton,1643—1727) 在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》[3]中規(guī)定了力的平行四邊形法則.

x=xα+xβ+xγ

向量 (vector) 一詞就來(lái)源于1846年哈密爾頓在《哲學(xué)雜志》上發(fā)表的文章《論四元數(shù)》[7].哈密爾頓在《四元數(shù)講義》[8]中,兩個(gè)數(shù)量部分為0的四元數(shù)q=0+ix+jy+kz,q′=0+ix′+jy′+kz′的乘積為

qq′=-(xx′+yy′+z′)+i(yz′-zy′)+

j(zx′-xz′)+k(xy′-yx′).

顯然,數(shù)量部分為0的兩個(gè)四元數(shù)的乘積的數(shù)量部分是現(xiàn)代向量分析中相應(yīng)向量數(shù)量積的負(fù)值.

1867年,蘇格蘭數(shù)學(xué)物理學(xué)家泰特 (Peter Tait,1831—1901) 在《四元數(shù)基礎(chǔ)》[9]中賦予了四元數(shù)乘法的幾何意義,得到了向量α,β乘積的數(shù)量部分Sαβ=-TαTβcosθ,其中Tα,Tβ分別表示向量α,β的長(zhǎng)度,θ表示α與β的夾角.

圖1

圖2

美國(guó)科學(xué)家吉布斯 (Josiah Willard Gibbs,1839—1903) 與威爾遜 (Edwin Bidwell Wilson,1879—1964) 建立了向量分析理論.他們?cè)?901年出版的《向量分析》[11]中定義：兩個(gè)向量A和B的直接乘積 (direct product)A·B是向量大小A,B的乘積AB,再乘以它們之間夾角(A,B)的余弦值所獲得的數(shù)量

A·B=ABcos (A,B) ,

并在此基礎(chǔ)上定義了向量B在A上的投影 (projection) 是向量

=Bcos (A,B)a，

其中a是與A同向的單位向量.

從本質(zhì)上講,向量數(shù)量積的現(xiàn)代定義就是如此.此后的變化主要體現(xiàn)在符號(hào)上.

2 現(xiàn)行教材中相關(guān)內(nèi)容的安排

在現(xiàn)行的教材中,空間向量的教學(xué)內(nèi)容通常被安排在平面向量和立體幾何之后,空間向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)都是通過(guò)類(lèi)比平面向量的情形獲得的,并沒(méi)有給出嚴(yán)格的證明.在此基礎(chǔ)上,教材引入了空間向量的投影,并把數(shù)量積的分配律應(yīng)用到立體幾何中線面垂直判定定理的證明.

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,有些教師補(bǔ)證了空間向量數(shù)量積的分配律,但其中使用了線面垂直的判定定理,形成了循環(huán)論證.到底能否避免這樣的邏輯循環(huán)？本文給出了肯定的答案.這需要從空間向量投影的定義說(shuō)起.

(1)空間向量投影的定義

在各個(gè)版本的教材中,空間向量投影的概念可以分為三類(lèi).2003和2007人教版、2011北師版、2015滬教版的教材將空間向量的投影定義為一個(gè)數(shù)量：“已知兩個(gè)非零向量a與b,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積,記作a·b,即

a·b=|a||b|cosθ，

其中θ是a與b的夾角,|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投影”.

圖3

圖4

圖5

絕大部分教材的空間向量投影的定義都是在空間向量數(shù)量積的定義之后給出的.在這樣的教材內(nèi)容安排下,教師和學(xué)生忽視了投影概念的直觀理解和幾何意義,過(guò)多地注重利用數(shù)量積來(lái)計(jì)算投影數(shù)量,而不是利用投影去理解數(shù)量積的意義,不利于學(xué)生對(duì)空間向量投影概念的掌握.

(2)空間向量數(shù)量積分配律的證明

由于任意兩個(gè)向量都是共面向量,所以空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)及數(shù)量積的交換律和平面向量情形是一致的.但是,教材一般都沒(méi)有注意到分配律是關(guān)于三個(gè)向量的,具有空間向量的特色,因而也沒(méi)有給出具體明確的證明.在教學(xué)過(guò)程中,最常見(jiàn)的講授空間向量數(shù)量積分配律的方法是類(lèi)比平面向量數(shù)量積分配律的證明方法.

為了更清楚地說(shuō)明問(wèn)題,讓我們回憶一下教材中關(guān)于平面向量數(shù)量積分配律的證明.

性質(zhì)設(shè)a,b,c為平面向量,則

a·(b+c)=a·b+a·c.

圖6

|b+c|cos a0

=|b|cos a0+|c|cos a0.

兩邊同時(shí)乘以|a|, 由數(shù)量積的定義可知

a·(b+c)=a·b+a·c.

圖7

在上面的證明過(guò)程中就用到了線面垂直的判定定理.同時(shí),在有的教材中又應(yīng)用空間向量數(shù)量積的分配律證明線面垂直判定定理.這樣就出現(xiàn)邏輯循環(huán)的錯(cuò)誤.

3 教材和教學(xué)建議

為了克服上述存在的問(wèn)題,現(xiàn)在給出切實(shí)可行的教材編寫(xiě)和教學(xué)實(shí)踐建議.

我們從幾何角度定義投影、投影向量、投影數(shù)量.

圖8

定義1不依賴(lài)空間向量的數(shù)量積,投影向量和投影數(shù)量都有相應(yīng)的幾何直觀.

向量作為幾何和代數(shù)之間的橋梁,建立上述幾何直觀的代數(shù)表示是一個(gè)重要的問(wèn)題.下面,我們借助定義1和基本幾何知識(shí)給出投影向量、投影數(shù)量的代數(shù)表示.

定理1設(shè)a,b是兩個(gè)非零的空間向量,a與b的夾角為θ,b0是b的單位向量,則a在b上的投影向量是|a|cosθb0,投影數(shù)量是|a|cosθ.

圖9

(2|B1G|)2+|BE|2=2|B1E|2+2|B1B|2,

(2|A1G|)2+|BE|2=2|A1E|2+2|A1B|2,

從而

又因?yàn)锽1E⊥A1B1,BB1⊥A1B1,由勾股定理上式可化簡(jiǎn)為

=|A1B1|2.

我們通過(guò)定理1清晰地看到了空間向量的投影向量、投影數(shù)量和數(shù)量積之間的關(guān)系,為數(shù)量積的教學(xué)奠定了幾何基礎(chǔ).下面我們借助投影向量給出空間向量數(shù)量積的分配律的證明.

定理2設(shè)a,b,c為空間向量,則

a·(b+c)=a·b+a·c.

圖10

=|b|cos a0,

=|c|cos a0,

=|b+c|cos a0.

|b+c|cos a0

=|b|cos a0+|c|cos a0.

兩邊同時(shí)乘|a|, 得

|a||b+c|cos a0

=|a||b|cos a0+|a||c|cos a0，

由數(shù)量積的定義,有

a·(b+c)=a·b+a·c.

在上述證明過(guò)程中,沒(méi)有借助線面垂直的判定定理就證明了空間向量數(shù)量積的分配律.因此,教材中利用空間向量數(shù)量積分配律去證明線面垂直判定定理是合理的,不會(huì)產(chǎn)生邏輯循環(huán)的錯(cuò)誤.

在空間向量的教學(xué)過(guò)程中,我們建議按照定義1給出空間向量投影向量和投影數(shù)量的幾何定義,通過(guò)定理1獲得空間向量投影向量和投影數(shù)量的代數(shù)表示.這樣向量幾何與代數(shù)的雙重屬性表現(xiàn)得非常清楚.在此基礎(chǔ)上,進(jìn)行空間向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用的教學(xué).特別需要注意的是,既要避免簡(jiǎn)單地運(yùn)用空間向量類(lèi)比平面向量的思想,又要避免空間向量數(shù)量積分配律和線面垂直判定定理出現(xiàn)的邏輯循環(huán)錯(cuò)誤.本文定理2的證明是至關(guān)重要的.