非慣性系中簡諧運動的周期求解
——基于機械能守恒的視角

楊振東

(廣西師范大學物理科學與技術學院，廣西 桂林 541004)

運動學規(guī)律、動力學特征及機械能守恒是探討簡諧運動的3個基本視角，也是求解振動周期的3個典型路徑.其中，利用機械能守恒求振動周期是物理競賽中的典型方法(通常稱能量法)，其優(yōu)點在于不依賴受力分析而通過能量迅速得到簡諧振動的動力學方程，進而將體系的振動圓頻率和周期表示出來.

1 能量法導出振動周期

例1.半徑為R的半球形碗內(nèi)壁，一半徑為r(r

圖1 小球在碗內(nèi)做純滾動

解析: 因小球做純滾動，摩擦力不做功，因此整個運動過程中系統(tǒng)機械能守恒，即

式中vC、IC分別為小球的質心速度及對質心的轉動慣量，其中IC=mr2.上式化簡為

兩端對時間t求導，整理得

可見，能量法實際上是利用機械能守恒方程求導來得出振動周期，其優(yōu)點在于有效避免了繁雜的受力分析，為探討復雜情形的簡諧運動提供了一條捷徑.然而傳統(tǒng)的機械能守恒僅在慣性系下成立，因此非慣性系中的簡諧振動難以從機械能的角度進行解釋，也無法再沿用能量法來求解振動周期.這要求我們重新認識非慣性系中的能量問題.

2 非慣性系中的機械能守恒

非慣性系中即使僅存在保守力做功，系統(tǒng)的機械能也不守恒，其原因在于無法避免慣性力做功帶來的機械能變化.因此，不妨著眼于慣性力做功的特點進行探討.

設某參考系沿x軸方向以恒定加速度a=ai運動，在該參考系中運動的質點中受一慣性力F=-mai，與重力對比不難發(fā)現(xiàn)，慣性力同樣具備做功與路徑無關的特征，因而可以引入相應的慣性力勢能，形式上與重力勢能相同，即Ep*=max，x為該點到零勢能面的距離.

為慣性力引入相應的勢能后，并把該勢能計入系統(tǒng)的總機械能，這樣機械能守恒的形式在非慣性系便可繼續(xù)沿用.在上述兩種非慣性系中，若質點所受的力均為保守力，則系統(tǒng)機械能守恒，有

Ek+Ep+Ep*=恒量，

其中Ek、Ep、Ep*分別表示質點在系統(tǒng)中的動能、勢能和慣性力勢能.[3]這就為非慣性系中應用能量法求解諧振周期提供了可能.

3 能量法求解非慣性系簡諧運動周期

例2.如圖2所示，質量為m的物塊與一勁度系數(shù)為k的輕質彈簧連接，彈簧一端固定在傾角為θ的斜面上.斜面在外力作用下以水平向右的恒定加速度滑動，現(xiàn)將物塊從平衡位置拉開一小段距離后放手.證明此時物塊做簡諧振動，并求出振動周期.

圖2 勻加速斜面上的彈簧振子

解析： 取平衡位置為坐標原點與重力勢能、慣性力勢能零點，設該處彈簧形變量為l，沿斜面向下為x軸正方向.由系統(tǒng)能量守恒可知，振子在斜面任意位置處，均有

上式左端各項依次為振子動能、重力勢能、慣性力勢能及彈性勢能.將上式兩端對時間t求導，整理得

由于彈簧平衡處有mgsinθ+macosθ=kl，代入上式，整理可得

圖3 旋轉參考系下的復擺

解析： 振動僅發(fā)生在穩(wěn)定的平衡位置處，欲證明θ=0處小球可發(fā)生簡諧振動，需證明此處為小球的穩(wěn)定平衡處.取圓盤作為參考系，系統(tǒng)中勢能包括重力勢能與離心勢能.

取懸點O′作為重力勢能零點，θ=0處為離心勢能零點，則小球在任意角位置θ處，總勢能為

解得小球的平衡位置為

可見θ=0處確為小球的平衡位置，進而對其平衡穩(wěn)定性進行探討.

在θ=0附近小球做小幅度擺動時，系統(tǒng)總機械能守恒，即

左端各項依次為重力勢能、離心勢能及擺球動能.將上式兩端對時間t求導，整理得

其中I=ml2，因小幅度擺動，sinθ≈θ，cosθ≈1，代入得

例4.如圖4所示，圓盤繞通過中心O點的豎直軸在水平面內(nèi)以角速度ω勻速轉動，質量為m的小球被約束在圓盤上的光滑導軌AB內(nèi)運動.小球與一勁度系數(shù)為k的彈簧相連(k>mω2)，彈簧另一端固定在圓盤A點.彈簧原長時小球位于P點，OP=r0，且OP⊥AB.將小球沿導軌拉開一段距離后釋放.試證明小球做簡諧振動，并求出振動周期.[4]

圖4 勻速旋轉系統(tǒng)中的彈簧振子

解析： 取圓盤作為參考系，設小球相對圓盤的速度為v，系統(tǒng)總機械能記為E，將離心勢能計入系統(tǒng)總能量，則小球運動過程中系統(tǒng)機械能守恒.取圓盤中心為離心勢能零點，則物體在任意位置處均有

由圖4可知

r2=r02+y2.

代入上式得

則

兩邊對時間微分，其中常量r0微分結果為0，則有

兩邊除以2v得

4 小結

將慣性系中求解簡諧運動周期的能量法推廣到非慣性系中，利用機械能守恒方程對時間求一階導數(shù)，便可直接得出簡諧振動的動力學微分方程，有效避開了復雜問題情境中繁雜的受力分析.同時，為慣性力引入相應的勢能并找到非慣性系中的機械能守恒這一路徑蘊含了等效、守恒等物理學獨特的思維方法，其價值并不局限于解題，更在于鍛煉學生的物理思維，為落實科學素養(yǎng)的提升提供了可能.