從“術(shù)”至“道”
——一種實現(xiàn)學(xué)生問題解決能力躍升的路徑

江蘇省鹽城市日月路小學(xué) 周楊平

解決問題是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的目標(biāo)之一。這是傳統(tǒng)教育和現(xiàn)代教育相對一致的目標(biāo)?！稑?biāo)準(zhǔn)》明確要求學(xué)生經(jīng)歷解決問題的全過程，這對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力起著極其重要的作用，可以加深學(xué)生對知識的理解，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)，增強學(xué)生的創(chuàng)新能力，鍛煉學(xué)生的學(xué)習(xí)意志，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維等等。作為教者，必須有意識地讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，培育其解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、問題識別：捕捉問題信息

捕捉信息是學(xué)生解決問題的第一步，是解決問題的前提與基礎(chǔ)，對學(xué)生來說，它是一個漸進(jìn)、緩慢的過程，不可能一蹴而就。很多時候?qū)W生雖然掌握了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，但數(shù)學(xué)解決問題能力卻非常薄弱，一個重要的原因就是他們不能從紛繁復(fù)雜的問題信息中捕捉到有用的、有價值的信息，即使數(shù)學(xué)信息找出來了，但未能與所求問題建立起聯(lián)系。有時，問題中的信息是多元的、開放的，混雜著本質(zhì)和非本質(zhì)，有價值和無意義的。如何“第一時間”內(nèi)對問題進(jìn)行識別，有選擇地提取信息，從而靈活地運用信息解決問題呢？

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊《解決問題的策略》中有這樣的一道例題：“小明和爸爸帶300元去運動服飾商店購物，琳瑯滿目的商品擺在眼前（例題中以圖片出示），運動服①130元，運動服②148元，鞋①185元，鞋②105元，帽①16元，帽②24元，問買一套運動服（含鞋、帽），最少需要多少錢？題目中的信息可謂紛繁之極，卻又是現(xiàn)實生活中經(jīng)歷過的，怎么樣識別問題，選擇有用信息呢？需要老師引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，根據(jù)問題整理條件，問題中買一套運動服（含鞋、帽），最少需要多少錢？抓住“一套運動服（含鞋、帽）”思考需買哪些物品，抓住“最少”進(jìn)行思考，就要買便宜的，再去選擇需要的有價值的條件，進(jìn)而解決問題。在實際教學(xué)中相類似的問題有很多，教者可以根據(jù)具體問題采取這種“執(zhí)果索因”的方法進(jìn)行問題識別、信息選擇，也可以采用“由因?qū)Ч钡姆椒ㄟM(jìn)行類似的問題識別、信息選擇，“看到這些條件，你能想到什么？”當(dāng)學(xué)生能從看到的信息中進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)想時，解決問題的能力就能得到明顯提升。此時，學(xué)生看問題信息不再是盲目的“看”，而是“看”中夾雜著數(shù)學(xué)思維。這種“看”，我們不妨稱之為“視覺思維”。

問題識別、信息捕捉與選擇是學(xué)生解決問題的第一步，也是最基礎(chǔ)、最關(guān)鍵性的一步。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中不能主動地識別信息，學(xué)生的解決問題能力培養(yǎng)就會落空。對問題信息進(jìn)行識別、篩選，從而形成有價值的數(shù)學(xué)信息，這是培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的基礎(chǔ)。

二、問題純化：催生數(shù)學(xué)思考

要解決數(shù)學(xué)問題，很多時候僅通過對問題信息的識別是不能完成的，需要從數(shù)學(xué)的視角，運用數(shù)學(xué)眼光打量，在問題識別、信息選擇的基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，也就是說，用數(shù)學(xué)方式將問題揭示出來，敞亮出來。這一步就是荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說的“橫向數(shù)學(xué)化”過程?！皺M向數(shù)學(xué)化”是“數(shù)學(xué)化”最為重要的一步，是從學(xué)生的生活世界中的信息抽樣、提煉成數(shù)學(xué)信息過程。從某種意義上說，學(xué)生“數(shù)學(xué)化”能力是學(xué)生解決問題能力的重要標(biāo)識，是直觀數(shù)學(xué)走向抽象數(shù)學(xué)的重要一步。培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力，更需要對學(xué)生數(shù)學(xué)化能力進(jìn)行培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的“數(shù)學(xué)化”就是用數(shù)學(xué)語言及其他方式對問題進(jìn)行純數(shù)學(xué)化的表達(dá)與思考。

蘇教版六年級上冊的《百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題》，就有很多有“經(jīng)驗”的老師用模式化的方法指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，譬如找關(guān)鍵句、找單位“1”，確定單位“1”已知還是未知，進(jìn)而選擇用乘法還是除法計算。長期下來，學(xué)生的思路就會被模式化，學(xué)生解決問題的能力就會陷入絕境。筆者認(rèn)為，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，關(guān)鍵是對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)方面有意義的思考，而不是用所謂的“萬能方法”將學(xué)生解決問題引向死胡同。如這樣的問題：“一件商品，先降價10%，再提價10%，現(xiàn)價和原價相比發(fā)生了怎樣的變化？”學(xué)生用上面那種呆板的，模式化的問題解決的策略就顯得捉襟見肘了，原因很簡單，這里的單位“1”被隱藏起來了。因此，學(xué)生就要對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，即降價10%，是哪個價格的10%？提價10%，又是哪個價格的10%呢？等學(xué)生對問題進(jìn)行分析后，就可以根據(jù)此建構(gòu)數(shù)量關(guān)系。即“一件商品的原價×10%=降的價”“降價以后的價×10%=提的價”。

教者在數(shù)學(xué)實際教學(xué)中，只有啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，才能將學(xué)生從傳統(tǒng)教學(xué)模式中解放出來。這就是在鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)化的能力，這個過程需要教師從細(xì)節(jié)入手，多創(chuàng)造“有意味的形式”，不斷反復(fù)地訓(xùn)練，讓學(xué)生養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度看待問題、思考問題，就能有效地培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力。

三、問題解決：建構(gòu)數(shù)量關(guān)系

建構(gòu)數(shù)量關(guān)系是學(xué)生問題解決的關(guān)鍵，能否有效地、準(zhǔn)確地建構(gòu)數(shù)量關(guān)系，需要教者在學(xué)生獲取有用數(shù)學(xué)信息基礎(chǔ)上，引導(dǎo)其進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)思考、問題分析，起到最終解決問題的目的。事實上，從著名數(shù)學(xué)教育家G.H.波利亞開始，人們就對學(xué)生問題分析策略進(jìn)行研究，形成了一系列問題分析的方法，諸如列舉法、畫圖法、嘗試錯誤法、假設(shè)法、特立實驗法等等，這些問題分析方法，現(xiàn)在有很多已經(jīng)納入了教材。

蘇教版四年級下冊的《解決問題的策略——畫圖》一課就有這樣的內(nèi)容：“梅山小學(xué)有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？”教學(xué)中，教者就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題分析，通過畫圖的手段，讓學(xué)生清楚原來長方形的長和寬、增加部分的長和寬之間的聯(lián)系，再建構(gòu)數(shù)量關(guān)系，即增加的面積÷增加的長=原來長方形的寬，據(jù)此可以求出寬，問題迎刃而解。像這樣典型的問題分析能力，蘇教版三年級開始，每冊教材都安排了一種，即“解決問題的策略”。這些策略，對于發(fā)展學(xué)生的分析問題能力，積累學(xué)生解決問題的經(jīng)驗具有重要的意義和價值。當(dāng)學(xué)生用這些策略解決問題時，自然能建構(gòu)出問題中的數(shù)量關(guān)系，有效地解決問題。教師需在實際教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生掌握常用的分析問題方法，靈活地運用諸如分類法、歸納法、比較法、反證法等，以提高學(xué)生的解決問題能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的數(shù)學(xué)思維。這樣，當(dāng)學(xué)生遇到問題時，就能進(jìn)行積極的問題聯(lián)想、問題分析，從而解決問題。

學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)非一日之功，貫穿于學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程。一個問題的解決往往意味著另一個問題的開始，這是個循環(huán)往復(fù)的過程。作為教者，要引導(dǎo)學(xué)生識別問題，數(shù)學(xué)思考，分析問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思，學(xué)會應(yīng)用，學(xué)會發(fā)現(xiàn)，從而領(lǐng)略數(shù)學(xué)之“道”、數(shù)學(xué)之“趣”、數(shù)學(xué)之“美”。這可以簡單地理解成“魚”和“漁”的關(guān)系，更重要的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必經(jīng)邏輯與路徑。如何從基本之“術(shù)”，達(dá)到解決之“道”？如何從“學(xué)會”到“領(lǐng)會”？教師是平地到高樓的“引路人”，此岸到彼岸的“擺渡者”，任重而道遠(yuǎn)。