分類討論思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的培養(yǎng)

江蘇省泰州市姜堰區(qū)東橋中心小學(xué)鳳凰園校區(qū) 張文虎

長久以來，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如何在培養(yǎng)能力和熟練學(xué)習技巧之間掌握平衡，一直存在爭議。當下一些教師急于求成，正迎合一些家長望子成龍的心理，上課時不先按教學(xué)大綱進行常規(guī)的能力培養(yǎng)，反而利用數(shù)學(xué)科目本身題目難度彈性大的特點，給學(xué)生布置難題、怪題，讓學(xué)生在初步接觸新知識時就產(chǎn)生了巨大的心理壓力，長此以往，給學(xué)生留下了數(shù)學(xué)“雜、繁、難”的印象，甚至讓學(xué)生產(chǎn)生了厭學(xué)心理。其實對于數(shù)學(xué)而言，概念是最需掌握的基石，技巧貴在巧勁，但關(guān)鍵還在于思維方法。方法正確，解題就有方向。下文即是我對在課堂中培養(yǎng)分類討論這一思維的心得體會。

一、使學(xué)生明確分類討論思想的動機

在數(shù)學(xué)教學(xué)所需應(yīng)用的諸多思維中，分類討論相對比較基礎(chǔ)，也更能讓小學(xué)生接受、學(xué)習，但每一種思維的成型都需要培養(yǎng)。啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分類討論在生活中的實際作用，這樣的教學(xué)方案符合小學(xué)生數(shù)學(xué)教育在實際生活中的需要，情理上也更能讓學(xué)生迅速適應(yīng)、反復(fù)應(yīng)用這種思維。有時分類討論是出于計算的需要（如方程的計算），這類題目學(xué)生必然面臨分類的考究，并不會一下感到無所適從，而有時候分類討論則需要深入考究學(xué)生的思維能力（如排列順序），這類題目最宜啟發(fā)學(xué)生的分類討論思維，讓他們感受到分類討論是一種化復(fù)雜為簡單的思維辦法。

比如，小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個經(jīng)典案例——煎餅問題：一只平底鍋上只能煎兩只餅，用它煎一只餅需要兩分鐘（正面、反面各1 分鐘）。問煎三只餅需幾分鐘?怎樣煎？這個題目如果按生活常識來看，煎三只餅和煎四只餅可能所用時間是一樣的，也就是四分鐘（實際上大部分同學(xué)家里可能也是這么煎餅的）。但像這樣的優(yōu)化統(tǒng)籌問題，如果經(jīng)過分類討論，發(fā)現(xiàn)可以把第三個餅占用的時間拼接開，效率就可以獲得提高，只需要三分鐘就可以煎好三個餅。這類題目充滿極強的新穎性，打破了同學(xué)們的常規(guī)常識，在班級間迅速引起了討論。正逢當時的數(shù)學(xué)廣角需要學(xué)習很多的優(yōu)化統(tǒng)籌問題，類似于做家務(wù)、種樹等，同學(xué)們漸漸明白了分類討論的作用，也開始能接受、應(yīng)用這種意識了。

二、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)分類討論思想的步驟

不僅要引導(dǎo)學(xué)生接受分類討論，更要鍛煉他們總結(jié)出這一思維的分析步驟。通俗來講，要進行正確的分類討論，首先離不開正確的討論對象和正確的研究全域，這也是我們首先需要討論的內(nèi)容。根據(jù)題意得出適用的討論范圍，才能開展下一步。其次是要對討論的問題進行合理的分類，這一部分需要注意不重復(fù)、不遺漏、標準統(tǒng)一、分層不越級等。接下來就需要對各項問題進行詳細討論，分層解決。這一部分的引導(dǎo)需要輔助以大量的習題，歸納總結(jié)，互相對比，才能總結(jié)出相應(yīng)的步驟。但大部分時候，這些步驟也只是輔助思維方式的形成，學(xué)生能大致有意識地重復(fù)這些過程即可，無需照本宣科。

比如，在學(xué)習圖形概念時，為了增強同學(xué)們的圖形認識能力，我經(jīng)常自己出一些題目，考查大家對圖形的了解程度。有一次我提出讓大家畫一個帶有30°角的不同三角形，要求種類越多越好，分類盡可能詳細。大部分同學(xué)簡單將它們分成了普通三角形、銳角三角形、帶有30°角的直角三角形、等腰三角形和鈍角三角形。這樣的分類結(jié)果讓人哭笑不得，可以看出，他們的分類方法是按銳角、直角、鈍角來劃分（其中還包括了兩個相等角的情況）。但是我提示，三角形三角之和只有180°（確定研究全域），建議他們除已知的30°外，選定一個角的情況開始進行討論。這一次大家的歸納就比較完全，已經(jīng)可以把普通三角形和等腰三角形重新歸納到其他幾種三角形之中。三四次的導(dǎo)入啟發(fā)后，同學(xué)們對分類的認識越來越深入，已經(jīng)形成了先劃定范圍再討論的思維習慣。

三、鼓勵學(xué)生總結(jié)分類討論思想的適用范圍

一些同學(xué)一旦掌握了分類討論的技巧，思維便縝密起來，甚至有時過于鉆牛角尖。市場上面向兒童的一些腦筋急轉(zhuǎn)彎圖書，過分討論一些不可能或不符合情理的情況，很多同學(xué)看完這些書，反而對分類討論產(chǎn)生了錯誤的理解和印象。其實并不是所有的題目都需要分類討論，當題意表達明確、概念唯一、圖文并存（圖形位置清晰），在計算方法上也只有一種思路時，過度的分類討論是不需要的。在解答或者應(yīng)試中，只有正確處理哪些情況需要分類討論，提高解題效率，才能達到事半功倍的效果，否則很多時候過于看重分類討論思想，學(xué)生的解答大部分在做無用功。

比如，當我在班上講解質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念時，有些習題要求寫出一百以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，有些同學(xué)自己總結(jié)出一套分類討論法，先從一至十的情況開始，挨個把每個數(shù)字帶入進去思考，這樣分了十組，效率差強人意，雖然這種方法確實是可行的，但卻沒有掌握質(zhì)數(shù)的真正內(nèi)涵和題目的潛在要求。實際上，學(xué)生應(yīng)先考慮清楚一到十的質(zhì)數(shù)，大于十而不是這些質(zhì)數(shù)倍數(shù)的奇數(shù)，絕對是質(zhì)數(shù)，而不需要依次分類討論。何況這樣的分類討論無異于從一數(shù)到一百，并沒有討論的價值。經(jīng)過多次矯正指導(dǎo)后，大部分同學(xué)改掉了“萬物皆可分類討論”的定式，而只將其作為一種普通方法去使用。

綜上所述，分類討論對小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的不斷培養(yǎng)是一個循序漸進的過程。這種教育方法對學(xué)生的教育作用潛移默化，伴隨著學(xué)生邏輯能力的提高，同學(xué)們在未來學(xué)習的各個時期都能合理應(yīng)用這種能力。與此相似的適用教學(xué)方法還有很多，我們教師應(yīng)當不斷深入探索，提升教育質(zhì)量。