混合隔震耗能結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi譜的響應(yīng)簡明解析解

王善庫 葛新廣 李 鋼 趙立菊

（1.信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程學(xué)院，信陽46400；2.廣西科技大學(xué)土木建筑學(xué)院，柳州545006）

0 引 言

隔震結(jié)構(gòu)是一種抗震控制措施，最早由日本學(xué)者在 19 世紀(jì) 80 年代提出［1］，經(jīng)歷一百多年的發(fā)展，是成功應(yīng)用于實(shí)際工程中的少數(shù)結(jié)構(gòu)減震控制措施之一［2-4］。隔震結(jié)構(gòu)是利用抗側(cè)剛度較小的隔震層將結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)或下部結(jié)構(gòu)隔離開來，可有效降低地震能量向結(jié)構(gòu)物的傳遞，從而提高了結(jié)構(gòu)地震的安全性和舒適感，減少了非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的破壞，具有造價(jià)低、施工方便的特點(diǎn)，在各種結(jié)構(gòu)中都得到了廣泛的應(yīng)用［5-7］。根據(jù)隔震層設(shè)置位置的不同，因?yàn)橛址譃榛赘粽穑?-9］和層間隔震［10］兩類。由于隔震結(jié)構(gòu)具有顯著的減震性能，一直受到廣大科研人員和工程師的青睞。

然而，隔震層抗側(cè)剛度小，其導(dǎo)致隔震層以上結(jié)構(gòu)部分的剛性側(cè)移較大，可能會(huì)與鄰近建筑發(fā)生碰撞，為此，需要對(duì)隔震層設(shè)置限位裝置。熊仲明等［11］利用摩擦墊既耗能又限位的特點(diǎn)，研究了其基于反應(yīng)譜型地震激勵(lì)下的隔震結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)響應(yīng)。展猛等［12］研究了以軟鋼圓錐棒為新型限位耗能裝置在時(shí)程激勵(lì)下的響應(yīng)，并考慮了限位器非線性的特點(diǎn)。黏彈性阻尼器具有安拆方便、耗能效果好等優(yōu)點(diǎn)，而被廣泛采用［13-14］。隔震層+抗側(cè)粘彈性阻尼器組成混合耗能減震結(jié)構(gòu)，可為隔振層提供合適側(cè)向變形空間同時(shí)充分利用黏彈性阻尼器變形大則耗能大的特點(diǎn)，可產(chǎn)生復(fù)合的減震效果，目前此類文獻(xiàn)較少。

地震動(dòng)是一種隨機(jī)激勵(lì)，已在工程界成為共識(shí)，自 1947 年 Housener［15］提出白噪聲激勵(lì)以來，各種隨機(jī)激勵(lì)模型被發(fā)明用來模擬地震動(dòng)，如Kanai-Tajimi 譜［16-17］、Clough-Penzien 譜［18］、歐進(jìn)萍譜［19］等，其中Kanai-Tajimi譜利用二階微分方程作為濾波方程開創(chuàng)了利用微分方程表述隨機(jī)地震動(dòng)激勵(lì)的先河，而 Clough-Penzien 譜［18］、歐進(jìn)萍譜［19］等均是對(duì)Kanai-Tajimi 的改進(jìn)，為此研究基于Kanai-Tajimi 譜地震動(dòng)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)是研究基于其他地震動(dòng)激勵(lì)下的基礎(chǔ)。周福霖等［20］利用狀態(tài)方程法，研究了層間隔震結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi地震的響應(yīng)問題；鄒萬杰［21］利用傳遞函數(shù)法研究了帶支撐的Maxwell 阻尼器多層隔振結(jié)構(gòu)的基于Kanai-Tajimi地震動(dòng)響應(yīng)分析；李創(chuàng)第等［14］利用傳遞函數(shù)法研究了積分型黏彈性耗能減震結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi地震動(dòng)響應(yīng)分析；以上這些分析僅獲得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，且表達(dá)式比較復(fù)雜，且未給出譜矩分析。

基于Kanai-Tajimi譜下的地震動(dòng)位移、速度及其譜矩分析的傳統(tǒng)方法存在表達(dá)式復(fù)雜的窘?jīng)r，本文提出了一種簡明解析解法。首先利用達(dá)朗伯原理，獲得單自由度混合隔震結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)方程，并運(yùn)用其基于白噪聲的二階微分方程來表述Kanai-Tajimi譜，將兩者聯(lián)立成運(yùn)動(dòng)方程組。利用復(fù)模態(tài)方法將混合隔震體系的響應(yīng)化為基于白噪聲激勵(lì)下的響應(yīng)。運(yùn)用白噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的簡明特點(diǎn)，獲得混合隔震各種響應(yīng)的簡明解析解，基于Wiener-Khinchin 定律，得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜簡明表達(dá)式，最后獲得可靠度分析的0～2 階譜矩的簡明解析解。

1 混合耗能體系的運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)置Maxwell 型黏彈性阻尼器側(cè)向支撐的單自由度隔震混合耗能結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)層質(zhì)量、剛度、阻尼分別為m、k、c；隔震層的質(zhì)量、剛度、阻尼分別為mb、cb、kb；布置如圖 1 所示，根據(jù)達(dá)朗伯原理，在地震動(dòng)作用下運(yùn)動(dòng)方程：

圖1 計(jì)算簡圖Fig.1 Caculating diagram of dynamic system

隔震層：

結(jié)構(gòu)層：

Maxwell黏彈性阻尼器［22］：

基巖運(yùn)動(dòng)為白噪聲隨機(jī)激勵(lì)，具有均值為零，其協(xié)方差可表示：

式中：S0為地震動(dòng)強(qiáng)度常數(shù)；δ(τ)為Dirac函數(shù)。

地面的運(yùn)動(dòng)絕對(duì)加速度與地面相對(duì)于基巖、基巖絕對(duì)加速度存在如下關(guān)系：

引入狀態(tài)變量：

則式（1）-式（4）用矩陣形式表示為

式中：

式中，［·］T表示矩陣轉(zhuǎn)置。

由式（8）可知，基于Kainai-Tajimi 激勵(lì)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)化為白噪聲激勵(lì)下的響應(yīng)分析，可利用白噪聲激勵(lì)的簡明特點(diǎn)獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的簡明解。由于式（8）為一階微分方程，屬于狀態(tài)方程形式，故采用復(fù)模態(tài)方法進(jìn)行求解。

2 混合耗能體系響應(yīng)的解析表達(dá)式

由復(fù)模態(tài)法理論［23］可知，式（8）存在左、右特性向量矩陣U、V和特征值矩陣P，滿足關(guān)系式：

其中，特征值矩陣P為對(duì)角陣，其由式（8）的特征值方程決定：

左、右特性向量矩陣U、V的求解方法如下：

式中，U、V均為7階矩陣。

為使方程式（8）解耦，引入復(fù)模態(tài)變量：

式中，Z為廣義變量。

把式（13）帶入式（8）：

式（14）左乘左特征向量VT：

由復(fù)模態(tài)理論及式（8），式（15）改寫為：

式中，γ為復(fù)模態(tài)陣型強(qiáng)度系數(shù)向量，其表達(dá)式：

式（16）的分量表達(dá)式：

式中，zj、γj、pj分別為Z、γ、P的分量。

式（18）的杜哈梅形式解：

由式（7）及式（18），混合耗能體系結(jié)構(gòu)響應(yīng)的杜哈梅形式解：

式中：yi表示式（7）中第i個(gè)響應(yīng)分量；Ui為右特征向量矩陣的第i行向量；λi，j=Ui，j*γj，Ui，j為右特征向量矩陣的第i行、j列元素。

由隨機(jī)振動(dòng)理論，混合耗能體系某一響應(yīng)的協(xié)方差：

把式（5）代入式（21）：

利用Dirac 的函數(shù)性質(zhì)，式（22）積分后改寫為

對(duì)式（23）運(yùn)用積分：

由式（24）可知，混合耗能體系基于Kanai-Tajimi 譜響應(yīng)的協(xié)方差可用結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征值函數(shù)的線性組合表示，簡潔明了。

當(dāng)τ=0 時(shí)，混合耗能結(jié)構(gòu)某一響應(yīng)的協(xié)方差即為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差，由式（7）可知，

同理，隔振層的位移及速度的方差：

阻尼器阻尼力的方差：

由式（25）-式（29），混合耗能減震結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi 譜的響應(yīng)方差可表示為結(jié)構(gòu)各復(fù)模態(tài)強(qiáng)度振子與振動(dòng)頻率特征值的簡單組合。

3 混合耗能體系響應(yīng)的譜矩分析

由隨機(jī)振動(dòng)理論，可知單邊功率譜與協(xié)方差存在Wiener-Khinchin關(guān)系［23］：

把式（24）代入式（30）：

式（31）進(jìn)行積分后整理為

由譜矩的定義，結(jié)構(gòu)響應(yīng)S的譜矩可表示為：

由文獻(xiàn)，結(jié)構(gòu)位移和隔震層位移的0階和2階譜矩與方差的關(guān)系：

結(jié)構(gòu)位移和隔震層1 階譜矩的計(jì)算，把式（24）代入式（33）并令j=1：

對(duì)式（38）、式（39）進(jìn)行積分

由于pk遠(yuǎn)小于∞，故式（40）變?yōu)?/p>

由于2 階譜矩存在，則1 階矩肯定存在，根據(jù)文獻(xiàn)［23］可知，

故結(jié)構(gòu)位移和隔震層的位移1階譜矩為

至此，式（34）、式（35）及式（43）為結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的0～2階譜矩；式（36）、式（37）及式（44）為隔震層位移響應(yīng)的0～2階譜矩。

4 算 例

單層建筑結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)層質(zhì)量400 t，結(jié)構(gòu)層剛度為400×103kN/m，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.05。地震烈度為8 度，三類場，根據(jù)文獻(xiàn)［19］，譜強(qiáng)度因子S0=111.34 cm2/s-3。

Kanai-Tajimi 譜的場地參數(shù)：特征頻率15.71 rad/s、場地阻尼比0.72。隔振層質(zhì)量mb=450 t，kb=20×103kN/m，阻尼比 0.1。Maxwell 黏彈性阻尼器的參數(shù)為τ=0.1s；CV=15×103kN·s/m。

4.1 本文方法驗(yàn)證

Kanai-Tajimi作為地震動(dòng)激勵(lì)，其的功率譜不受結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，而本文方法中，式（7）將地面運(yùn)動(dòng)ug作為耗能結(jié)構(gòu)的未知參量進(jìn)行求解，為此本文方法同樣可以給出了地面運(yùn)動(dòng)的功率譜的新解，將其與Kanai-Tajimi譜的傳統(tǒng)功率譜表達(dá)式進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文方法的正確性。

由式（4）、式（6）可知：

由式（7）及（18），則式（45）改寫為

表 1 模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)Table 1 Modal strength coefficient of

表 1 模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)Table 1 Modal strength coefficient of

模態(tài)編號(hào)振動(dòng)特征值x¨ g 強(qiáng)度系數(shù)-λ i，j 0 0 0-11.311 2-0.416 5i-11.311 2+0.416 5i 1 2 3 4 5 6 7復(fù)參數(shù)p-1.202711-4.264 935-12.619 66i-4.264 935+12.619 66i-11.311 2-10.902 33i-11.311 2+10.902 33i-3.786 972-45.477 34i-3.786 972+45.477 34i等效頻率1.202 711 13.320 87 13.320 87 15.71 15.71 45.634 74 45.634 74等效阻尼比1 0.320 169 5 0.320 169 5 0.72 0.72 0.082 984 4 0.082 984 4 0 0

表1 中，等效頻率為|p|、等效阻尼比為p的實(shí)部的絕對(duì)值與|p|的比值。模態(tài)4和模態(tài)5的等效頻率和等效阻尼比均與Kanai-Tajimi 譜的場地振動(dòng)參數(shù)相同，從式（4）的場地濾波方程可知，該方程是解耦的。同時(shí)強(qiáng)度系數(shù)僅模態(tài)4 和模態(tài)5為非零，說明結(jié)構(gòu)的參數(shù)對(duì)場地加速度沒有影響，從物理意義上說明本文方法的正確性。

由本文方法得到地面加速度的功率譜為

根據(jù)式（47）、式（48）分別繪兩種方法的功率對(duì)比圖，如圖2所示。

圖 2 對(duì)比圖Fig.2 Comparative diagram of

從圖2 可知，本文方法與傳統(tǒng)方法的功率譜完全一致，說明本文方法的正確性，但本文方法比較簡潔，且容易獲得譜矩的解析解，為動(dòng)力可靠度分析提供了新途徑。

4.2 結(jié)構(gòu)位移、隔震層位移的譜矩及均方差

利用式（34）-式（37）、式（43）-式（44），可獲得結(jié)構(gòu)位移、隔震層位移的0～2階譜矩及均方差，見表2。

從表2，可知ψ列的數(shù)值相對(duì)于一階譜矩的計(jì)算結(jié)果小很多，且為復(fù)數(shù)值，λl，k、pk是共軛性特征，可知其結(jié)果應(yīng)該為實(shí)數(shù)，為此，說明Π列的值僅為計(jì)算誤差，并由此可以判斷式（42）的假定是正確的，1階譜矩的計(jì)算方法正確。由于在隔震層施加了橫向的Maxwell 阻尼器，隔振層的位移為10.6 mm，結(jié)構(gòu)層的位移為11.4 mm；而不設(shè)Maxwell阻尼器時(shí)的隔振層的橫向位移為46.7 mm，結(jié)構(gòu)層位移為48.22 mm。因此設(shè)置Maxwell 阻尼器可有效減少隔震層的橫向變形。

表2 結(jié)構(gòu)位移、隔震層位移譜矩及均方差Table 2 Spectrum moments and variance of displacement response for structural layer and isolating layer

5 結(jié) 論

本文就隔震混合耗能結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)、譜矩分析方法復(fù)雜問題，提出了新的簡明解法，結(jié)論如下：

（1）運(yùn)用Kanai-Tajimi 隨機(jī)地震動(dòng)的濾波方程，混合耗能隔震耗能減震將基于Kanai-Tajimi隨機(jī)地震動(dòng)激勵(lì)下的響應(yīng)轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵(lì)的地震動(dòng)，基于復(fù)模態(tài)法中指數(shù)運(yùn)算及白噪聲簡明的特點(diǎn)，獲得耗能體系的響應(yīng)、譜矩的簡明解析解。

（2）對(duì)于隔震結(jié)構(gòu)橫向設(shè)置Maxwell 阻尼器可有效減少隔震結(jié)構(gòu)的水平方向位移，有效提高結(jié)構(gòu)的抗震性能。

（3）本文方法為CQC 方法，所獲協(xié)方差、響應(yīng)、0～2 階譜矩均具有解析表達(dá)式，可用于動(dòng)力可靠度分析，并能有效提高計(jì)算效率。