巧借幾何直觀，助力分?jǐn)?shù)理解
——以《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》教學(xué)為例

吉林省長(zhǎng)春市第一實(shí)驗(yàn)銀河小學(xué) 趙 硯

學(xué)生正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)以前，已經(jīng)建立了對(duì)“平均分”概念的理解，二年級(jí)時(shí)他們學(xué)習(xí)了除法的含義，在實(shí)際情境中能夠?qū)?shí)物平均分，用數(shù)量描述每一份的大小，同時(shí)“二分之一”“三分之一”等詞語(yǔ)已經(jīng)出現(xiàn)在他們的口頭語(yǔ)言中。此時(shí)，分?jǐn)?shù)概念教學(xué)需要從過(guò)程與對(duì)象兩個(gè)方面來(lái)實(shí)施和把握，既要經(jīng)歷分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過(guò)程，同時(shí)也需引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)到分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征，從基礎(chǔ)到提升，借助圖形分割，抽象概念內(nèi)涵，進(jìn)而豐富對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

一、對(duì)比引新，初步感知二分之一

1.感悟“1”是自然數(shù)的單位

教師課件出示5 支鉛筆，6 個(gè)風(fēng)箏，4 個(gè)蛋糕，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)看到哪些數(shù)量，把看到的數(shù)量數(shù)出來(lái)，并用數(shù)表示出來(lái)。在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)中，“1”是自然數(shù)的單位，生活中的數(shù)量常常是“1”的累加，是一個(gè)一個(gè)數(shù)出來(lái)的數(shù)量，計(jì)數(shù)單位是“1 個(gè)”“1 支”這樣的量。這一環(huán)節(jié)意在凸顯計(jì)數(shù)單位是計(jì)數(shù)的基礎(chǔ)，也為分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生埋下矛盾沖突的伏筆。

2.引入二分之一

教師出示一張紙條，學(xué)生表示“一張”可以用自然數(shù)“1”來(lái)表示。隨即教師出示一張黃色的紙條，放在白色紙條之上，占據(jù)白色紙條的一半，并提出問(wèn)題如果白色紙條用“1”表示，黃色紙條可以怎樣表示呢？在此制造矛盾沖突，“一張”的量已經(jīng)確定，用“1”表示數(shù)量，那么不足一張?jiān)鯓颖硎?？這樣的一部分當(dāng)然不能用自然數(shù)來(lái)表示了，需要引入一種新的數(shù)，激發(fā)學(xué)生的探索欲望。

根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)不能用“1”表示的部分可以用語(yǔ)言形容其大小，那就出現(xiàn)了“一半”的描述；在交流中曾經(jīng)用“二分之一”“0.5”描述“一半”，這樣也就出現(xiàn)了這兩種表示的方法。從大小的描述上說(shuō)可以相互轉(zhuǎn)化，從含義的理解上說(shuō)可以相互支撐。用“一半”“0.5”描述的數(shù)就是“二分之一”，“二分之一”表示的也就是“一半”的大小。由此確定，我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)和研究的是能用“二分之一”表示的部分。

二、直觀感知，探究二分之一的本質(zhì)

1.自主創(chuàng)造，感悟特征

假如黃色部分表示這張紙條的二分之一，也就表示這張紙條的“一半”，由此請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立畫(huà)一個(gè)圖形，憑借自己對(duì)二分之一的理解，用陰影表示出這個(gè)圖形的二分之一。此時(shí)學(xué)生對(duì)于“二分之一”只建立了一些感知經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“二分之一”有了比較淺顯的了解。而了解有多少？了解是否正確？這些都需要學(xué)生用直觀的形式把思考的結(jié)果表征出來(lái)，正是這些表征，可以讓教師看清學(xué)生的理解狀態(tài)。

2.借助素材，提取本質(zhì)

教師在巡視過(guò)程中找到一些有代表性的作品，一是規(guī)則圖形中的二分之一；二是沒(méi)有平均分成兩份的作品；三是并非十分準(zhǔn)確的平均分作品；四是不規(guī)則圖形的平均分作品。

教師提出要求：仔細(xì)觀察，想一想這些圖形的陰影部分都可以用二分之一來(lái)表示嗎？如果不能請(qǐng)說(shuō)說(shuō)其中的道理。學(xué)生表征“二分之一”的標(biāo)準(zhǔn)是平均分，大小不同的兩份是不可以用“一半”描述的，“二分之一”與“一半”此時(shí)意義相同。借助直觀的圖畫(huà)，在判斷、反思、辨析中學(xué)生提取了“二分之一”的本質(zhì)特征，深化對(duì)“二分之一”的理解，也為其他分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生做好鋪墊。

3.對(duì)比分析，深化本質(zhì)

教師分發(fā)給學(xué)生不同的圖形，要求用陰影表示出這些圖形的二分之一。教師巡視，將作品分類貼至黑板。由于分法不同，同樣是正方形的二分之一，形狀會(huì)因分法不同而有所區(qū)別。把同一個(gè)圖形的多種分法貼到黑板上，將相同圖形的二分之一對(duì)比，再一次深化對(duì)二分之一的理解。分法不同，但都是把正方形平均分成兩份，都表示出了其中的一份。學(xué)生進(jìn)而思考每個(gè)圖形的二分之一的由來(lái)，辨析形狀不同但都能表示這個(gè)圖形的二分之一的原因。

本環(huán)節(jié)借助學(xué)生的圖畫(huà)作為素材，對(duì)不同作品的分析、對(duì)比過(guò)程中抽取二分之一共同的、本質(zhì)的特征，從而抽象用二分之一描述大小的本質(zhì)含義。利用直觀創(chuàng)作，將學(xué)生思考的過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，不僅看到了理解狀態(tài)，還看到了理解中的誤區(qū)。更為重要的是，多種素材豐富了學(xué)生對(duì)二分之一的理解，也為辨析與對(duì)比提供了支撐，有效完成了對(duì)二分之一本質(zhì)的理解。

三、自主操作，構(gòu)建幾分之一的理解

1.折、涂幾分之一

在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)明確黃色部分是這張紙條的二分之一，學(xué)生理解二分之一的本質(zhì)含義。本環(huán)節(jié)從對(duì)二分之一的理解遷移到幾分之一的理解上。提出要求：黃色部分是這張紙條的二分之一，想一想，你還能找到這張紙條的幾分之一？動(dòng)手折一折畫(huà)一畫(huà)。學(xué)生將對(duì)二分之一的本質(zhì)理解遷移到對(duì)幾分之一的理解上，將紙條平均分成了四份、六份、七份、八份……從作品中能夠看出學(xué)生將平均分應(yīng)用在每一個(gè)分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生上，深刻理解平均分是產(chǎn)生分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)。教師巡視，把學(xué)生出現(xiàn)的各種不同素材貼至黑板，每個(gè)幾分之一都已經(jīng)用陰影表示出來(lái)。不同的作品再一次豐富了幾分之一的表象，對(duì)于不同分?jǐn)?shù)的形成做了有效的直觀支撐。

2.初步感知分?jǐn)?shù)單位

教師要求學(xué)生從作品中讀取分?jǐn)?shù)，也就是從這些作品中看出了幾分之一。學(xué)生表示：“看出了四分之一，平均分成四份，其中一份就是四分之一……”從這里能夠看到學(xué)生在獨(dú)立創(chuàng)作中展示了對(duì)幾分之一的認(rèn)知，在辨析時(shí)也在利用認(rèn)知解釋黑板上不同的幾分之一，是用本質(zhì)進(jìn)行判斷，同時(shí)也將表象納入知識(shí)體系中，是豐富分?jǐn)?shù)體系的過(guò)程。

3.直觀感知分?jǐn)?shù)單位的大小

結(jié)合學(xué)生的回答教師有意將作品按分?jǐn)?shù)單位由大到小豎向擺放。引導(dǎo)學(xué)生縱向觀察，說(shuō)說(shuō)自己的發(fā)現(xiàn)。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：平均分成幾份，都表示出了其中的一份就是幾分之一；平均分的份數(shù)越多，1 份就越小。

本節(jié)課是分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，比較分?jǐn)?shù)的大小不是本節(jié)課的內(nèi)容，此環(huán)節(jié)的目的：一是感知不同的分?jǐn)?shù)單位，而是可以為比較大小提供鋪墊，讓學(xué)生直觀看到分?jǐn)?shù)單位的大小。

四、在“數(shù)”中構(gòu)建幾分之幾的理解

1.體會(huì)分?jǐn)?shù)單位的累加，感受幾分之幾的產(chǎn)生

幾分之幾的產(chǎn)生源于不同分?jǐn)?shù)單位的累加。教師演示用陰影再涂出一份四分之一，請(qǐng)學(xué)生思考此時(shí)用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示陰影部分，并說(shuō)出用這個(gè)分?jǐn)?shù)表示的理由。學(xué)生借助了數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)是由分?jǐn)?shù)單位組成的，數(shù)出幾個(gè)單位，數(shù)也就形成了，與之前不同的是此時(shí)數(shù)的是幾個(gè)四分之一，數(shù)的單位發(fā)生了變化，由原來(lái)的“1”變成了“四分之一”，單位變了，數(shù)的方式不變。

2.操作中加深對(duì)分?jǐn)?shù)單位累加的理解

在教師演示的基礎(chǔ)上提出要求，像老師這樣，涂一涂找到幾分之幾，并說(shuō)一說(shuō)理由。例如，涂出3 個(gè)八分之一，就是八分之三……由于構(gòu)成分?jǐn)?shù)的單位不同，形成的分?jǐn)?shù)也就不同。在學(xué)生涂出幾分之幾的過(guò)程中，請(qǐng)其他學(xué)生猜測(cè)涂出的是哪個(gè)分?jǐn)?shù)，學(xué)生說(shuō)出的都是利用相同分?jǐn)?shù)單位形成的分?jǐn)?shù)，從而引導(dǎo)學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)就是由不同分?jǐn)?shù)單位組合而成，是不同分?jǐn)?shù)單位累加而形成的數(shù)。

教師將大小不同的幾分之幾呈現(xiàn)于黑板上，意在體現(xiàn)出“1”以內(nèi)不同大小的部分都可以用分?jǐn)?shù)表示，任意大小的部分，只要找到適合的分?jǐn)?shù)單位，就都可以用分?jǐn)?shù)表示。

3.體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的測(cè)量?jī)r(jià)值

教師出示一張三分之二大小的藍(lán)色紙條，要求用分?jǐn)?shù)表示其大小。要想用分?jǐn)?shù)表示，首先要找到適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)單位，也就是將表示“1”的整張紙條進(jìn)行平均分，并找到藍(lán)色部分占據(jù)的是幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位。通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)可以用三分之二、六分之四、十二分之八等分?jǐn)?shù)表示其大小。分?jǐn)?shù)單位不同，其單位個(gè)數(shù)也不相同。

五、全課小結(jié)，分享收獲

以前用自然數(shù)來(lái)表示物體的數(shù)量，自然數(shù)是1 個(gè)1 個(gè)數(shù)出來(lái)的，是1 的累加。學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)知道物體的數(shù)量也可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。當(dāng)不足1 個(gè)時(shí)，需要把“1”平均分成若干份，這個(gè)部分可以用幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位表示其大小，這也就構(gòu)成了分?jǐn)?shù)。