剛性擋墻位移土壓力的數(shù)學(xué)擬合公式研究綜述

張常光 單冶鵬 高本賢 吳凱

摘 要：在研究土壓力與擋墻位移關(guān)系時(shí)，可采用數(shù)學(xué)擬合方法表征土壓力隨擋墻位移的變化規(guī)律。數(shù)學(xué)擬合方法常以靜止土壓力、主/被動(dòng)土壓力為基礎(chǔ)，通過構(gòu)造數(shù)學(xué)函數(shù)來描述擋墻位移土壓力，但所采用的數(shù)學(xué)函數(shù)形式各不相同。將擋墻位移土壓力的數(shù)學(xué)擬合公式按函數(shù)形式分為：三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、雙曲線函數(shù)、冪函數(shù)、S型函數(shù)以及其他函數(shù)等6大類，總結(jié)了位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式的特點(diǎn)與不足，并指出需進(jìn)一步研究的方向。結(jié)果表明：數(shù)學(xué)擬合公式的主要差異在于函數(shù)形式選擇和待定參數(shù)及取值不同，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)擬合公式的多樣性與研究的廣泛性。合理實(shí)用的位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式需具備3方面特征：邊界條件與初值滿足、參數(shù)含義明確以及能反映擋墻與土體之間的相互作用。在試驗(yàn)方面，應(yīng)持續(xù)對(duì)擋墻不同位移模式開展針對(duì)性研究，并進(jìn)行黏性土、非飽和土、濕陷性黃土、膨脹土等的土壓力試驗(yàn);在理論計(jì)算方面，應(yīng)加強(qiáng)位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式間對(duì)比分析，探究各自的合理性及適用性，揭示土壓力與擋墻位移關(guān)系的內(nèi)在機(jī)理。拓展對(duì)非飽和土擋墻的位移土壓力研究，完善參數(shù)選擇、模型驗(yàn)證，以加快工程應(yīng)用進(jìn)程。

關(guān)鍵詞：擋墻位移;位移土壓力;數(shù)學(xué)擬合公式;位移模式;非飽和土

中圖分類號(hào)：TU432 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：R 文章編號(hào)：2096-6717（2020）06-0019-12

Abstract： Variation laws of earth pressure accounting for the displacement of a retaining wall can be well described by mathematical fitting， which is usually based on the earth pressure at rest or the active and passive earth pressures to illustrate the displacement-earth pressure of retaining walls through constructing various mathematical functions. This study subdivides displacement-dependent earth pressure formulations into six categories according to different functional forms， including trigonometric， exponential， hyperbolic， power， sigmoid and other functions. Characteristics and deficiencies of displacement-dependent earth pressure formulations are summarized， and future researches are provided. The findings of this study show that main differences of mathematical fitting are attributed to determination of function forms as well as undetermined parameters as well as their magnitudes， which results in the uncertainty of mathematical fitting and the generallity of research. A reasonable and practical mathematical fitting function has three features： boundary condition and initial value satisfied， parameters with clear meaning and representing the interaction between a retaining wall and soils. In terms of test studies， it is necessary to perform targeted research on different movement modes of a retaining wall， and model tests of earth pressure are conducted on clay， unsaturated soil， collapsible loess， expansive soil， among others. In terms of theoretical calculations， displacement-dependent earth pressure formulations using different mathematical fitting functions are compared to explore their rationality and applicability as well as to reveal intrinsic mechanisms between earth pressure of a retaining wall and its displacement. Displacement-dependent earth pressure of a retaining wall in unsaturated soil needs to be paid more attention. The choice and measurement of different parameters are improved and validated by model tests in order to accelerate the process of engineering applications for mathematical fitting functions.

Keywords：displacement of retaining walls; displacement-dependent earth pressure; mathematical fitting; movement mode; unsaturated soil

土壓力大小及其分布在擋墻和地下設(shè)施設(shè)計(jì)中占有十分重要的地位，Coulomb、Rankine基于擋墻平移極限狀態(tài)建立了土壓力公式并形成兩類經(jīng)典極限土壓力理論，文獻(xiàn)[1-4]對(duì)經(jīng)典極限土壓力理論進(jìn)行了擴(kuò)展研究。經(jīng)典極限土壓力的形式簡單、物理意義明確，至今仍被廣泛應(yīng)用。但要達(dá)到極限土壓力的狀態(tài)，所對(duì)應(yīng)的擋墻位移多數(shù)超過實(shí)際設(shè)計(jì)允許位移，特別是對(duì)于被動(dòng)狀態(tài)，土壓力的極限平衡狀態(tài)往往不會(huì)出現(xiàn)。因此，經(jīng)典極限土壓力理論不能反映土壓力隨擋墻位移變化的中間性態(tài)，有必要研究土壓力的整個(gè)變化過程以及擋墻位移效應(yīng)的影響。

土壓力是土體與擋墻相互作用的結(jié)果，不僅與土體性質(zhì)、擋墻高度、擋墻剛度、時(shí)間效應(yīng)等有關(guān)，還與擋墻的位移有著密切關(guān)聯(lián)，這些因素對(duì)土壓力的影響程度各不相同，不現(xiàn)實(shí)也沒必要把所有影響因素一起考慮，筆者將重點(diǎn)探討剛性擋墻位移對(duì)某點(diǎn)處土壓力的影響。文獻(xiàn)[5-11]的土壓力模型試驗(yàn)結(jié)果均表明：擋墻位移效應(yīng)（包括位移狀態(tài)、位移模式和位移大?。?duì)土壓力的影響顯著，且不同位移模式下土壓力沿深度均為非線性分布。

在研究土壓力與擋墻位移關(guān)系的計(jì)算方法中，可采用數(shù)學(xué)函數(shù)來表征土壓力隨擋墻位移的變化關(guān)系。筆者針對(duì)擋墻位移土壓力的眾多數(shù)學(xué)擬合公式，依據(jù)函數(shù)形式的不同分為三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、雙曲線函數(shù)、冪函數(shù)、S型函數(shù)以及其他函數(shù)等6大類，總結(jié)這些數(shù)學(xué)擬合公式的特點(diǎn)與不足，并指出進(jìn)一步研究的方向。

1 土壓力及擋墻位移效應(yīng)

文獻(xiàn)[12-14]指出土壓力隨擋墻位移變化而變化，實(shí)際擋墻土壓力介于靜止土壓力和極限土壓力之間，并與擋墻位移存在非線性關(guān)系，如圖1所示。擋墻不發(fā)生移動(dòng)時(shí)的土壓力為靜止土壓力p0，背離土體移動(dòng)時(shí)擋墻土壓力隨之衰減并終止于主動(dòng)極限狀態(tài)，相應(yīng)的土壓力衰減稱為松弛應(yīng)力pr、主動(dòng)極限狀態(tài)土壓力為主動(dòng)土壓力pa即土壓力的最小值。同理，朝向土體一側(cè)移動(dòng)時(shí)擋墻土壓力隨之增長并終止于被動(dòng)極限狀態(tài)，相應(yīng)的土壓力增長稱為擠壓應(yīng)力ps、被動(dòng)極限狀態(tài)土壓力為被動(dòng)土壓力pp即土壓力的最大值。

除圖1擋墻位移狀態(tài)（主動(dòng)、被動(dòng)）、位移大小顯著影響土壓力以外，圖2中的擋墻位移模式也對(duì)土壓力具有重要影響。當(dāng)剛性擋墻發(fā)生平移而處于非極限狀態(tài)時(shí)，擋墻沿深度方向各點(diǎn)的位移相同，即研究某點(diǎn)處土壓力與擋墻位移的函數(shù)變化關(guān)系可用于擋墻上的所有點(diǎn)，這使得擋墻位移土壓力求解大為簡化，故現(xiàn)有文獻(xiàn)采用數(shù)學(xué)擬合方法研究擋墻位移土壓力p*時(shí)均基于擋墻的平移T模式。

在位移土壓力的數(shù)學(xué)擬合公式中，對(duì)應(yīng)主/被動(dòng)土壓力的擋墻極限位移δcr是一個(gè)關(guān)鍵的物理量，一般通過模型試驗(yàn)獲得。表1總結(jié)了土體達(dá)到極限平衡狀態(tài)時(shí)擋墻所需的位移量，其中達(dá)到主動(dòng)土壓力的擋墻極限位移δacr要遠(yuǎn)小于被動(dòng)土壓力相應(yīng)的極限位移δpcr。規(guī)定以被動(dòng)狀態(tài)的位移為正，主動(dòng)狀態(tài)的位移為負(fù)。

2 數(shù)學(xué)擬合公式分類及特點(diǎn)

2.1 擬合公式分類

擋墻位移土壓力的數(shù)學(xué)擬合公式常以靜止土壓力、主/被動(dòng)土壓力這3個(gè)已知土壓力為基礎(chǔ)，對(duì)圖1可分別開展主動(dòng)狀態(tài)、被動(dòng)狀態(tài)下?lián)鯄ξ灰仆翂毫Φ姆侄螖?shù)學(xué)表征，也可不分段對(duì)整條曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)表征。將圖1中擋墻的松弛應(yīng)力pr和擠壓應(yīng)力ps統(tǒng)稱為附加應(yīng)力，進(jìn)而擋墻位移時(shí)土壓力可視為靜止土壓力相加減附加應(yīng)力，如式（1）所示。

可以看出：位移函數(shù)kδ1、kδ2、kδ3的量綱為1，對(duì)應(yīng)位移函數(shù)kδ的3種構(gòu)造方式，用于描述土壓力隨擋墻位移的變化關(guān)系。當(dāng)構(gòu)造位移函數(shù)的方式確定后，可選用不同形式的數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)位移函數(shù)進(jìn)行表征，并著重研究其待定參數(shù)及取值。因土體類型復(fù)雜且土壓力數(shù)據(jù)少，某種數(shù)學(xué)擬合公式僅在文獻(xiàn)個(gè)別土體類型下的預(yù)測(cè)效果較好，不同土體類型下的擬合效果不盡一致，故數(shù)學(xué)擬合公式的適用性難以準(zhǔn)確評(píng)價(jià)。但構(gòu)造位移函數(shù)最突出的特點(diǎn)就是每個(gè)數(shù)學(xué)擬合公式都有較為明確的函數(shù)形式，決定擋墻位移土壓力曲線的變化趨勢(shì)。

因此，按照文獻(xiàn)所用擬合函數(shù)的不同數(shù)學(xué)形式，將位移土壓力的代表性數(shù)學(xué)擬合公式大致分為6大類。需說明的是，如果同時(shí)涉及2種函數(shù)形式，則以主函數(shù)形式進(jìn)行分類，并按出現(xiàn)年代依次列出;若位移函數(shù)在主動(dòng)狀態(tài)、被動(dòng)狀態(tài)中采用同一函數(shù)，則用一個(gè)公式表示整條曲線;本文研究對(duì)象為剛性擋墻，未考慮擋墻自身的變形影響。

2.1.1 三角函數(shù)

2.2 擬合公式特點(diǎn)

結(jié)合擋墻位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式的構(gòu)造方式及函數(shù)形式分類可知，同類數(shù)學(xué)擬合公式保留了該類函數(shù)的數(shù)學(xué)特征，繼而土壓力呈現(xiàn)相似的變化趨勢(shì)?，F(xiàn)從數(shù)學(xué)擬合公式的目的、構(gòu)造方式、合理性以及參數(shù)確定等方面，對(duì)代表性位移土壓力公式進(jìn)行總結(jié)：

1）這6類位移土壓力公式的目的相同，即采用某一種數(shù)學(xué)函數(shù)描述擋墻在表1極限狀態(tài)范圍內(nèi)土壓力隨擋墻位移的變化規(guī)律，可獲得擋墻非極限狀態(tài)下的位移土壓力，故數(shù)學(xué)擬合方法的途徑明了、簡單易用，不過多探究擋墻位移土壓力的內(nèi)在機(jī)理，在工程設(shè)計(jì)中已得到一定應(yīng)用。

2）構(gòu)造位移土壓力的數(shù)學(xué)擬合公式存在4種方式，前3種以靜止土壓力、主/被動(dòng)土壓力為基礎(chǔ)，通過附加應(yīng)力作比或已知土壓力直接作比定義了無量綱的位移函數(shù)，尤以附加應(yīng)力作比的構(gòu)造方式應(yīng)用最為廣泛，可分別對(duì)主動(dòng)狀態(tài)、被動(dòng)狀態(tài)下?lián)鯄Φ奈灰仆翂毫M(jìn)行分段數(shù)學(xué)表征，也可不分段對(duì)整條曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)表征。以已知土壓力直接作比的構(gòu)造方式，需綜合考慮位移土壓力的整體變化規(guī)律。

3）結(jié)合圖1和6類位移土壓力公式的數(shù)學(xué)特征可知，合理實(shí)用的位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式需具備3方面特征：邊界條件與初值滿足、參數(shù)含義明確以及能反映擋墻與土體之間的相互作用。位移土壓力公式的適用性需經(jīng)多種類型土體工程實(shí)測(cè)、模型試驗(yàn)和數(shù)值模擬的系統(tǒng)性驗(yàn)證。

4）位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式重點(diǎn)表征了剛性擋墻位移對(duì)土壓力的影響，其待定參數(shù)常與土體內(nèi)摩擦角或黏聚力等土性因素有關(guān)，部分參數(shù)需結(jié)合工程實(shí)測(cè)或模型試驗(yàn)確定;土體流變時(shí)間效應(yīng)、基坑開挖空間效應(yīng)以及多因素耦合作用等影響，一般是借助不同類型的數(shù)學(xué)函數(shù)相復(fù)合得以實(shí)現(xiàn)。

5）位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式大多基于某一類明確具體的函數(shù)形式，其差異主要體現(xiàn)在函數(shù)形式選擇和待定參數(shù)及取值不同，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)擬合公式的多樣性、可選性，同時(shí)也表明當(dāng)前位移土壓力數(shù)學(xué)擬合方法研究的廣泛性與非系統(tǒng)性，這實(shí)際反映的是對(duì)擋墻位移土壓力的認(rèn)知局限性。

3 存在的不足及進(jìn)一步研究方向

目前，數(shù)學(xué)擬合方法在土壓力與擋墻位移關(guān)系研究中已占據(jù)重要地位，但土壓力的影響因素眾多且錯(cuò)綜復(fù)雜，使得很多數(shù)學(xué)擬合公式仍停留在理論層面，存在研究不足并需進(jìn)一步完善。

1）6類數(shù)學(xué)擬合公式重點(diǎn)描述了土壓力隨擋墻位移的變化特征，很大程度上未對(duì)墻后土體、擋墻以及土體擾動(dòng)的相互作用進(jìn)行闡述，僅針對(duì)土壓力有限數(shù)據(jù)做了宏觀規(guī)律性對(duì)比驗(yàn)證，雖在某些條件下說明了數(shù)學(xué)擬合公式的正確性，但只適用于對(duì)比所用的特定土，對(duì)其他土體的擬合效果不盡理想。

研究方向：應(yīng)將擋墻位移土壓力的形成機(jī)理、物理解釋和理論分析與數(shù)學(xué)擬合方法相結(jié)合。另外，數(shù)學(xué)擬合公式提出后，需經(jīng)大量土壓力實(shí)測(cè)、試驗(yàn)或模擬的適用性驗(yàn)證，進(jìn)而界定公式的適用范圍、應(yīng)用步驟，或以分段函數(shù)形式獲得更具針對(duì)性的擬合公式。加強(qiáng)各數(shù)學(xué)擬合公式間的比較和參數(shù)定量化描述。

2）土壓力是土體與擋墻相互作用的結(jié)果，其他影響因素，如溫度、時(shí)空效應(yīng)、施工工序、滲流等，有時(shí)一同歸并為對(duì)擋墻位移的影響，這樣雖然可簡化實(shí)際問題，但并不一定客觀。圖2擋墻位移模式對(duì)土壓力大小及分布具有顯著影響，而數(shù)學(xué)擬合方法卻均假定擋墻為平移T模式。

研究方向：應(yīng)針對(duì)不同位移模式的擋墻，建立相應(yīng)的位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式，并適當(dāng)兼顧其他因素的影響。例如，邾祝融等[68]考慮開挖順序及時(shí)間因素，將時(shí)空效應(yīng)影響與位移函數(shù)相復(fù)合。如何將其他因素影響也轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)，是對(duì)現(xiàn)有位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式進(jìn)行修正的一個(gè)重要方向。

3）位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式大多針對(duì)的是干土或飽和土，表1中模型試驗(yàn)的土體也多為干砂、密砂、粉砂、粉土和礦渣，鮮有黏性土，針對(duì)不良特殊土體（濕陷性黃土、膨脹土等）的研究也不充分，且尚未開展基于非飽和土力學(xué)原理的擋墻位移土壓力研究。

研究方向：開展各類土體擋墻土壓力的模型試驗(yàn)或數(shù)值模擬以及現(xiàn)場試驗(yàn)，特別是黏性土、非飽和土、濕陷性黃土、膨脹土等。工程實(shí)踐中遇到的土體大多為非飽和土，與飽和土最大的區(qū)別是基質(zhì)吸力的存在及其產(chǎn)生的吸附強(qiáng)度，可構(gòu)建基于非飽和土力學(xué)原理的擋墻位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式。

4）已有的土體真三軸試驗(yàn)結(jié)果表明[69-70]，中間主應(yīng)力對(duì)土體強(qiáng)度的影響明顯。土體強(qiáng)度的提高必然會(huì)對(duì)擋墻土壓力產(chǎn)生全方位影響，包括墻后土體滑裂面、土壓力大小和分布，甚至是擋墻的位移模式?，F(xiàn)有位移土壓力的數(shù)學(xué)擬合公式均沒有體現(xiàn)中間主應(yīng)力的影響，獲得的土壓力難以反映土體實(shí)際強(qiáng)度。

研究方向：對(duì)墻后土體開展真三軸試驗(yàn)研究，探討中間主應(yīng)力對(duì)土體黏聚力及內(nèi)摩擦角的影響規(guī)律，或者基于合理考慮中間主應(yīng)力影響的土體真三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則與土體常規(guī)軸對(duì)稱壓縮試驗(yàn)，獲得平面應(yīng)變條件下土體的真實(shí)強(qiáng)度參數(shù)用于位移土壓力計(jì)算，并加強(qiáng)對(duì)墻后土體滑裂面和擋墻位移模式的試驗(yàn)觀測(cè)。

4 結(jié)論

1）擋墻位移土壓力常以靜止土壓力、主/被動(dòng)土壓力為基礎(chǔ)，存在4種數(shù)學(xué)函數(shù)構(gòu)造方式，尤以第1種附加應(yīng)力作比構(gòu)造位移函數(shù)的應(yīng)用最為廣泛，可相應(yīng)對(duì)主動(dòng)或被動(dòng)狀態(tài)下?lián)鯄Φ奈灰仆翂毫M(jìn)行分段數(shù)學(xué)表征，也可不分段對(duì)整條曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)表征，目的都是更準(zhǔn)確地描述土壓力隨擋墻位移的變化規(guī)律。

2）將擋墻位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式按函數(shù)形式分為6大類：三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、雙曲線函數(shù)、冪函數(shù)、S型函數(shù)以及其他函數(shù)，可利用某類數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)具備的3方面特征，確定其適用范圍，以便更好地表達(dá)土壓力隨擋墻位移變化的非線性特征。

3）應(yīng)將擋墻位移土壓力的形成機(jī)理、物理解釋和理論分析與數(shù)學(xué)擬合方法相結(jié)合，加強(qiáng)位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式間的對(duì)比分析，探究各自的合理性及適用性。對(duì)擋墻不同位移模式開展全面分析，并進(jìn)行黏性土、非飽和土、濕陷性黃土、膨脹土等的土壓力試驗(yàn)和中間主應(yīng)力效應(yīng)研究。

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（編輯 章潤紅）