一類(lèi)二階變系數(shù)線性微分方程的求解探討

陶筱平

(黃岡師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃岡 438000)

1 相關(guān)研究

記系數(shù)為一次函數(shù)的二階變系數(shù)線性微分方程為

(d1x+d0)y″+(p1x+p0)y′+(q1x+q0)y=0

(1)

由于二階常系數(shù)齊次線性微分方程y″+py′+qy=0，是在借助于函數(shù)y=erx解決了求通解的問(wèn)題[9], 而在研究變系數(shù)微分方程的解時(shí)，也常常借助到形如y=erx的函數(shù)[10]. 對(duì)于方程(1)，本文將通過(guò)相關(guān)定理和推論，推導(dǎo)其具有y=xkerx形式解的條件，進(jìn)而尋求它的y=xkerx型特解的具體方法和公式．

1.1 方程存在特解的條件

定理方程(1)存在y=xkerx型的特解的充要條件是方程(1)系數(shù)中的d1,d0,p1,p0,q1,q0滿足線性方程組

(2)

證明充分性：若y=xkerx是方程(1)的解，將y=xkerx、y′=(rx2+kx)xk-2erx、y″=(r2x2+2krx+k2-k)xk-2erx代入方程(1)，可得(r2d1+rp1+q1)x3+(2krd1+r2d0+kp1+rp0+q0)x2+[(k2-k)d1+2krd0]x+(k2-k)d0=0，由此可知方程組(2)成立.

必要性：若方程(1)系數(shù)中的d1,d0,p1,p0,q1,q0滿足線性方程組(2)，則有(r2d1+rp1+q1)x3+(2krd1+r2d0+kp1+rp0+q0)x2+[(k2-k)d1+2krd0]x+(k2-k)d0=0，整理得

(d1x+d0)(r2x2+2krx+k2-k)+(p1x+p0)(rx2+kx)+(q1x+q0)x2=0，

從而可得

(d1x+d0)(r2x2+2krx+k2-k)xk-2ex+(p1x+p0)(rx2+kx)xk-2ex+(q1x+q0)xkex=0.

設(shè)y=xkex，即得

(d1x+d0)y″+(p1x+p0)y′+(q1x+q0)y=0,

所以y=xkex是方程(1)的解．證畢．

當(dāng)定理中k=0時(shí)，則線性方程組(2)變?yōu)榫€性方程組(3)

(3)

所以有

推論1方程(1)存在y=erx型的特解的充要條件是r是特征方程d1r2+p1r+q1=0和d0r2+p0r+q0=0的相同特征根．

推論2r≠0時(shí)，線性方程組(3)的任一組解

代入方程(1)所得方程必有特解y=erx．

當(dāng)定理中k=1時(shí)，有如下推論

另外，當(dāng)y=xerx是方程(1)的特解時(shí)，必有

(4)

因此，有下述推論

推論4r≠0時(shí)，線性方程組(4)的任一組解

代入方程(1)所得方程必有特解y=xerx．

1.2 方程存在特解的判斷方法

討論方程(1)具有y=xkerx類(lèi)型特解的判斷方法.

類(lèi)型一：方程(1)中d0=0的情形

類(lèi)型二：方程(1)中d0≠0的情形

此時(shí)，必有k=0或k=1.

若取k=0，由上述定理知，當(dāng)特征方程d1r2+p1r+q1=0，d0r2+p0r+q0=0有相同特征根r，方程(1)才有特解y=erx.

綜上，得下述結(jié)論

結(jié)論1不是任意方程(1)都有y=xkerx型的解，只是部分滿足一定條件的方程(1)才有y=xkerx型的解.

此時(shí)，有的方程只有一個(gè)y=xkerx型的解，有的方程有兩個(gè)y=xkerx型的相異解(此時(shí)可以寫(xiě)出方程的通解)．

結(jié)論2當(dāng)方程(1)中d0≠0時(shí)，方程至多只有y=erx或y=xerx這兩種形式的解.

結(jié)論3可以利用定理中的條件，反向構(gòu)造具有y=xkerx型特解的方程．

如以特解y=xerx為例，由推論4知，將線性方程組(4)的某一組解d1,d0,p1,p0,q1,q0代入方程(1)中，即可得到一個(gè)以一次函數(shù)為系數(shù)的非常系數(shù)線性微分方程，該方程有特解y=xerx．

2 應(yīng)用

應(yīng)用1求解方程(1)的特解問(wèn)題

例1求微分方程(x-1)y″-xy′+y=0的y=xkerx型的特解.

例2求微分方程xy″-2(x+1)y′+(x+2)y=0的y=xkerx型的特解.

分析由于d0=0，所以歸屬為類(lèi)型一，可求得方程的兩個(gè)特解y=ex和y=x3ex，所以該方程通解為y=(c1+c2x3)ex．

應(yīng)用2構(gòu)造具有特型特解的方程(1)問(wèn)題

(10x-1)y″-(x-1)y′-2xy=0，

2(x+1)y″-(x-1)y′-y=0，

2(x-4)y″+(x-2)y′-(x-3)y=0．

例4構(gòu)造具有特解y=xe-2x的微分方程(d1x+d0)y″+(p1x+p0)y′+(q1x+q0)y=0.

分析在線性方程組(4)中任取一組解代入方程(1)，得到的方程有特解y=xerx.要構(gòu)造具有特解y=xe-2x的方程，由推論4知此時(shí)線性方程組(4)為

(5)

其通解為

在其中每取一組解代入方程(1)，得到的方程均有特解y=xe-2x.故所求方程有許多，如

(4x+1)y″+4(3x+1)y′+8(x+1)y=0

(6x+1)y″+4(3x+1)y′+4xy=0

例5構(gòu)造具有特解y=x3e2x的微分方程(d1x+d0)y″+(p1x+p0)y′+(q1x+q0)y=0.

分析由結(jié)論2知，此時(shí)方程(1)中的系數(shù)d0=0，線性方程組(2)為

(6)

其通解為

在其中每取一組解代入方程(1)，得到的方程均有特解y=x3e2x,故所求方程有許多，如

xy″-(3x+4)y′+(2x+1)y=0

xy″-2(2x+1)y′+4(x+1)y=0

以上構(gòu)造的方程均可通過(guò)類(lèi)型一和類(lèi)型二進(jìn)行驗(yàn)證.

通過(guò)上述的討論，本文得出了判斷系數(shù)為一次函數(shù)的二階變系數(shù)線性微分方程(1)有y=xkerx型特解的充要條件，將方程特解的存在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程(1)系數(shù)中的常數(shù)d1,d0,p1,p0,q1,q0是否滿足線性方程組(2)的問(wèn)題，并找到了求方程的y=xkerx型特解的具體求解方法. 本文是對(duì)二階變系數(shù)齊次線性微分方程求解問(wèn)題研究的有益補(bǔ)充.