新課標(biāo)下高中微積分的教學(xué)策略

周學(xué)君，劉 婕，蔡志勇

(1.黃岡師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃岡 438000；2.蘄春縣第一高級(jí)中學(xué)，湖北 黃岡 435300)

隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷改革，微積分在高中階段越來(lái)越受到重視。教育部頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo))，對(duì)微積分的教學(xué)提出了更高的要求。事實(shí)上，微積分中所蘊(yùn)含的美育價(jià)值、思維價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，對(duì)高中生辯證思維的發(fā)展、解題思路的拓展和后續(xù)學(xué)習(xí)都有著十分重要的影響。因此，在新課標(biāo)下，高中微積分教學(xué)成為數(shù)學(xué)教師亟需思考和研究的新課題。

微積分在高中數(shù)學(xué)中經(jīng)歷了多次改革，廣大數(shù)學(xué)教育工作者針對(duì)歷次改革的新內(nèi)容、新要求，對(duì)高中微積分教學(xué)提出了許多建議。如孟季和[1]在《中學(xué)微積分教材教法》中，對(duì)適應(yīng)1978年教學(xué)大綱改革的微積分教學(xué)的教法進(jìn)行了探討；楊鐘玄[2]根據(jù)新《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》的改革情況，結(jié)合當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)課本弊端，提出要將數(shù)列極限的定義由抽象的“ε-N”符號(hào)語(yǔ)言改成更為直觀語(yǔ)言的建議；匡繼昌[3]尖銳地指出教學(xué)大綱刪去極限內(nèi)容的錯(cuò)誤性，并表示這種無(wú)極限的導(dǎo)數(shù)模式不是創(chuàng)新，而是一種退步；李倩等[4]對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中所列出的高中微積分內(nèi)容從教學(xué)價(jià)值、教學(xué)實(shí)施方面進(jìn)行了不同的探討，認(rèn)為高中微積分教學(xué)要充分體現(xiàn)高中微積分和大學(xué)微積分對(duì)學(xué)生的不同要求，不能讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)運(yùn)用微積分知識(shí)過(guò)度依賴的心理。因此，高中課程改革中微積分教學(xué)方法研究一直是數(shù)學(xué)教師教學(xué)研究的熱點(diǎn)課題。

另一方面，雖然我國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)于高中微積分教學(xué)研究較為廣泛，但是在新課標(biāo)框架下，探討高中微積分教學(xué)的研究卻不多。本文首先總結(jié)歸納新課標(biāo)中微積分內(nèi)容及其要求變化，然后剖析高中生學(xué)習(xí)微積分普遍存在的問(wèn)題，最后有針對(duì)性地提出在新課標(biāo)背景下高中微積分教學(xué)的幾點(diǎn)策略。

1 新課標(biāo)中微積分內(nèi)容和要求的變化

新課標(biāo)對(duì)于微積分內(nèi)容和要求做出了較大調(diào)整，尤其是對(duì)于理工科學(xué)生，其在內(nèi)容的難度、深度、廣度以及學(xué)習(xí)目標(biāo)等方面都有很大的提高。表 1以新課標(biāo)A類為例，比較了其與2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》的異同。經(jīng)過(guò)比較和分析，新標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于微積分的變化可歸納為以下三個(gè)方面：

1.1 注重與大學(xué)數(shù)學(xué)的接軌

在2003版的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，考慮到高中生的認(rèn)知水平，當(dāng)時(shí)我國(guó)高中數(shù)學(xué)涉及微積分的知識(shí)無(wú)論是從內(nèi)容的深度、廣度和難度上都較為淺顯。在世界范圍內(nèi)，相對(duì)于其他發(fā)達(dá)國(guó)家和部分地區(qū)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)微積分內(nèi)容，我國(guó)高中數(shù)學(xué)微積分內(nèi)容的難度排名也相對(duì)靠后[5]。從表1可看出，新課標(biāo)在微積分內(nèi)容和結(jié)構(gòu)上作出了調(diào)整。在內(nèi)容上，數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、定積分的理論知識(shí)部分有明顯的擴(kuò)充和具體要求。在結(jié)構(gòu)上，逾越極限直接通過(guò)大量的實(shí)例來(lái)理解導(dǎo)數(shù)的概念，修改為先學(xué)極限，再?gòu)臉O限的基礎(chǔ)上給出導(dǎo)數(shù)這一數(shù)學(xué)定義，該教學(xué)結(jié)構(gòu)與大學(xué)微積分基本一致。另外，新課標(biāo)改善了高中和大學(xué)微積分內(nèi)容的斷點(diǎn)問(wèn)題，在知識(shí)的建構(gòu)上逐步與大學(xué)微積分接軌，其課程的連貫性和延續(xù)性得到進(jìn)一步增強(qiáng)。

表1 新課標(biāo)中A類微積分內(nèi)容和要求的調(diào)整

1.2 注重?cái)?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言是一種簡(jiǎn)潔、高效的思考與表達(dá)方式[6]。一直以來(lái)，關(guān)于是否在高中階段引入極限符號(hào)語(yǔ)言一直存在爭(zhēng)議。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (實(shí)驗(yàn))解讀》中明確指出高中學(xué)習(xí)極限的弊端：若按照先學(xué)極限再學(xué)導(dǎo)數(shù)的順序，極限的抽象概念會(huì)對(duì)理解導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)產(chǎn)生不利影響[7]。也有不少數(shù)學(xué)教育學(xué)者指出，高中極限內(nèi)容的刪減只會(huì)對(duì)學(xué)生理解微積分會(huì)產(chǎn)生障礙。新課標(biāo)再一次增設(shè)了極限內(nèi)容，對(duì)極限內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求由了解上升到理解的層面，不僅給出了極限的數(shù)學(xué)符號(hào)定義，并且要求學(xué)生掌握極限的相關(guān)性質(zhì)及其證明。此外，有關(guān)連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分的概念，新課標(biāo)也都給出了嚴(yán)格的定義和證明，這充分體現(xiàn)了新課標(biāo)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)能力的重視。

1.3 注重微積分的實(shí)際應(yīng)用

微積分是研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是解決其他領(lǐng)域技術(shù)的重要工具。新課標(biāo)更加強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀和物理實(shí)際背景來(lái)引入微積分思想，并且對(duì)微積分的實(shí)際應(yīng)用能力提出了更高的要求。事實(shí)上，微積分在研究數(shù)學(xué)的函數(shù)變化、物理學(xué)的物體變速運(yùn)動(dòng)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)的生產(chǎn)優(yōu)化等問(wèn)題中起到關(guān)鍵作用。如在初等數(shù)學(xué)中，學(xué)生對(duì)于曲邊圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算往往倍感無(wú)從下手，但從微積分的極限思想出發(fā)，將曲邊圖形和旋轉(zhuǎn)體劃分為無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)限小的面積微元和體積微元，再近似求和，便能有效地推導(dǎo)出曲邊圖形和旋轉(zhuǎn)體積的求解公式。又如在物理的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題中，對(duì)于常見(jiàn)的勻速直線運(yùn)動(dòng)等簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)形式，學(xué)生往往能得心應(yīng)手，而對(duì)于變速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，很多學(xué)生往往一籌莫展，但如果使用微積分工具便能很好地解決[8]。由此可見(jiàn)，提升微積分的實(shí)際應(yīng)用能力是適應(yīng)新時(shí)代數(shù)學(xué)教育發(fā)展，培養(yǎng)應(yīng)用型人才的有效手段。

2 高中生學(xué)習(xí)微積分存在的問(wèn)題

高考是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指揮棒，目前高考對(duì)于微積分內(nèi)容的考查在分量和難度上普遍要求不高，導(dǎo)致高中生學(xué)習(xí)微積分存在很多問(wèn)題，主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

2.1 對(duì)微積分課程的學(xué)習(xí)感到枯燥

新課標(biāo)加入微積分相關(guān)概念和定理，致使高中微積分課程理論性明顯增強(qiáng)。然而，現(xiàn)有教材有關(guān)微積分的內(nèi)容安排比較繁雜，并且缺乏針對(duì)性和系統(tǒng)性，導(dǎo)致難以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。許多高中教師在教學(xué)微積分的過(guò)程中，仍然采取傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)模式，缺乏對(duì)微積分所蘊(yùn)含的思維價(jià)值、文化價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值的挖掘，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)微積分的學(xué)習(xí)存在畏難情緒。另外，伴隨高考升學(xué)壓力，高中微積分教學(xué)呈現(xiàn)出一種應(yīng)試化傾向。由于微積分內(nèi)容難度較大，致使教師更多專注于書本和考試，偏重于公式的推導(dǎo)、題目的演算等機(jī)械化的訓(xùn)練，忽視了對(duì)學(xué)生的素質(zhì)能力的培養(yǎng)，從而加重了學(xué)生對(duì)于微積分枯燥的刻板印象。

2.2 對(duì)微積分概念的理解不夠透徹

為了準(zhǔn)備高考，許多學(xué)生對(duì)于微積分的學(xué)習(xí)僅停留在對(duì)導(dǎo)數(shù)公式的記憶上，不斷重復(fù)公式演算習(xí)題的訓(xùn)練，對(duì)微積分概念的認(rèn)識(shí)浮于表面，死記硬背占很大的比重[4]。一方面，微積分本身對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)難度較大，尤其是對(duì)那些抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，讓學(xué)生從常量思維跳躍到變量思維，難以接受，從而產(chǎn)生一種抗拒的心理。另一方面，由于初等數(shù)學(xué)內(nèi)容的限制，高中數(shù)學(xué)教材一些知識(shí)點(diǎn)缺乏邏輯上的嚴(yán)密性。在課改前，我國(guó)大多數(shù)的高中教材都刪去了極限的內(nèi)容，對(duì)極限的思想一筆帶過(guò)，加大了學(xué)生理解微積分的難度，再加上高中教師教學(xué)上偏重于題目的直觀講解，造成學(xué)生對(duì)一些基本概念的理解產(chǎn)生偏差。

2.3 對(duì)微積分思難以做到靈活運(yùn)用

著名數(shù)學(xué)教育家R·柯朗說(shuō)：“微積分是人類思維的偉大成果之一[9]”。微積分的創(chuàng)立是一代又一代數(shù)學(xué)家思維方式發(fā)生變化的結(jié)果。微積分以函數(shù)為主要對(duì)象，分析函數(shù)的常量和變量間的關(guān)系，它打破了傳統(tǒng)的常量一直保持不變的思想，使數(shù)學(xué)變?yōu)橐环N動(dòng)態(tài)的語(yǔ)言。在高中階段常常會(huì)遇到一些研究較窄、較深的題目，在解答這一類題目時(shí)，學(xué)生常常會(huì)將實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的手段當(dāng)作解題目標(biāo)，并由此陷入繁雜的運(yùn)算或是中斷解題[10]，如此，在解題過(guò)程中將耗費(fèi)大量的變形運(yùn)算才能達(dá)到目標(biāo)結(jié)果。在很多情況下，微積分的思想能為解答此類題目開(kāi)拓思路，但由于受到高中階段大量的填鴨式訓(xùn)練的影響，許多學(xué)生的思想被禁錮，難以做到對(duì)微積分思想的靈活運(yùn)用。

3 高中數(shù)學(xué)微積分的教學(xué)策略

高中微積分內(nèi)容主要是微積分學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，教師的教學(xué)應(yīng)符合微積分初學(xué)者的認(rèn)知水平，要將微積分知識(shí)在課堂上通俗、直觀、生動(dòng)地呈現(xiàn)給學(xué)生。在高中數(shù)學(xué)微積分模塊的教學(xué)過(guò)程中，教師可以通過(guò)講述與微積分密切相關(guān)的數(shù)學(xué)史小故事，利用數(shù)形結(jié)合教學(xué)，運(yùn)用微積分工具達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)概念理解和豐富學(xué)生解決問(wèn)題能力等目的。

3.1 穿插數(shù)學(xué)史小故事，讓學(xué)生感受微積分的趣味性

高中正是學(xué)生世界觀形成的關(guān)鍵時(shí)期，在微積分教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)史的小故事，不僅有助于擺脫微積分的枯燥性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能讓學(xué)生感受文化熏陶，體會(huì)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，提升自身的文化修養(yǎng)。因此，教師在微積分教學(xué)中，應(yīng)充分挖掘微積分思想中的美育價(jià)值，通過(guò)數(shù)學(xué)文化引導(dǎo)學(xué)生感受微積分思想文化中所蘊(yùn)含的人文價(jià)值，從而培養(yǎng)學(xué)生感受美、鑒賞美、創(chuàng)造美的能力[11]。

3.2 利用數(shù)形結(jié)合教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)微積分概念的理解

新課標(biāo)改善了高中微積分和大學(xué)微積分的斷點(diǎn)問(wèn)題，要求高中微積分中有關(guān)極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等內(nèi)容逐步與大學(xué)微積分接軌，這樣提升了高中生對(duì)微積分概念理解的難度。在微積分教學(xué)中，教師應(yīng)充分考慮高中生的認(rèn)知水平和接受能力，在講授抽象的數(shù)學(xué)概念和定理時(shí)，教師可以結(jié)合它的“形”直觀地向?qū)W生傳遞其中蘊(yùn)含的意義。通過(guò)數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到觀察圖像和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，不僅有利于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解，同時(shí)也能讓學(xué)生充分感受到微積分和初等數(shù)學(xué)的差異性[13]。

如在講授函數(shù)極限的ε語(yǔ)言時(shí)，對(duì)任意給定ε>0，在直角坐標(biāo)平面上以y=A為中心線，寬2ε的窄帶，可以找到某個(gè)M>0，使得在直線x=M的右側(cè)，曲線y=f(x)完全落在窄帶內(nèi)(如圖1所示)。教師可先運(yùn)用圖像法表示函數(shù)極限的幾何意義，從而引導(dǎo)學(xué)生接受函數(shù)極限的ε語(yǔ)言，避免死記硬背概念。將“數(shù)”與“形”緊密結(jié)合應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，不僅能讓復(fù)雜的問(wèn)題變得通俗易懂，而且有助于提高課堂的生動(dòng)性和趣味性。

又如，在推導(dǎo)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式時(shí)，可以先從最簡(jiǎn)單的函數(shù)y=x2出發(fā)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，找到x單位的變化引起的函數(shù)變化率即可，即dx/dy可以被理解成是函數(shù)y=x2圖像的切線斜率。如圖2所示，在坐標(biāo)原點(diǎn)處，切線與x軸重合，所以斜率是0，且隨著橫坐標(biāo)x的增大切線斜率會(huì)不斷增大，引導(dǎo)學(xué)生觀察出y=x2的導(dǎo)數(shù)與自變量x正相關(guān)這一現(xiàn)象。

圖1 函數(shù)極限的幾何意義

圖2 函數(shù)y=x2切線斜率與自變量x正相關(guān)

圖3 函數(shù)y=x2自變量變化

3.3 運(yùn)用微積分工具，豐富學(xué)生解決問(wèn)題的手段

微積分是打開(kāi)現(xiàn)代數(shù)學(xué)大門的重要理論基礎(chǔ)，其所蘊(yùn)含的思想能為學(xué)生解決問(wèn)題提供獨(dú)特的方法和思路[14]。在高中階段，一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解與討論過(guò)程相當(dāng)繁瑣，而微積分的引入拓展了學(xué)生的思維，能夠使學(xué)生從枯燥而重復(fù)低級(jí)的訓(xùn)練中走出來(lái)。教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)有別于傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)，充分借助微積分思想方法，豐富學(xué)生解決問(wèn)題的手段，提高學(xué)生微積分的應(yīng)用能力。

再如，求曲線C：y=3x-x3過(guò)點(diǎn)A(2，-2)的切線方程。學(xué)生解決該問(wèn)題的常規(guī)思路是，由點(diǎn)A在曲線C上，得到切線斜率為k=y′=-9,因此過(guò)點(diǎn)A的切線方程為9x+y-16=0。這一解法的錯(cuò)誤在于遺漏切線方程y+2=0的情況。在求切線方程時(shí)，學(xué)生很容易將問(wèn)題簡(jiǎn)化為求已知曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)的情形，直接將兩個(gè)方程聯(lián)立求單根，這種方法雖能找到切線方程，但得到的答案卻不完整。出現(xiàn)錯(cuò)誤的根本原因在于對(duì)切線概念理解不準(zhǔn)確，僅停留在片面的認(rèn)識(shí)上，并未真正領(lǐng)會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想。正確理解是，切線是曲線的割線與曲線交點(diǎn)由一端沿曲線無(wú)限地接近于另一端時(shí)的極限位置，這樣就不能僅憑直線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷切線的條數(shù)。因此，在極限的教學(xué)中，教師如果能夠通過(guò)分析變量與常量之間的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘微積分思想的來(lái)源，讓學(xué)生體會(huì)近似與精確、有限與無(wú)限的之間動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，能有效訓(xùn)練與培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維，豐富學(xué)生解決問(wèn)題的手段。

在新一輪的高中數(shù)學(xué)課程改革中，微積分知識(shí)的難度、深度和廣度都有了一定提高。較以往的課程標(biāo)準(zhǔn)而言，新課標(biāo)更加注重高中微積分和大學(xué)微積分的銜接、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)能力和微積分的實(shí)際運(yùn)用。與此同時(shí)，微積分課程難度的增加也給高中生的學(xué)習(xí)帶來(lái)了更多的挑戰(zhàn)，主要體現(xiàn)在對(duì)微積分理論的學(xué)習(xí)感到枯燥、對(duì)微積分概念理解不透徹以及對(duì)微積分思想難以做到靈活運(yùn)用等方面。因此，探討高中微積分的教學(xué)策略具有重要意義。本文在剖析新課標(biāo)中微積分內(nèi)容和要求的基礎(chǔ)上，針對(duì)現(xiàn)階段高中生學(xué)習(xí)微積分存在的問(wèn)題提出對(duì)應(yīng)的教學(xué)策略。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師要以學(xué)生為本，從高中生的認(rèn)知水平出發(fā)，以直觀易懂，生動(dòng)有趣的教學(xué)揭示微積分所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)之美。通過(guò)穿插數(shù)學(xué)史的小故事，結(jié)合數(shù)形結(jié)合教學(xué)，運(yùn)用微積分工具等教學(xué)方法來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣、增強(qiáng)理解微積分概念和運(yùn)用微積分解決問(wèn)題的能力，以期達(dá)到提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的?？傊抡n標(biāo)下微積分的教學(xué)研究是一個(gè)全新的課題，如何在教學(xué)中充分體現(xiàn)微積分的教育價(jià)值仍存在很多探討的空間。