拉剪多軸載荷作用下的彈性梁彎曲變形

湯明剛, 郭澤鵬, 陸 曄

(中國船舶科學(xué)研究中心, 無錫 214082)

柔性管道和臍帶纜是海洋資源開發(fā)中連接水面浮體與海底井口的一類重要的細(xì)長彈性體裝備[1]。其在位運行過程中,頂端由于同時受到軸向拉力和彎曲載荷的作用而容易發(fā)生極限強度或疲勞失效[2],因此需要對細(xì)長彈性體進(jìn)行拉彎作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析[3]。考慮該裝備內(nèi)部多層結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,需要采用能夠模擬該復(fù)雜加載的試驗?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行研究[4]。傳統(tǒng)的加載試驗通常采用大型專用裝置[5],一端施加穩(wěn)定拉伸載荷,另一端通過擺動以實現(xiàn)管纜彎曲,盡管可以檢測產(chǎn)品指標(biāo),但不能實現(xiàn)穩(wěn)定的曲率分布；后續(xù)學(xué)者在擺動端添加了喇叭口裝置[6],盡管可以實現(xiàn)穩(wěn)定曲率加載,但是由于裝置與細(xì)長體處處接觸而影響了檢測效果,因此最新的試驗研究提出采用分布式多點加載技術(shù),即穩(wěn)定曲率加載通過對稱橫向集中剪力共同作用實現(xiàn),且不影響試驗效果[7]。因此為了基于該方法進(jìn)行試驗工況設(shè)計,需要從理論上研究細(xì)長彈性體在軸向拉伸載荷與對稱橫向集中剪力共同作用下的彎曲變形規(guī)律。

細(xì)長彈性體裝備在有限長度內(nèi)可看做是彈性梁[8],即使在小變形、平截面和線彈性假定條件下,軸向拉伸載荷的作用會引起附加彎矩,進(jìn)而影響梁彎曲變形,因此梁撓度和彎矩與多軸外載荷不再呈現(xiàn)線性關(guān)系[9]。趙南等[10]對超大型浮體撐桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行了彎剪多軸載荷作用下的響應(yīng)研究,但并沒有考慮軸向載荷作用的影響。王續(xù)宏等[11]通過引入階躍系數(shù)研究軸向壓縮和橫向剪力作用下的柱梁變形,但是較難精確得到軸向載荷對彈性梁彎曲變形的影響。文獻(xiàn)[12]對兩端鉸支跨內(nèi)受均勻橫向剪力的拉伸柱梁彎曲變形進(jìn)行了研究,但由于均勻橫向剪力與集中剪力的載荷本質(zhì)與作用效果明顯不同,因此無法通過對模型結(jié)果簡單推導(dǎo)直接得到。宋文濤等[13]對不同配筋率的碳纖維增強復(fù)合材料編織網(wǎng)混凝土梁彎曲性能進(jìn)行了試驗研究,試件采用兩端鉸支約束,中間施加橫向集中力,獲取了載荷與梁曲位移的關(guān)系,但是并未提出梁彎曲變形的理論模型；張錫治等[14]采用Abaqus有限元軟件對鋼-混凝土預(yù)制混合梁在兩端固支約束、中間施加橫向集中力下的彎曲性能進(jìn)行了分析,盡管獲取了載荷與彎曲撓度的關(guān)系,但是并未對同時施加軸向拉力下的彎曲變形進(jìn)行研究。綜上可以看到,當(dāng)前已有模型都無法直接獲得軸向拉力載荷和橫向多個集中力共同作用下彈性梁的彎曲響應(yīng)規(guī)律。

1 拉剪多軸載荷下彈性梁彎曲變形解析模型

將具有一定彎曲剛度的柔性管纜試件簡化為兩端鉸支的彈性梁,假設(shè)梁彎曲過程發(fā)生小變形、滿足平截面假定,忽略軸向變形,不失一般性的施加雙橫向集中載荷,建立軸向拉力和橫向集中力共同作用下的彈性梁彎曲模型,如圖1所示。

T1、T2為橫向集中剪力；a為T1作用位置與原點鉸支的間距；b為T2與T1作用位置的間距；l為梁總長；F為軸向力；M(x)為梁的彎矩；ω(x)為撓度

首先考慮簡支梁僅受雙橫向集中力T1和T2的彎曲變形情況。如圖1(a)所示,梁的彎矩平衡方程可以簡化表示為

M(x)=Ax+B

(1)

式(1)中：A和B為代數(shù)式。設(shè)使梁下緣受拉的彎矩方向為正,分段展開式(1)可以得到：

(2)

式(2)中：EI為梁的彎曲剛度。當(dāng)疊加軸向力F后,如圖1(b)所示,梁的彎矩平衡方程變?yōu)?/p>

M(x)=EIω″(x)=Fω(x)+Ax+B

(3)

令n2=F/EI,則式(3)可以寫為

(4)

式(4)齊次微分方程通解的一般形式為：yI=C1e-nx+C2enx,取該非齊次微分方程特解：yII=-Ax/F-B/F,則式(4)的通解可以表示為

ω(x)=yI+yII=C1e-nx+C2enx+

(5)

由于式(5)是分段方程,在梁的3個不同分段,其系數(shù)C1和C2是不同的,因此共有6個未知數(shù)。考慮靜定梁的端部約束和連續(xù)性條件,式(5)需要滿足如下6個邊界條件：ω1(x)|x=0=0,ω1(x)|x=a=ω2(x)|x=a,ω′1(x)|x=a=ω′2(x)|x=a,ω1(x)|x=a+b=ω2(x)|x=a+b,ω′1(x)|x=a+b=ω′2(x)|x=a+b和ω3(x)|x=l=0。其中ωi(x)代表從梁端點沿x軸正向的第i個分段撓度。

通過聯(lián)立方程組,可以解得6個未知系數(shù)如下：

式中：Cij為第i個分段內(nèi)的第j個系數(shù)。將以上系數(shù)分別代入式(5)、式(3),可以得到簡支梁在軸向拉力和橫向集中剪力共同作用下的彎曲撓度和彎矩。

2 彈性梁彎曲變形有限元數(shù)值模型

2.1 有限元模型

采用ABAQUS結(jié)構(gòu)有限元分析軟件,建立考慮管道截面特性的彈性梁三維數(shù)值模型,如圖2所示。采用三維Beam梁單元,賦予管道截面形狀參數(shù),材料為各項同性材料。為了同時滿足管道彎曲剛度EI和截面拉伸剛度EA特性,在管道內(nèi)徑符合實際情況下,求解材料彈性模量和管壁厚度兩個擬合參數(shù)[15]。

模型一端節(jié)點約束3個平移自由度,另一端僅放松管道軸向自由度和扭轉(zhuǎn)自由度,從而實現(xiàn)兩端鉸支效果。在一端節(jié)點施加x方向集中拉伸力,而后在梁跨特定區(qū)域同時施加y方向若干橫向集中力。分析采用準(zhǔn)靜態(tài)加載模塊,并考慮幾何大變形。考慮該有限元數(shù)值建模方法的有效性在細(xì)長柔性管道整體拉彎組合疲勞試驗中得到驗證[7],因此可以直接用來對本文提出的理論方法進(jìn)行對比驗證。

圖2 彈性梁三維有限元模型

2.2 對比驗證

以某195 mm內(nèi)徑、4 m有效長度的海洋柔性管道試件為例,彎曲剛度為120 kN·m2,截面拉伸剛度為5.04×108N,數(shù)值模型擬合材料彈性模量為 447 MPa。根據(jù)管道承載能力,軸向拉力從0施加至80 t,同時施加對稱的兩組1 t橫向集中剪力,間隔2 m。在數(shù)值結(jié)果中直接提取梁節(jié)點的位移與彎矩。

圖3顯示了不同拉伸載荷下解析模型與數(shù)值模型得到的管道撓曲度對比情況?？梢钥闯?不同拉伸載荷作用下,理論模型得到的梁曲撓度和數(shù)值模型結(jié)果總體吻合均較好,驗證了解析模型的正確性。當(dāng)拉伸載荷增加時,梁曲撓度逐漸減小,但分布趨勢保持不變,說明彎曲變形被抑制；同時隨著拉伸載荷線性增大,跨中最大撓度降幅逐漸降低。需要說明的是,數(shù)值模型由于考慮了管道軸向拉伸剛度而更趨于實際情況,因此當(dāng)沒有拉力作用時,其水平長度由于彎曲效應(yīng)而有所減小,當(dāng)拉力逐漸增加時,管道長度逐漸變長,大于理論模型4 m的長度,但總體結(jié)果分布與理論模型保持一致。

為了消除管道長度變化因素,在數(shù)值模型中提取節(jié)點彎矩并按照節(jié)點在初始位置的坐標(biāo)進(jìn)行彎矩分布繪制,進(jìn)而與理論模型結(jié)果對比,如圖4所示?？梢钥闯?軸向拉力為0時,管道中間2 m段內(nèi)曲率恒定,管道處于純彎曲狀態(tài)。當(dāng)施加軸向拉力后,管道彎矩整體下降,說明拉力使得彈性梁彎矩變形減小,尤其在中間2 m段內(nèi),曲率分布呈現(xiàn)“凹”形態(tài),橫向剪力施加處的曲率極大,而管道中間附近曲率相對平緩。隨著軸向拉力線性增大,管道曲率下降幅度逐漸降低,中間曲率越平滑。數(shù)值模型彎矩分布相對理論模型結(jié)果略微偏右,這是由于管道產(chǎn)生伸長變形影響所致,但是兩者總體吻合很好,進(jìn)一步驗證了理論模型的正確性。

圖3 不同拉力下梁彎曲撓度結(jié)果對比

圖4 不同拉力下彈性梁彎矩分布結(jié)果對比

3 彎曲變形影響因素分析

根據(jù)理論模型,除了軸向拉伸力外,影響拉剪梁彎曲變形的因素同時還包括橫向集中剪力與彎曲剛度,下面以第2節(jié)相同實例進(jìn)行分析討論。

3.1 橫向集中剪力影響

在軸向拉伸載荷為20 t條件下,不同橫向集中剪力作用下的彈性梁曲率分布如圖5所示?？梢钥闯?隨著剪力逐漸增大,梁曲率總體變大,但趨勢保持一致。且隨著橫向剪力線性增大,其剪力作用位置極大曲率與彈性梁跨中曲率呈現(xiàn)線性增加,但梁跨中曲率平滑性降低。保持橫向剪力不變,僅改變剪力對稱分布位置,梁曲率分布變化如圖6所示。當(dāng)集中剪力作用間距逐漸加大,彈性梁曲率分布趨勢保持不變,但是剪力作用處的曲率極大值逐漸下降,這是由于剪力對梁彎曲作用被鉸支端限制所致。因此,彈性梁整體彎曲變形減小,同時跨中區(qū)域曲率分布更加平緩。

圖5 不同橫向集中剪力作用下彈性梁曲率分布

圖6 不同位置橫向集中剪力作用下彈性梁曲率分布

3.2 彎曲剛度影響

圖7 不同彎曲剛度條件下彈性梁曲率分布

當(dāng)軸向拉伸載荷為20 t,橫向集中剪力為5 t條件下,不同量值彎曲剛度對應(yīng)的彈性梁曲率分布如圖7所示。當(dāng)彎曲剛度逐漸增加,彈性梁曲率總體上逐漸下降,尤其是橫向剪力作用處的曲率極大值逐漸下降,同時中間區(qū)域曲率的“凹”形態(tài)逐漸平緩并趨于均勻,說明相同載荷作用下彈性梁更難發(fā)生彎曲變形。值得注意的是,隨著彎曲剛度的逐漸增大,跨中曲率呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢,與其他位置曲率變化明顯不同。這是由于當(dāng)梁彎曲剛度較小時,同樣載荷作用下,其彎曲變形由剪力加載位置向跨中位置下降更快,“凹”形態(tài)更加凸顯。因此有時為了使得彎曲剛度更小(更容易發(fā)生彎曲)的彈性梁跨中曲率更大,可能需要施加更大的橫向集中剪力才能實現(xiàn)。

3.3 拉剪耦合影響

由于彈性梁跨中曲率通常是實際工程中所關(guān)注的,因此當(dāng)彎曲剛度保持120 kN·m2不變時,得到跨中曲率隨拉剪多軸載荷共同作用下的變化規(guī)律,如圖8所示三維分布曲面?？梢钥闯?當(dāng)軸向拉力越大,同時橫向剪力越小,彈性梁跨中彎曲變形則越小；反之,跨中彎曲變形則迅速增大。當(dāng)軸向拉力不變時,跨中曲率隨橫向剪力基本呈現(xiàn)線性變化；當(dāng)橫向剪力不變時,跨中曲率隨軸向拉力的增加而下降,且下降幅度由大變小。因此,為獲取同樣的柔性管道中間曲率,可以根據(jù)試驗加載能力靈活調(diào)整軸向拉力與橫向集中剪力的配比。

為方便工程應(yīng)用,將圖8所示曲面擬合為彈性梁跨中曲率κ0隨軸向拉力F和橫向剪力T1同步變化的經(jīng)驗公式[式(7)],其中：0≤F≤60 t,0≤T1≤12 t。該公式根據(jù)曲面數(shù)據(jù)分布規(guī)律,采用Gauss方程進(jìn)行擬合。擬合前后的對比情況如圖9所示,可以看出,經(jīng)驗公式獲得的曲面與原始數(shù)據(jù)點之間誤差較小,滿足工程使用精度。

κ0=0.003 94+5.16×

(7)

圖8 彈性梁跨中曲率與拉力和剪力的綜合關(guān)系

圖9 拉剪作用下彈性梁跨中曲率分布擬合曲面

4 結(jié)論

推導(dǎo)了軸向拉伸載荷與橫向集中剪力共同作用下彈性梁彎曲變形的一般解析表達(dá)式,并建立了結(jié)構(gòu)三維有限元數(shù)值模型。以195 mm內(nèi)徑、4 m 有效長度的實際柔性管道試件為例,對彎曲變形的影響因素及變化規(guī)律進(jìn)行了分析討論,得到結(jié)論如下。

(1)由于考慮截面拉伸剛度,數(shù)值模型得到的梁曲撓度和彎矩普遍比理論結(jié)果略偏右,但是兩者總體趨勢和量值吻合較好,驗證了解析模型的正確性。

(2)軸向拉力使得跨中區(qū)域曲率呈現(xiàn)“凹”形態(tài)。拉力越大,梁總體曲率越小且下降幅度漸小,跨中區(qū)域曲率分布越平滑,拉力的存在抑制了梁曲變形。

(3)橫向集中剪力越小、分布越靠近鉸支端,梁總體曲率基本線性減小,跨中區(qū)域曲率分布越平滑。彎曲剛度越小,由于“凹”形態(tài)加速突顯,使得跨中曲率呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。

(4)梁跨中曲率隨拉力的減小和橫向集中剪力的增大而迅速增大,將該變化規(guī)律擬合為滿足工程精度的經(jīng)驗表達(dá)式,為柔性管道等試驗加載工況的設(shè)計提供有效工具。