輸入飽和約束下多智能體的有限時間一致

孫新勇吳 杰侯至丞張 弓楊文林韓彰秀

(1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院,廣東廣州 510640;2.廣州中國科學(xué)院先進(jìn)技術(shù)研究所,廣東廣州 511458)

1 引言

一致性問題作為多智能體分布式協(xié)同控制的基礎(chǔ)問題,近年來受到廣泛關(guān)注.一致性問題的目標(biāo)是設(shè)計一個基于局部信息的分布式控制器,使所有智能體的狀態(tài)收斂到相同值.現(xiàn)有成果大多只能實現(xiàn)漸近一致,即只有當(dāng)時間趨于無窮大時,系統(tǒng)的狀態(tài)才能實現(xiàn)一致.而在某些實際應(yīng)用中,多智能體系統(tǒng)往往存在輸入飽和約束,且要求在有限時間內(nèi)實現(xiàn)快速一致,因此很有必要設(shè)計一種抗飽和的有限時間控制器.

有限時間一致相較于漸近一致具有更快的收斂速度、更好的抗擾動性能和更高的精度[1–2].文獻(xiàn)[3–5]研究了切換拓?fù)湎碌挠邢迺r間一致問題,設(shè)計了一種集中式切換協(xié)同控制器,從而快速實現(xiàn)有限時間一致.當(dāng)系統(tǒng)存在擾動時,文獻(xiàn)[6–7]證明了跟蹤誤差可以在有限時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近的有界區(qū)域.對二階多智能體系統(tǒng)速度不可測的情況,文獻(xiàn)[8–10]基于有限時間一致觀測器,證明了在通信拓?fù)浜涂刂茀?shù)滿足一定條件的情況下,可以實現(xiàn)協(xié)同跟蹤任務(wù).文獻(xiàn)[11]研究了二階多智能體的有限時間跟蹤問題.

前述的控制算法沒有考慮系統(tǒng)存在輸入飽和的情況,而在實際的控制系統(tǒng)中,輸入飽和是系統(tǒng)普遍存在的一種控制約束.它是由智能體的驅(qū)動能力有限引起的.如果處理不當(dāng)會導(dǎo)致嚴(yán)重的性能下降甚至使系統(tǒng)失穩(wěn).文獻(xiàn)[12–13]介紹了一些輸入飽和問題的研究方法,但只能保證系統(tǒng)漸近一致,而針對輸入飽和約束下的有限時間一致的成果較少.當(dāng)系統(tǒng)存在輸入飽和約束時,文獻(xiàn)[14–15]研究了基于增加冪次積分的的有限時間姿態(tài)和編隊控制問題,控制器有較好的抗擾性且可實現(xiàn)全局收斂.相較于增加冪次積分方法,利用齊次理論實現(xiàn)有限時間控制的過程更簡便,所得控制器的形式也更簡單.文獻(xiàn)[16–19]基于齊次理論設(shè)計了輸入飽和約束下的有限時間一致控制器.然而,該理論卻對非齊次系統(tǒng)的控制器設(shè)計無能為力,文獻(xiàn)[20–21]提出了擴(kuò)展齊次定理,文獻(xiàn)[22–23]利用擴(kuò)展齊次定理研究了輸入飽和約束下的有限時間一致問題,由于對不同的狀態(tài)變量分別使用相同的飽和函數(shù),未解決飽和度分配不均勻的問題.文獻(xiàn)[24–26]基于單個飽和函數(shù),解決了飽和度分配不均的問題.

本文針對受輸入飽和約束下的二階線性多智能體系統(tǒng),提出了一種抗飽和有限時間一致控制器,相較于文獻(xiàn)[22–23],本文基于單飽和函數(shù),解決了飽和度在控制器的位置和速度反饋之間分配不一致的問題,控制器結(jié)構(gòu)更加簡單易于應(yīng)用.相較于文獻(xiàn)[24–26],本文引入了雙曲正切函數(shù)和嵌套齊次函數(shù)來解決輸入飽和問題,降低了控制器設(shè)計的復(fù)雜性,仿真結(jié)果驗證了當(dāng)多智能體系統(tǒng)存在輸入約束時,本文設(shè)計的控制器能使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)完成一致和跟蹤任務(wù).

本文其余部分結(jié)構(gòu)如下:第2節(jié)介紹了一些有用的預(yù)備知識和模型描述;第3節(jié)和第4節(jié)分別設(shè)計了兩類連續(xù)有限時間一致和跟蹤控制器;第5節(jié)通過仿真實例,驗證了算法的可行性;最后,第6節(jié)對全文進(jìn)行總結(jié).

以下符號將在本文的其余部分使用:定義1N為每個元素都為1的列向量;sig(x)α=sgnx|x|α,其中|x|表示實數(shù)x的絕對值且sgnx是符號函數(shù).對任意的向量x=[x1··· xn]T∈Rn和正實數(shù)α>0,都有sig(x)α=[sig(x1)α ···sig(xn)α]T和tanhx=[tanhx1···tanhxn]T.令tanht=是界為[?1,1]的飽和函數(shù).

2 問題描述和預(yù)備知識

2.1 問題描述

本文研究了輸入飽和約束下的二階多智能體系統(tǒng),其動力學(xué)模型為

2.2 預(yù)備知識

3 有限時間一致控制器設(shè)計

對于無領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體有限時間一致性問題,通信拓?fù)錆M足以下假設(shè).

假設(shè)1智能體之間的通信拓?fù)錇闊o向連通圖.

為了方便,設(shè)

為協(xié)作誤差,將用來構(gòu)造控制輸入ui.

考慮式(1)所描述的多智能體系統(tǒng),提出了如下基于相對位置和速度信息的分布式控制器:

其中L為圖G的Laplacian矩陣.

根據(jù)M的定義,有1N是對應(yīng)單特征值0的特征向量,1為M的N ?1重特征值.有當(dāng)且僅當(dāng)x1,1=x2,1=···=xN,1和x1,2=x2,2=···=xN,2時,q=0和p=0.因此,當(dāng)且僅當(dāng)q和p在有限時間內(nèi)收斂到零時,多智能體系統(tǒng)(1)才能實現(xiàn)有限時間一致.

根據(jù)文獻(xiàn)[22],在原點(diǎn)附近有tanh(sig(x)α)=sig(x)α+o(sig(x)α),則在原點(diǎn)附近系統(tǒng)(9)可改寫為

根據(jù)引理1可以得出,如果系統(tǒng)(9)滿足以下條件,則系統(tǒng)(9)是全局有限時間穩(wěn)定的:

1)系統(tǒng)(9)全局漸進(jìn)穩(wěn)定;

2)系統(tǒng)(11)是齊次度κ<0的齊次系統(tǒng),且為局部漸進(jìn)穩(wěn)定的:

3)在式(10)中滿足

其中:κ<0,r1>0,r2>0.

基于以上分析,得出以下定理.

定理1若假設(shè)1成立,且控制器參數(shù)滿足

h1,h2>0,β >1,rp=1+(p ?1)κ,κ<0,

則控制器(6)可使系統(tǒng)(1)在有限時間達(dá)到一致.

證證明過程可分為如下3個步驟:

步驟1首先,證明系統(tǒng)(9)的平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的,考慮如下候選Lyapunov函數(shù):

則根據(jù)引理1,系統(tǒng)(9)在原點(diǎn)的平衡點(diǎn)為全局有限時間穩(wěn)定的.又q=Mx1,p=Mx2,由此可見,系統(tǒng)(1)在控制器(6)的作用下實現(xiàn)了全局有限時間一致.

證畢.

鋅還會以ZnS形式存在于爐渣內(nèi)，其熔點(diǎn)高，易被爐渣中的PbO熔融粘結(jié)相所包圍，不易完全被氧化，也不易熔化，始終存在于這三段熔煉過程中。硫化鋅的存在將使?fàn)t渣粘度增大，爐渣表面致密黏稠，使?fàn)t渣還原煙化效率降低，增加了拋渣含鉛量。

4 有限時間跟蹤控制器設(shè)計

對于多智能體系統(tǒng)有限時間跟蹤問題,通信拓?fù)錆M足以下假設(shè).

假設(shè)2智能體之間的通信拓?fù)錇闊o向連通圖.此外,至少有一個跟隨者可以訪問領(lǐng)導(dǎo)者的信息.

為了方便,本文令

定理2若假設(shè)2成立且控制器參數(shù)滿足定理1,則在控制器(17)的作用下,系統(tǒng)(1)能夠在有限時間內(nèi)跟蹤系統(tǒng)(2)的狀態(tài).

考慮以下候選Lyapunov函數(shù):

5 仿真結(jié)果

在本節(jié)中,仿真實例說明了所提出的控制器與現(xiàn)有控制器相比的優(yōu)點(diǎn).

考慮由系統(tǒng)(1)和(2)描述的多智能體跟蹤系統(tǒng).

圖1 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 The state response of system

圖2 控制器的輸入曲線Fig.2 The input of controller

仿真實例2當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)方程為

其中初始狀態(tài)為[0;0],仿真結(jié)果如圖3和圖4所示.

圖3 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 The state response of system

圖4 控制器的輸入曲線Fig.4 The input of controller

從圖1可以看出,當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)為系統(tǒng)(21)形式時,在本文提出的控制器作用下,跟隨者智能體系統(tǒng)(1)在有限時間內(nèi)跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài),且相較于文獻(xiàn)[22]和文獻(xiàn)[25]提出的控制器本文提出的控制器能在較短的時間內(nèi)實現(xiàn)跟蹤任務(wù).圖2顯示本文提出的控制器的輸入在任何時間都滿足輸入飽和約束.而文獻(xiàn)[22]和文獻(xiàn)[25]提出的控制器,控制器出現(xiàn)多次飽和,導(dǎo)致控制系統(tǒng)性能的下降.

類似的,從圖3 可以看出,當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)為系統(tǒng)(22)形式時,在本文提出的控制器作用下,跟隨者智能體系統(tǒng)(1)在有限時間內(nèi)跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài).圖4顯示本文提出的控制器在任何時間都滿足輸入飽和約束.

6 結(jié)論

本文研究了輸入飽和約束下的多智能體系統(tǒng)的有限時間一致性和跟蹤問題.通過引入雙曲正切函數(shù)和嵌套齊次函數(shù)來解決輸入飽和問題,降低了控制器設(shè)計的復(fù)雜性,通過使用單飽和函數(shù),解決了飽和度在控制器的位置和速度反饋項中分配不一致的問題.最后,通過仿真實驗驗證了當(dāng)多智能體系統(tǒng)存在輸入飽和約束時,提出的控制器相對現(xiàn)有控制器能以較快的收斂速度實現(xiàn)一致和跟蹤任務(wù).