合成H ∞動態(tài)觀測器存在性問題的研究

唐 敏,徐躍良

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610000)

1 引言

狀態(tài)觀測器的研究,尤其是由輸入和輸出估計動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的問題,最早可追溯到1964年.自Luenberger引入動態(tài)系統(tǒng)的觀測器后[1–2],它已成為現(xiàn)代控制理論與設(shè)計中必不可少的基本概念與手段之一.

在過去的幾十年里,Luenberger觀測器(也稱比例觀測器(proportional observer,PO))已經(jīng)擴展到具有未知輸入的線性系統(tǒng)中,關(guān)于該觀測器的設(shè)計理論已經(jīng)有相當(dāng)豐富的研究成果.例如,文獻[3]提出了具有未知輸入的最小階觀測器.文獻[4]給出了具有未知輸入的線性系統(tǒng)的降階觀測器及相關(guān)理論.文獻[5–6]利用直接的矩陣計算給出了未知輸入線性系統(tǒng)的全階觀測器的設(shè)計方法,文獻[7]對該方法進行了改進,得到了更一般的設(shè)計方法.

___由于比例觀測器(PO)不能很好的消除穩(wěn)態(tài)誤差,因此,在PO基礎(chǔ)上進一步發(fā)展得到比例積分觀測器(proportional integral observer,PIO),它考慮了漸進時間行為.PIO是一個具有積分效應(yīng)的觀測器,主要優(yōu)點是具有時間恢復(fù)效果,需要相對較低的觀測器增益.相較于傳統(tǒng)觀測器,它的不同之處在于為參數(shù)選擇提供了一定的自由度.文獻[8]首次提出PIO并應(yīng)用于單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng).之后,文獻[9]把比例積分觀測器應(yīng)用于魯棒控制系統(tǒng).文獻[10]利用連續(xù)時間PIO,推導(dǎo)出回路轉(zhuǎn)換復(fù)原法(loop transfer recovery,LTR)的設(shè)計方法.文獻[11]引入了廣義逆矩陣方法來解決具有多個延遲和未知輸入的廣義系統(tǒng)的PIO設(shè)計問題.

近年來,稱之為動態(tài)觀測器(dynamic observer,DO)的研究成果也很多[12–15].動態(tài)觀測器被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng),相較于PO和PIO,其不同之處在于觀測器增益中包含一個動態(tài)變量.從文獻[12]首次提出動態(tài)觀測器的概念,到文獻[13]采用線性矩陣不等式優(yōu)化方法設(shè)計H∞輸出動態(tài)觀測器,研究對象不斷豐富.由于系統(tǒng)模型總是含有一些不確定因素,這些不確定因素可能由附加的未知噪聲、環(huán)境影響、未知干擾、不確定或緩慢變化的參數(shù)造成.它們使系統(tǒng)的動態(tài)性能變差,控制變得更為困難,為保證系統(tǒng)的性能,因此研究擾動對系統(tǒng)的影響必不可少,并涌現(xiàn)了大量的優(yōu)秀研究成果,提出了許多適用于實際問題的擾動抑制方法,如文獻[16]對可實施的滑模控制設(shè)計解決方案進行了分類,并為將來的滑?？刂蒲芯刻峁┝藚⒖伎蚣?文獻[17]針對一類單輸入單輸出非線性不確定系統(tǒng)的狀態(tài)和未知輸入估計,提出了一種離散時間非線性滑模觀測器,文獻[18]研究了一類具有時滯和不確定性的基于觀測器的Takagi-Sugeno模糊滑?？刂茝V義系統(tǒng)設(shè)計問題.除此之外,設(shè)計的H∞觀測器是一種為使擾動和不確定性影響盡可能小的觀測器.文獻[19]第一次提出H∞觀測器的概念,進一步,文獻[20]研究了一類具有時滯狀態(tài)和參數(shù)不確定性的線性離散系統(tǒng)的H∞觀測器的設(shè)計問題,之后,H∞觀測器被應(yīng)用于離散時間系統(tǒng)和連續(xù)時間延遲系統(tǒng)的控制設(shè)計問題[21–22],近來,為提高系統(tǒng)性能,采用了故障檢測和隔離技術(shù),如文獻[23]研究了基于區(qū)間觀測器和漸近降階觀測器的不確定系統(tǒng)執(zhí)行器故障檢測問題.

最近,文獻[24]提出了一個綜合了DO觀測器和H∞觀測器的合成H∞動態(tài)觀測器(unified H∞dynamic observer,UHDO),使其兼具能處理存在未知輸入和擾動的線性系統(tǒng),又能處理沒有未知輸入和擾動的線性系統(tǒng).文中給出了這種動態(tài)觀測器的參數(shù)需滿足的條件,即一組矩陣方程—一組特殊的Sylvester矩陣方程組.文中也給出了這組矩陣方程,如果有解,動態(tài)觀測器參數(shù)可能的形式,然矩陣方程組何時有解? 若有解,能否找出其通解沒有涉及.對Sylvester矩陣方程組的研究,在現(xiàn)有的文獻中,已有幾種形式的矩陣方程組被提及.例如,文獻[25–27]研究了周期Sylvester矩陣方程問題.文獻[28]討論了關(guān)于兩個四元數(shù)矩陣方程組的解的問題.然而對本文中的Sylvester矩陣方程組是否有解,尚沒發(fā)現(xiàn)有具體的結(jié)果.本文針對文獻[24]提出的UHDO參數(shù)化設(shè)計方法,在尋找UHDO時,對需解的Sylvester矩陣方程組進行探討,利用矩陣理論得到了該Sylvester矩陣方程組有解的充分必要條件,及有解時解的結(jié)構(gòu)—通解.從而方便在得到相應(yīng)矩陣不是Hurwitz陣時,有效調(diào)整參數(shù).

本文使用以下符號定義:Rm×n表示維度為m×n的實數(shù)矩陣,r(·)=rank(·)表示矩陣的秩,上標(·)+表示矩陣的廣義逆,上標(·)?表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置,上標(·)⊥表示滿足(·)⊥(·)=0的行滿秩矩陣,∞表示H∞范數(shù),0和I分別表示適當(dāng)維數(shù)的零矩陣和單位矩陣.

2 問題描述

所謂U HDO設(shè)計問題,就是對如下線性系統(tǒng):

尋找如下結(jié)構(gòu)動態(tài)觀測器稱為UHDO:

注1更嚴格地說,是當(dāng)w=0時,e →0(t →+∞)動態(tài)觀測器存在.

對于一個給定的矩陣,是否是Hurwitz陣有成熟的方法.因此矩陣方程組是否有解、有解時,解的結(jié)構(gòu)是怎么樣的,這是尋找UHDO的關(guān)鍵問題.為了便于參數(shù)刻畫矩陣方程組(3)的解及當(dāng)w0時,的需要,在文獻[24]中還引入了矩陣E,K,并且使矩陣T滿足下式

目的是容易求解相應(yīng)的參數(shù),使方程易解.

原文是在假定式(3)–(4)有解的情況下,給出了P,Q,R,S,G,N,J,H,M可能的形式.但何條件下有解,其全部解的結(jié)構(gòu)是本文的研究重點,即

有解的充要條件和有解時解的結(jié)構(gòu).

3 主要結(jié)果

定理1矩陣方程組(5)有解的充要條件如下:rank(CF)=rank(F)及

為了便于閱讀定理1的證明,將定理分成4個部分,每個部分以引理的形式,單獨進行闡述,在矩陣C已知的情況下,引理2表明了矩陣方程組(5)中的后3個矩陣方程有解的充要條件;引理3在矩陣方程組(5)中的后3個矩陣方程有解的條件下,給出了參數(shù)矩陣T,K的具體結(jié)構(gòu)(通解);引理4闡述了在矩陣方程組(5)中的后3個矩陣方程有解的條件下,除TF=0外,矩陣方程組(5)的其他方程有解的充要條件及解的形式(通解);引理5在引理4的基礎(chǔ)上,給出了能使TF=0的充要條件,通過引理5,最后證明了定理1,即矩陣方程組(5)有解的充要條件,具體過程如下.

要使矩陣方程組(5)有解,它的部分矩陣方程組有解.因此式(5)中的后3個方程應(yīng)有解,其解的情況由如下引理給出.

引理2對給定的矩陣C,矩陣方程組

4 矩陣方程組解的算法

5 定理1的應(yīng)用—實例分析

不是一個Hurwitz陣,從而合成動態(tài)觀測器(2)有當(dāng)w=0時,不滿足e →0(t →+∞).

從上述數(shù)值例子可以看出,對同一系統(tǒng)而言,通過取不同參數(shù)z,得到的合成動態(tài)觀測器(2),有如下情況:

1)當(dāng)w=0時,滿足e →0(t →+∞);

2)當(dāng)w=0時,不滿足e →0(t →+∞).

此數(shù)值例子很好地揭示了本文刻畫的參數(shù)選取方式的對合成H∞動態(tài)觀測器的影響.

當(dāng)設(shè)n=3,m=l=p=q=d=2時,不妨設(shè)

有CF=,則rank(F)=2,rank(CF)=1,兩者不相等,根據(jù)定理1知,矩陣方程組無解.故對系統(tǒng)(1)而言,不會存在如文中結(jié)構(gòu)的合成動態(tài)觀測器.

6 結(jié)論

本文研究了文獻[24]提出的合成H∞動態(tài)觀測器存在性問題,針對合成H∞動態(tài)觀測器存在時需要滿足的一組特殊Sylvester矩陣方程組是否有解進行了討論,利用矩陣理論進行相關(guān)推導(dǎo)和證明,得到了此Sylvester矩陣方程組有解的充分必要條件,以及有解時解的結(jié)構(gòu),縮小了UHDO設(shè)計問題中參數(shù)的搜索范圍,并給出了該Sylvester矩陣方程組的求解算法和具體的數(shù)值例子.由于本文只在矩陣方程組有解時,就如何縮小參數(shù)的搜索范圍進行了討論,至于如何確定精確參數(shù)值還未討論,這也是需要進一步研究的方向.