航向已知條件下純方位跟蹤的可觀測(cè)性

李洪瑞

(江蘇自動(dòng)化研究所,江蘇連云港 222061)

1 引言

純方位跟蹤(bearings-only tracking,BOT)也稱(chēng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析(target motion analysis,TMA),是條件可觀測(cè)性系統(tǒng),其可觀測(cè)性和跟蹤效果依賴(lài)于觀測(cè)平臺(tái)的機(jī)動(dòng)(方式)[1–2],因此BOT問(wèn)題研究的核心內(nèi)容除了目標(biāo)跟蹤算法外還包括系統(tǒng)的可觀測(cè)性、觀測(cè)平臺(tái)機(jī)動(dòng)方式[3–4],多年來(lái),已經(jīng)開(kāi)展了許多卓有成效的研究.可觀測(cè)性是BOT的基本問(wèn)題,已獲得許多結(jié)果,例如由觀測(cè)器加速度矢量、初始時(shí)刻目標(biāo)相對(duì)位置和速度矢量的關(guān)系表達(dá)的可觀性條件[1]、僅用(測(cè)量的)方位表達(dá)的可觀測(cè)性條件[5]以及目標(biāo)N–階多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)假設(shè)條件下[6]、勻速圓周和勻加速直線運(yùn)動(dòng)假設(shè)條件下[7–9]的可觀測(cè)性條件和不可觀測(cè)條件[10]等.在BOT算法方面,從早期的確定性解算到以極大似然為基礎(chǔ)的批處理算法[2–3],從線性/非線性最小二乘濾波到以卡爾曼濾波為基礎(chǔ)的各種先進(jìn)濾波算法等[11–13],系統(tǒng)性能不斷得到改進(jìn).在觀測(cè)平臺(tái)機(jī)動(dòng)研究方面,以費(fèi)希爾信息矩陣為指標(biāo)并應(yīng)用現(xiàn)代最優(yōu)控制理論獲得了觀測(cè)器常速率下的理論最優(yōu)航向[14],以及在觀測(cè)器機(jī)動(dòng)約束[15]和戰(zhàn)場(chǎng)威脅環(huán)境約束[16]條件下獲得的更符合實(shí)際的觀測(cè)站優(yōu)化軌跡等.文獻(xiàn)[17]以幾何因子為優(yōu)化指標(biāo),獲得了純方位多目標(biāo)定位問(wèn)題中多運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的最優(yōu)布局算法.

雖然BOT問(wèn)題的研究取得了許多成果,但是在精度、反應(yīng)時(shí)間、對(duì)觀測(cè)器機(jī)動(dòng)(方式)的依賴(lài)以及不同條件或背景的應(yīng)用等方面還不能完全滿足實(shí)際需求,目前國(guó)內(nèi)外仍有許多不同興趣點(diǎn)的研究[17–19].由于BOT需要觀測(cè)器進(jìn)行有效機(jī)動(dòng),這個(gè)過(guò)程一般需要耗費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間,影響觀測(cè)平臺(tái)占位和系統(tǒng)的應(yīng)用.在實(shí)際中,通常存在已知目標(biāo)的某些先驗(yàn)信息的情況,利用先驗(yàn)信息的BOT有利于提高應(yīng)用系統(tǒng)性能[20],在文獻(xiàn)[21]中利用目標(biāo)前后段“等速”的先驗(yàn)條件,在觀測(cè)器不機(jī)動(dòng)情況下得到了分段常速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的參數(shù)估計(jì).然而,利用先驗(yàn)信息的BOT仍是有條件的可觀測(cè)系統(tǒng),當(dāng)前,在不同先驗(yàn)信息條件下已得到了由觀測(cè)器和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)關(guān)系表達(dá)的可觀測(cè)條件、觀測(cè)平臺(tái)勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的可觀測(cè)條件等[2–3,21],條件表達(dá)較為復(fù)雜.

本文研究已知目標(biāo)航向條件下BOT的可觀測(cè)條件,在對(duì)BOT觀測(cè)方程通過(guò)數(shù)學(xué)處理成線性系統(tǒng)后,將推導(dǎo)觀測(cè)系統(tǒng)Gram矩陣行列式的解析表達(dá)式,并得到由觀測(cè)方位和已知航向表示的簡(jiǎn)潔的系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件.然后研究了不可觀測(cè)系統(tǒng)的觀測(cè)器運(yùn)動(dòng)形態(tài),證明了系統(tǒng)不可觀測(cè)的充分必要條件.最后通過(guò)數(shù)字計(jì)算例,對(duì)本文研究結(jié)論進(jìn)行了數(shù)字驗(yàn)證和直觀展示.

2 問(wèn)題描述

目標(biāo)及觀測(cè)器態(tài)勢(shì)如圖1所示,設(shè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)T作勻速直線(constant velocity,CV)運(yùn)動(dòng),且已知其航向?yàn)镃t,觀測(cè)器平臺(tái)O為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)(速度非0).由于目標(biāo)航向已知,故設(shè)狀態(tài)向量為

其中:xt,0,yt,0為初始時(shí)刻(t0=0時(shí)刻)目標(biāo)位置坐標(biāo);Vt(0)為目標(biāo)航速;右上角T表示向量或矩陣取轉(zhuǎn)置.顯然Xk為時(shí)常量.

圖1 目標(biāo)與觀測(cè)器運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)Fig.1 Kinematic situation of target and observer

將方位測(cè)量方程進(jìn)行適當(dāng)數(shù)學(xué)變換,可得到如下線性狀態(tài)觀測(cè)系統(tǒng):

式中:Fk=I3×3為3階單位矩陣,

xo,k,yo,k為tk時(shí)刻觀測(cè)器坐標(biāo);Bk為tk時(shí)刻測(cè)量的目標(biāo)方位,其測(cè)量方程為

式中:xt,k,yt,k為tk時(shí)刻目標(biāo)的直角坐標(biāo):xt,k=xt,0+tkVtsinCt,yt,k=xt+tkVtcosCt;uk,vk,wk為誤差項(xiàng).本文主要研究系統(tǒng)的可觀測(cè)性理論,因此不考慮系統(tǒng)的各種誤差,即假設(shè)各誤差項(xiàng)都為0(或0向量).

根據(jù)現(xiàn)代控制系統(tǒng)理論,在觀測(cè)時(shí)間[t1,tm]內(nèi)觀測(cè)系統(tǒng)(2)可觀測(cè)性判別的Gram矩陣為

本文將對(duì)|Gm|的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo),將得到觀測(cè)系統(tǒng)(2)可觀測(cè)或不可觀測(cè)的充分必要條件.

3 可觀測(cè)性定理

定理1觀測(cè)系統(tǒng)(2)可觀測(cè)的充分必要條件為:存在,使得

式中?(i,j,k)稱(chēng)為可觀測(cè)判別式,它與Ct有關(guān),因此若需區(qū)分Ct時(shí)可寫(xiě)成?(Ct,i,j,k).

BOT可觀測(cè)的最少測(cè)量個(gè)數(shù)是4個(gè)[2,5],從定理1可知,已知目標(biāo)航向的BOT可觀測(cè)的最少測(cè)量個(gè)數(shù)減少為3個(gè).

定理1的證明較復(fù)雜,將在第4節(jié)給出.這里先給出由它得到的3個(gè)推論.為此,記

式中方位的雙下標(biāo)表示兩方位取差,即Bij=Bj ?Bi.當(dāng)i,j,k中存在任意兩個(gè)相等或3個(gè)全相等時(shí),函數(shù)Γ(i,j,k)的值為0/0 型表達(dá)式,在本文并不需要討論它,因此后續(xù)關(guān)于Γ(i,j,k)的描述或結(jié)論中,如沒(méi)有特別說(shuō)明,都默認(rèn)假設(shè)所涉及的正整數(shù)指標(biāo)i,j,k等互不相等.

4 可觀測(cè)性定理證明

為證明定理1,先給出求Gm行列式解析式的引理1,其證明詳見(jiàn)附錄C.

5 進(jìn)一步研究

由定理2可得如下推論.

推論4若觀測(cè)器勻速直線運(yùn)動(dòng),則觀測(cè)系統(tǒng)(2)不可觀測(cè)的充分必要條件是式(23)成立.

BOT系統(tǒng)在觀測(cè)器勻速直線運(yùn)動(dòng)情況下是不可觀測(cè)的[2],而從推論4可知,已知目標(biāo)航向的BOT系統(tǒng)僅在觀測(cè)器與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌線平行時(shí)不可觀測(cè),這點(diǎn)更符合觀測(cè)器占位的需求[3,20],理論上只需避免觀測(cè)器航向與目標(biāo)同向或反向.

推論5觀測(cè)系統(tǒng)(2)可觀測(cè)的充分必要條件是:對(duì)所有互不相等的i,j,k均有

證根據(jù)推論2,觀測(cè)系統(tǒng)(2)可觀測(cè)的充分必要條件是存在1i0

6 數(shù)字計(jì)算例

給出4個(gè)數(shù)字計(jì)算例,分別對(duì)可觀測(cè)性判別矩陣行列式、不可觀測(cè)、可觀測(cè)等實(shí)例進(jìn)行直觀展示與驗(yàn)證.

例1可觀測(cè)性判別矩陣行列式的數(shù)字計(jì)算例.通過(guò)固定目標(biāo)參數(shù)、改變觀測(cè)器運(yùn)動(dòng)參數(shù)的方式對(duì)各種態(tài)勢(shì)進(jìn)行枚舉.設(shè)觀測(cè)采樣次數(shù)m=20～200,采樣時(shí)刻為tk=10k(s).目標(biāo)1運(yùn)動(dòng)速度、航向分別為5.144 m/s,100?,初始位置為(2000 m,9000 m),其運(yùn)動(dòng)方程為

目標(biāo)2是與目標(biāo)1平行的勻直運(yùn)動(dòng)目標(biāo),其運(yùn)動(dòng)方程為

目標(biāo)選取為目標(biāo)1或目標(biāo)2,觀測(cè)器速度在(0 m/s,50 m/s)、航向和初始方位B0在[0?,360?]范圍、初始距離D0在[1 km,40 km]范圍隨機(jī)選取,得到觀測(cè)器初始位置坐標(biāo)為xo,0=xt,0?D0sinB0,yo,0=yt,0?D0cosB0,這樣保證了各種態(tài)勢(shì)能得到枚舉,數(shù)字計(jì)算中當(dāng)式(15)左右兩邊計(jì)算誤差低于1.0×10?8時(shí)視為相等.共進(jìn)行106次蒙特卡洛計(jì)算,計(jì)算結(jié)果均顯示式(15)成立,在觀測(cè)器航向等于100?或280?時(shí),式(15)左右端等于0,這也間接驗(yàn)證了定理1的正確性.

例2觀測(cè)器勻速直線運(yùn)動(dòng)軌跡的不可觀測(cè)計(jì)算例.觀測(cè)器的航向在100?和280?中隨機(jī)選取,觀測(cè)器其余運(yùn)動(dòng)參數(shù)(速度和初始位置坐標(biāo))按照數(shù)字計(jì)算例1選取,枚舉觀測(cè)器軌跡與目標(biāo)軌跡平行的各種態(tài)勢(shì).共進(jìn)行106次蒙特卡洛計(jì)算,均得出|Gm|=0,表明系統(tǒng)不可觀測(cè).計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了定理2 的正確性.

例3觀測(cè)器復(fù)雜機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)軌跡的不可觀測(cè)計(jì)算例.仿真結(jié)果如圖2所示.圖2(a)中3個(gè)觀測(cè)器運(yùn)動(dòng)方程分別為

圖2(a)、圖2(b)中,觀測(cè)器1與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌線平行(圖2(a)正向、圖2(b)反向),而觀測(cè)器2、觀測(cè)器3具有復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌跡.圖2(a)、圖2(b)都顯示了觀測(cè)器1,2,3對(duì)目標(biāo)1,2 的觀測(cè)都得到了相同的方位觀測(cè)量(即多個(gè)觀測(cè)器對(duì)多個(gè)目標(biāo)得到相等的方位觀測(cè)量),可見(jiàn)3個(gè)觀測(cè)器是等效的,并且由于3個(gè)觀測(cè)器中任意一個(gè)對(duì)2個(gè)(實(shí)際上有無(wú)窮多個(gè))目標(biāo)的方位觀測(cè)量相同,說(shuō)明3 個(gè)觀測(cè)系統(tǒng)是不可觀測(cè)的,即便觀測(cè)器2、觀測(cè)器3具有復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖2 觀測(cè)器具有復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡的不可觀測(cè)態(tài)勢(shì)Fig.2 Unobservable kinematic situation with complicated observer motion trajectory

事實(shí)上,從觀測(cè)器的運(yùn)動(dòng)方程可以看出,式(37)或式(40)為時(shí)間的線性函數(shù),式(38)或式(41)為時(shí)間的二次函數(shù),式(39)或式(42)為含時(shí)間的正弦運(yùn)算的復(fù)雜函數(shù),但是稍加計(jì)算便能夠得到:

可見(jiàn)不同觀測(cè)器對(duì)不同目標(biāo)觀測(cè)得到的方位觀測(cè)量相等.

數(shù)字計(jì)算例3驗(yàn)證了定理2的正確性,同時(shí)這也表明復(fù)雜的觀測(cè)器運(yùn)動(dòng)并不能保證系統(tǒng)的可觀測(cè)性.在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,即便已知目標(biāo)航向,觀測(cè)器的運(yùn)動(dòng)方式的確定也應(yīng)當(dāng)予以重視.

例4BOT計(jì)算例.目標(biāo)初始位置、航速、航向分別為(2083.78 m,11817.69 m),7.72 m/s,135?.為了進(jìn)行比較,考慮航向已知和未知的情況.觀測(cè)器1平臺(tái)為勻速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)參數(shù)為:初始位置(0.00 m,0.00 m)、航速6.17 m/s、航向10?.測(cè)量誤差為0.3?.觀測(cè)器2初始運(yùn)動(dòng)參數(shù)與觀測(cè)器1相同,在第3分鐘和第5分鐘進(jìn)行了轉(zhuǎn)向機(jī)動(dòng),航向分別為300?和50?.對(duì)目標(biāo)的跟蹤考慮3種條件:1)航向已知,采用觀測(cè)器1的信息;2)航向未知,采用觀測(cè)器2的信息;3)航向已知,采用觀測(cè)器2的信息.估計(jì)方法則由式(2)采用線性最小二乘法,進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真計(jì)算,結(jié)果如圖3所示.

從仿真結(jié)果可知,在航向已知的情況下,無(wú)需觀測(cè)平臺(tái)進(jìn)行機(jī)動(dòng),得到了目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)參數(shù).與目標(biāo)航向未知而通過(guò)觀測(cè)器機(jī)動(dòng)獲得可觀測(cè)條件進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算相比,前者所需觀測(cè)時(shí)間更短,在同樣觀測(cè)時(shí)間情況下精度更高.如果目標(biāo)航向已知,同時(shí)觀測(cè)器進(jìn)行有效機(jī)動(dòng),則目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)精度進(jìn)一步提高.在本例中,由于目標(biāo)和觀測(cè)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)航向不滿足式(23),因此BOT系統(tǒng)可觀測(cè),這也間接驗(yàn)證了定理1–2的正確性.

圖3 不同條件下BOT誤差Fig.3 Errors of BOT for different conditions

7 結(jié)論

在純方位觀測(cè)系統(tǒng)中利用已知的目標(biāo)航向進(jìn)行目標(biāo)跟蹤,其主要目的是期望系統(tǒng)可觀測(cè),而無(wú)需觀測(cè)平臺(tái)機(jī)動(dòng),有利平臺(tái)占位,縮短系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間.本文從方位測(cè)量關(guān)系和觀測(cè)器平臺(tái)運(yùn)動(dòng)方式研究了系統(tǒng)的可觀測(cè)性,通過(guò)詳細(xì)推導(dǎo)觀測(cè)系統(tǒng)的Gram矩陣行列式,得到并證明了系統(tǒng)可觀測(cè)的判斷準(zhǔn)則,并分析出了不可觀測(cè)系統(tǒng)的目標(biāo)與觀測(cè)器運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)特征.

這種由已知航向和方位測(cè)量關(guān)系表示的可觀測(cè)性判斷條件,可為被動(dòng)觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo).而由目標(biāo)航向與觀測(cè)器航向關(guān)系的可觀測(cè)性判別條件,可為觀測(cè)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)控制提供參考.

工程實(shí)際中,目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方式會(huì)更加復(fù)雜,例如勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)等,相應(yīng)的可觀測(cè)條件尚待研究.

附錄A 可觀測(cè)判別式性質(zhì)

本文用到的關(guān)于可觀測(cè)判別式?(i,j,k)的兩個(gè)性質(zhì):

性質(zhì)A1可觀測(cè)判別式?(i,j,k)對(duì)各個(gè)變量具有反對(duì)稱(chēng)性,即交換?(i,j,k)中任意兩個(gè)變量的順序,相應(yīng)函數(shù)值改變符號(hào):

這可應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出來(lái).由性質(zhì)A1很容易推導(dǎo)出如下性質(zhì)A2.

性質(zhì)A2若變量i,j,k中存在兩個(gè)相等,則?(i,j,k)=0,即

附錄B Γ(i,j,k)性質(zhì)

本文用到的關(guān)于Γ(i,j,k)的3個(gè)性質(zhì):

性質(zhì)B1交換i,j,k中的任意兩個(gè)變量,Γ(i,j,k)的值不變,即

根據(jù)式(10),結(jié)論顯然.

性質(zhì)B2若方位序列存在等效的勻速直線觀測(cè)軌跡,則改變i,j,k中的一個(gè)變量的值而其余兩個(gè)變量不變時(shí),Γ(i,j,k)的值不變,即

證根據(jù)性質(zhì)B1,只需證明Γ(i,j,k)=Γ(i,j,l).為此,計(jì)算Γ(i,j,l)?Γ(i,j,k)的分子?Γijkl,得

附錄C 引理1的證明

為了證明引理(即式(15)),將式(3)代入式(7),可得到Gm的表達(dá)如下: