不確定非仿射系統(tǒng)的引入動態(tài)逆的自抗擾控制器設計

陳志翔高欽和

(1.火箭軍工程大學導彈工程學院,陜西西安 710025;2.火箭軍士官學校導彈發(fā)射動力系，山東濰坊 262500)

1 引言

自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)是中科院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院韓京清研究員提出的一種幾乎不依賴被控對象數(shù)學模型且對非線性、不確定性和外部擾動具有較強魯棒性的控制方法[1].由于ADRC優(yōu)良的抗擾性能以及工程實現(xiàn)的簡便,ADRC已在廣泛的工業(yè)實踐中得到了大量的應用,如服務器的溫度控制[2]、直流變換器[3]、船舶航向控制[4]、推力矢量飛行器[5]等.值得一提的是,近些年來,ADRC的理論基礎研究也取得了顯著的進展,如文[6–9]對線性自抗擾控制(linear ADRC,LADRC)的性能進行了嚴格的理論分析,文[10–11]分析了非線性自抗擾控制(nonlinear ADRC,NLADRC)的穩(wěn)定性,更詳細的研究情況可參考綜述(見文[12–13]).

已有的大部分ADRC研究工作圍繞不確定仿射非線性系統(tǒng)輸出反饋控制展開,同時很多實際物理系統(tǒng)都必須描述為非仿射形式,如船舶航向控制系統(tǒng)[14]、磁懸浮系統(tǒng)[15–16]等,因此有必要研究不確定非仿射非線性系統(tǒng)的自抗擾控制設計問題.文[17]針對不確定單入單出非仿射系統(tǒng),結合神經(jīng)網(wǎng)絡(neural network,NN)和動態(tài)逆(dynamic inversion,DI)提出了一種輸出反饋控制器.文[18–19]研究表明利用NN估計非仿射系統(tǒng)的狀態(tài)和不確定性可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.基于NN的輸出反饋控制器最大的問題在于沉重的運算負擔.為了克服NN運算量大的問題,文[20]利用擴張高增益觀測器(extended high-gain observer,EHGO)估計系統(tǒng)的狀態(tài)和系統(tǒng)的不確定性,并結合DI解決了不確定非仿射反饋線性化系統(tǒng)輸出反饋控制器設計問題.文[21]在文[20]的基礎上,結合非線性擴張狀態(tài)觀測器(nonlinear extended state observer,NLESO)和DI設計了不確定非仿射非線性系統(tǒng)的自抗擾控制器.文[21]要求不匹配系統(tǒng)動態(tài)已知,這是一個比較強的假設條件.同時,文中只考慮了調(diào)節(jié)問題.文[22]在文[20]的基礎上,針對不確定非仿射系統(tǒng)設計了一種間接動態(tài)逆(indirect inversion method,IDI)方法.文[22]雖然利用了EHGO估計系統(tǒng)的狀態(tài)和系統(tǒng)的不確定性,但是并沒有利用EHGO對系統(tǒng)不確定性的估計值,而是通過系統(tǒng)狀態(tài)的估計值構造了更加復雜的IDI方法,同時該方法要求系統(tǒng)初始狀態(tài)已知.若不匹配系統(tǒng)動態(tài)不能精確已知,那么閉環(huán)系統(tǒng)只能實現(xiàn)弱性能復原(weak performance recovery).文[23]結合降階擴張狀態(tài)觀測器(reduced-order extended state observer,RESO)和動態(tài)逆,針對不確定非仿射嚴反饋非線性系統(tǒng)提出了一種LADRC設計方法,但是要求不匹配系統(tǒng)動態(tài)精確已知.

在經(jīng)典ADRC體系中,被控系統(tǒng)控制增益b的標稱值b0的選取對閉環(huán)系統(tǒng)性能有重要的影響.文[24]指出,閉環(huán)系統(tǒng)只有當滿足條件∈(0,2)時才能穩(wěn)定.文[7–8]將標稱值b0的取值范圍擴大到同時,文[25]將文[7–8]的標稱值b0的取值范圍進一步擴大.相比于目前的研究成果,DI的優(yōu)勢是可以有效避免標稱值b0的選取問題,只需要知道被控系統(tǒng)控制方向,即控制增益b的符號,即可.文[26]將DI運用到一級倒立擺的穩(wěn)定控制上,用來解決控制增益的不確定問題.

本文針對一類不確定非仿射嚴反饋非線性系統(tǒng),提出了一種LADRC設計方法.首先,利用微分同胚映射將嚴反饋非線性系統(tǒng)變換為積分串聯(lián)型系統(tǒng),然后針對該積分串聯(lián)型系統(tǒng)設計LADRC.基于LADRC的閉環(huán)系統(tǒng)具有3個時間尺度,位于最快時間尺度上的LESO 用來估計系統(tǒng)的狀態(tài)和不確定性,位于次快時間尺度上的DI用來解決非仿射輸入的控制律求解,系統(tǒng)動態(tài)位于最慢的時間尺度上.本文的主要貢獻可總結為:

1)與文[21–23]處理不確定非仿射嚴反饋非線性系統(tǒng)的方法不同,本文首先利用微分同胚映射,將嚴反饋非線性系統(tǒng)變換為積分串聯(lián)型系統(tǒng),并以此為基礎設計自抗擾控制器.

2)利用奇異攝動理論嚴格地分析基于設計的LADRC的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能.數(shù)值仿真和實驗結果驗證了提出的LADRC設計方法的可行性.

3)當非仿射非線性系統(tǒng)退化為仿射非線性系統(tǒng),當真實控制增益未知時,在經(jīng)典ADRC框架下會遇到控制增益的標稱值選取困難的問題.本文設計的DI可以避免該問題,可以證明DI解算的控制輸入相當于為經(jīng)典ADRC中利用真實控制增益的理想控制輸入加上一個一階低通濾波器.因此,當在經(jīng)典ADRC框架下控制增益的標稱值選取困難時,提出的LADRC提供了一種額外的ADRC設計思路.

2 問題描述

考慮一類不確定非仿射嚴反饋非線性系統(tǒng)

3 LADRC設計

首先利用DI來處理非仿射控制問題.定義

其中參數(shù)μ是一小正數(shù).

注6對于非仿射系統(tǒng),例如當

雖然方程F(ξ,ζ,z,w,u)=0無法解出具體的解析解,但是式(7)設計的DI的微分方程的解可以以任意精度逼近F(ξ,ζ,z,w,u)=0的解.具體的證明過程見第4部分.

注7若非仿射系統(tǒng)退化為仿射系統(tǒng),那么式(7)設計的DI解算的控制輸入相當于為經(jīng)典ADRC中的理想控制輸入加上一個一階低通濾波器,需要說明的是這里所指的經(jīng)典ADRC的理想控制輸入使用的是真實控制增益,而不是標稱控制增益.換言之,利用式(7)設計的DI求解控制輸入可以避免經(jīng)典ADRC中遇到的未知控制增益標稱值選取的問題.不妨設

其中:b表示系統(tǒng)真實控制增益,可能不知道其準確的數(shù)值,假設其標稱值為b0;d ∈R表示系統(tǒng)受到的干擾,包含系統(tǒng)模型不確定性和外部的擾動.

在經(jīng)典ADRC框架下,理想控制輸入為

但由于真實控制增益b未知,只能選取b0作為其標稱值進行控制器設計.為了保證基于經(jīng)典ADRC控制器的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,b和b0必須滿足關系

由于b>0,按照注5中函數(shù)K的選取方法,這里可以簡單地取K=1,那么式(7)設計的DI可寫為

接著做Laplace變換,可得

其中U(s)和Ur(s)分別是u和ur的Laplace變換.

式(8)表明式(7)設計的DI解算的控制輸入u相當于為經(jīng)典ADRC中的理想控制輸入ur加上一個一階低通濾波器,如圖1所示.對于低頻段的理想控制輸入ur,DI可以實現(xiàn)很好的控制律求解.

圖1 對于仿射系統(tǒng),DI解算的u與經(jīng)典ADRC中的理想控制輸入ur的關系Fig.1 The relationship between the u derived by DI and the ideal control input ur of the classical ADRC for affine systems

結合誤差動態(tài)方程(6)和式(7)設計的DI,閉環(huán)系統(tǒng)可表達為

注8直觀地理解,由于DI需要使用LESO的輸出,因此LESO的動態(tài)響應要遠快于DI,這就要求0<ε?μ?1.同時,在第4部分的證明過程中可以看到,參數(shù)ε/μ與LESO的估計精度和DI的求解精度相關,ε/μ越小,LESO的估計精度越高,并且DI的求解精度越高.

注9飽和函數(shù)sat(·)的引入是為了防止LESO的峰化現(xiàn)象破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性.飽和邊界Mi(i=1,2,···,n),Mσ可根據(jù)系統(tǒng)(3)的實際情況靈活選取.

4 主要結果

下面將證明設計的自抗擾控制器(10)–(11)不僅可以使系統(tǒng)(3)的狀態(tài)ξ跟蹤目標系統(tǒng)(5)的狀態(tài)ζ,還可以使系統(tǒng)(1)的狀態(tài)x跟蹤目標系統(tǒng)(4)的狀態(tài)r.

定義快時變變量

下面將分析閉環(huán)系統(tǒng)(13)對應的邊界系統(tǒng)和退化系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由于z子系統(tǒng)是有界輸入有界狀態(tài)穩(wěn)定的,因此將主要分析e/s/η子系統(tǒng),利用系統(tǒng)的時間尺度結構,每個子系統(tǒng)穩(wěn)定性可以逐一分析.

首先,將η子系統(tǒng)視為快系統(tǒng),e/s子系統(tǒng)視為慢系統(tǒng),取ε=0,那么邊界層系統(tǒng)可表示為

由于矩陣Λ為Hurwitz矩陣,邊界層系統(tǒng)(14)將指數(shù)漸進穩(wěn)定在η=0.

當快時變變量η到達其準穩(wěn)態(tài)η=0,那么令e/s子系統(tǒng)中的η=0可得到退化系統(tǒng).在退化系統(tǒng)中,s子系統(tǒng)可視為快系統(tǒng),e子系統(tǒng)可視為慢系統(tǒng),那么對e/s子系統(tǒng)而言,取μ=0,邊界層系統(tǒng)可表示為

注10定理1表明,通過將μ,ε/μ取得充分小,設計的LESO可以精確地估計系統(tǒng)的狀態(tài)和總擾動,DI可以精確地解算出期望輸入ur,被控對象可實現(xiàn)對目標系統(tǒng)的性能復原.換言之,定理1可重述為:對于任意的a>0,σˉ>0,總存在??∈(0,1),若max{μ,(ε/μ)}

注11雖然提出的LADRC設計方法和文[22]提出的IDI方法皆可實現(xiàn)弱狀態(tài)跟蹤，或者稱為弱性能復原(weak performance recovery),但是提出的LADRC設計方法具有輸出跟蹤的特性,在控制工程實踐中更加實用.

注12在函數(shù)?i(·)(i=1,2,···,n?1)未知的情況下,針對仿射非線性系統(tǒng),文[29]在經(jīng)典ADRC框架下提出了一種輸出跟蹤控制器.相比較而言,提出的LADRC設計方法不再需要文[29]中對控制增益標稱值與真實值之間關系的假設條件.

證推論1中前兩條結論的證明與定理中前兩條結論的證明過程一致,這里忽略了.下面證明推論1中的第3條結論.

5 數(shù)值仿真

考慮一個與Van der Pol振蕩器類似的二階嚴反饋非仿射非線性系統(tǒng):

式(32)設計的LADRC的參數(shù)取值如表1所示,其仿真結果如圖2和圖3所示.

表1 式(32)設計的控制器參數(shù)Table 1 Parameters of the designed controllers in(32)

圖2 利用式(32)設計的LADRC,原系統(tǒng)(28)以及積分串聯(lián)型系統(tǒng)(29)的跟蹤效果Fig.2 Tracking performance of the original system(28)and the integrator-cascaded system(29)with the proposed LADRC(32)

圖3 內(nèi)動態(tài)狀態(tài)z的變化情況以及式(32)設計的LADRC的控制律Fig.3 The state z of the internal dynamics and the control law of the proposed LADRC(32)

根據(jù)圖2的仿真結果可知,原系統(tǒng)(28)的狀態(tài)x以及對應的積分串聯(lián)型系統(tǒng)(29)的狀態(tài)ξ皆可以很好地跟蹤目標系統(tǒng)(30)的狀態(tài)r以及對應的積分串聯(lián)型系統(tǒng)的狀態(tài)ζ,因此圖2的仿真結果驗證了定理1的結論.根據(jù)圖3可知,由于原系統(tǒng)狀態(tài)x是穩(wěn)定的,因此內(nèi)動態(tài)的狀態(tài)z也是穩(wěn)定的,并且控制輸入u在整個過程中比較平滑.

若?1(x1)未知,目標系統(tǒng)可描述為

式(34)設計的LADRC的各參數(shù)取值與式(32)的各參數(shù)取值相同,如表1所示.

為了說明備注11以及提出的LADRC設計方法的優(yōu)勢,引入文[22]提出的IDI方法與提出的LADRC設計方法作對比.對于系統(tǒng)(28)和目標系統(tǒng)(33),文[22]提出的IDI方法可設計為

值得一提的是,初始條件x2(0)是需要的.

式(34)設計的LADRC和式(35)設計的IDI的仿真結果如圖4–7所示.根據(jù)圖4的仿真結果,原系統(tǒng)(28)的狀態(tài)x只能實現(xiàn)對目標系統(tǒng)(30)的狀態(tài)r的輸出跟蹤和弱性能復原,原系統(tǒng)(28)對應的積分串聯(lián)型系統(tǒng)(29)的狀態(tài)ξ可以很好地跟蹤目標系統(tǒng)(30)的狀態(tài)r,因此圖4的仿真結果驗證了推論1的結論.根據(jù)圖6的仿真結果,雖然式(35)設計的IDI可以實現(xiàn)弱性能復原,但是卻無法實現(xiàn)輸出跟蹤.在任意時刻,一個非零的參考信號會引起參考信號與系統(tǒng)狀態(tài)之間的非零偏差.根據(jù)圖5和7可知,兩閉環(huán)控制系統(tǒng)的內(nèi)動態(tài)的狀態(tài)z是穩(wěn)定的,并且控制輸入u在整個過程中比較平滑.綜上所述,圖4–5的仿真結果驗證了本文提出的LADRC設計方法的可行性.

圖4 利用式(34)設計的LADRC,原系統(tǒng)(28)以及積分串聯(lián)型系統(tǒng)(29)的跟蹤效果Fig.4 Tracking performance of the original system(28)and the integrator-cascaded system(29)with the proposed LADRC(34)

圖5 內(nèi)動態(tài)狀態(tài)z的變化情況以及式(34)設計的LADRC的控制律Fig.5 The state z of the internal dynamics and the control law of the proposed LADRC(34)

圖6 式(35)設計的IDI的閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤性能Fig.6 Tracking performance of the closed-loop system with the IDI in(35)

圖7 式(35)設計的IDI的閉環(huán)系統(tǒng)的內(nèi)動態(tài)z和控制輸入Fig.7 The state z of the internal dynamics and control inputs of the closed-loop system with the IDI in(35)

6 實驗

實驗部分包含兩個實驗.實驗1是磁懸浮實驗.磁懸浮系統(tǒng)是典型的非仿射系統(tǒng),通過磁懸浮實驗驗證本文提出的針對非仿射非線性系統(tǒng)設計的LADRC的可行性.此外,實驗結果還表明提出的LADRC具有良好的抗噪性能.實驗2是直線電機伺服系統(tǒng)實驗.由于直線電機的負載質量的不確定性,利用傳統(tǒng)ADRC對該系統(tǒng)設計控制器時會遇到控制增益不確定以及標稱控制增益如何選取的問題.通過直線電機伺服系統(tǒng)實驗說明提出的LADRC設計方法同樣適用于含有控制增益不確定性問題的仿射非線性系統(tǒng),可以避免控制增益標稱值選取這一比較棘手的問題.

6.1 實驗1:磁懸浮系統(tǒng)

實驗所用的磁懸浮系統(tǒng)如圖8所示,主要由電磁鐵、空心鋼球、激光傳感器、功率放大器以及控制器組成.該系統(tǒng)是單軸磁懸浮系統(tǒng),空心鋼球只能在豎直方向做上下運動.通過調(diào)節(jié)電磁鐵中電流的大小就可以改變電磁鐵對空心鋼球的吸力來調(diào)節(jié)鋼球的位置.

圖8 磁懸浮系統(tǒng)的原理示意圖Fig.8 The diagram of the principle of magnetic levitation system

磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學模型可描述為

其中:x和m分別代表鋼球的位移和質量,i代表電磁鐵中的電流,參數(shù)KF代表電磁吸力系數(shù),g代表重力加速度,參數(shù)u代表系統(tǒng)的控制輸入電壓,Ka是功率放大器的系數(shù),參數(shù)y是系統(tǒng)的可測量輸出,d(x,)代表外界干擾力.通過輸入電壓u不斷調(diào)節(jié)電流i和對應的電磁力F,進而可以調(diào)節(jié)小球的位移x.系統(tǒng)參數(shù)的標稱值在表2中給出.

表2 式(36)描述的磁懸浮系統(tǒng)參數(shù)的標稱值Table 2 Nominal values of the magnetic levitation system in(36)

對于磁懸浮系統(tǒng)(36),提出的LADRC可設計為

表3 式(37)設計的LADRC的控制器參數(shù)Table 3 Parameters of the proposed LADRC in(37)

為了顯示提出的LADRC的優(yōu)良的控制性能,引入近年來已有研究人員提出的針對磁懸浮系統(tǒng)設計的LADRC[30–31]作對比.設(xe,ue)為磁懸浮系統(tǒng)的工作點,即

實驗中,采樣周期設置為0.001 s,MATLAB/Simulink環(huán)境中的求解器設置為ode 1(Euler).考慮調(diào)節(jié)問題和跟蹤問題這兩類問題,對應的4種情況的參考信號可表示為

其中:Case I和Case II對應著幅值為0.001 m的調(diào)節(jié)問題和跟蹤問題,Case III和Case IV對應著幅值為0.002 m的調(diào)節(jié)問題和跟蹤問題.上述4種情況的初始階段將鋼球調(diào)節(jié)到常值信號是為了避免人為操作的誤差并且保證過渡過程的平滑.

提出的LADRC(37)以及已有的LADRC(39)的閉環(huán)系統(tǒng)響應和控制信號如圖9–12所示.

圖9 Case I中兩種控制器的性能Fig.9 Performance of the two controllers in Case I

圖10 Case II中兩種控制器的性能Fig.10 Performance of the two controllers in Case II

圖11 Case III中兩種控制器的性能Fig.11 Performance of the two controllers in Case III

圖12 Case IV中兩種控制器的性能Fig.12 Performance of the two controllers in Case IV

根據(jù)圖9和圖10可知,對于幅度為0.001 m的調(diào)節(jié)問題和跟蹤問題,提出的LADRC和已有的LADRC皆可以將系統(tǒng)的狀態(tài)x1調(diào)節(jié)到目標點附近或使得系統(tǒng)的狀態(tài)x1跟蹤上期望的軌跡.但是,提出的LADRC對應的狀態(tài)x1的曲線和控制輸入u的曲線的波動范圍明顯比已有的LADRC小很多,這表明提出的LADRC相比于已有的LADRC 具有更低的噪聲敏感性,這得益于動態(tài)逆DI的低通濾波特性,DI可以很好地實現(xiàn)低頻段上控制輸入的求解,并濾除中高頻段的噪聲.

根據(jù)圖11和圖12可知,對于幅度為0.002 m的調(diào)節(jié)問題和跟蹤問題,提出的LADRC具有的更低的噪聲敏感性的特點體現(xiàn)得更加明顯.對于調(diào)節(jié)問題,在27～36 s之間,已有的LADRC對應的系統(tǒng)狀態(tài)x1的波動較大,此時可認為已有的LADRC無法完成控制任務.但提出的LADRC仍然可以將系統(tǒng)的狀態(tài)x1平穩(wěn)地調(diào)節(jié)到?0.012 m的目標位置上.對于跟蹤問題,提出的LADRC可以使得系統(tǒng)的狀態(tài)x1很好地跟蹤上期望的軌跡.但是,已有的LADRC的狀態(tài)x1曲線在20 s左右開始震蕩并發(fā)散降至?0.02 m處,此時鋼球球落到了磁懸浮設備底部,系統(tǒng)停止了工作.

因此,圖9–12的實驗結果驗證了提出的針對非仿射非線性系統(tǒng)設計的LADRC的可行性.

6.2 實驗2:直線電機伺服系統(tǒng)實驗

實驗所用的直線電機伺服系統(tǒng)如圖13所示,主要由U型槽直線電機,GTHD伺服驅動器以及GT–400–SV運動控制卡組成.直線電機伺服系統(tǒng)的數(shù)學模型可描述為

其中:m和x分別表示直線電機動子(含負載)的質量和位移;Kf=Ka·Km,Ka=0.84 A/V表示驅動器常數(shù);Km=15 N/A表示推力系數(shù).直線電機動子的質量為1.79 kg,標準負載的質量為1.4 kg.但是,隨著直線電機工況的變化,負載的質量時常變化,因此參數(shù)m的真實值也是時常變化的.

圖13 直線電機伺服系統(tǒng)實驗裝置Fig.13 Experimental platform of the linear motor servo system

表4 式(44)設計的LADRC的控制器參數(shù)Table 4 Parameters of the designed LADRC in(44)

式(44)設計的LADRC的實驗結果如圖14所示.根據(jù)圖14的實驗結果,設計的LADRC可以很好地實現(xiàn)系統(tǒng)(42)的狀態(tài)x1跟蹤上參考系統(tǒng)的狀態(tài)r1,同時控制輸入比較平穩(wěn).

總結式(44)設計的LADRC以及圖14對應的實驗結果可知,提出的LADRC適用于控制增益不確定的仿射非線性系統(tǒng),且可以避免控制增益b標稱值選取的問題.

圖14 基于式(44)設計的LADRC的閉環(huán)系統(tǒng)性能Fig.14 Performance of the closed-loop system with the designed LADRC in(44)

其中參數(shù)αi(i=1,2,3),?j(j=1,2),ε的取值與式(44)相同,如表4所示.為了保證基于式(45)設計的LADRC的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,b0與b需滿足條件(0,3).實際應用中由于系統(tǒng)時延、噪聲等因素的影響,的可行范圍比理論范圍(0,3)要小,b0應盡可能接近b.由于b很難準確知道,因此如何選取b0是一個比較麻煩的問題.這里不妨取b0=1和b0=3.95兩種情況,對應的實驗結果如圖15所示.

圖15 b0=1和b0=3.95兩種情況下基于式(45)設計的LADRC的閉環(huán)系統(tǒng)性能Fig.15 Performance of the closed-loop system with the proposed LADRC in(45)when b0=1 and b0=3.95

根據(jù)圖15的實驗結果,雖然b0=1和b0=3.95兩種情況下,式(45)設計的LADRC皆可以使系統(tǒng)狀態(tài)x1跟蹤上r1,但是兩種情況下的控制輸入?yún)s截然不同.當b0=1時,控制輸入u出現(xiàn)了較大幅度的高頻震蕩,此時系統(tǒng)穩(wěn)定裕度降低,較容易發(fā)散,同時系統(tǒng)能耗增加且運行噪聲變大,這種情況下可認為閉環(huán)系統(tǒng)工作不正常.

總結來看,對控制增益不確定的非線性系統(tǒng)設計經(jīng)典ADRC時,控制增益標稱值b0的選取是一個很關鍵且很棘手的問題,選取得不合適會影響閉環(huán)系統(tǒng)的性能,對比式(44)和式(45)設計兩類ADRC可知,本文提出的LADRC設計方法可避開這個難處理的問題.

進一步,通過改變直線電機動子上負載的質量來改變系統(tǒng)控制增益b的大小,測試式(44)提出的LADRC的魯棒性.考慮以下6種情況:

其中?mi(i=1,2,···,6)分別表示相對于負載標稱質量的質量變化量.6種情況的實驗結果如圖16所示.

根據(jù)圖16的實驗結果可知,對于式(46)所述的6種情況,式(44)提出的LADRC的跟蹤性能具有很好的一致性,同時對應控制輸入u比較平滑,實驗結果表明式(44)提出的LADRC具有較好的魯棒性.

圖16 在式(46)所述的6種情況下,基于式(44)設計的LADRC的閉環(huán)系統(tǒng)性能Fig.16 Performance of the closed-loop system with the designed LADRC in(44)under the six situations described in(46)

總結上述實驗結果可知:

1)提出的LADRC設計方法適用于控制增益不確定的仿射非線性系統(tǒng);

2)提出的LADRC設計方法只需要知道控制增益的符號即可,無需知道控制增益的準確值,可避免經(jīng)典LADRC設計時遇到的控制增益標稱值選取的問題;

3)提出的LADRC設計方法對控制增益的變化具有較好的魯棒性.

7 提出的LADRC的缺點

雖然上文從理論到實驗都驗證了提出的LADRC的可行性,以及優(yōu)良的抗噪特性,但是任何事物都具有兩面性,只有優(yōu)點沒有缺點的事物是不存在的.能適應任何控制場合,滿足任何控制要求的控制器更是不存在的.這里討論提出的LADRC的缺點.

1)提出的LADRC 將閉環(huán)系統(tǒng)劃分為3個尺度:ESO位于最快的時間尺度上,DI位于次快的時間尺度上,而系統(tǒng)動態(tài)位于最慢的時間尺度上.由于實際情況中噪聲,時延的影響,采樣時間的限制,設計的ESO的時間尺度不能調(diào)得任意大,那么系統(tǒng)動態(tài)的時間尺度不得不足夠慢以騰出足夠的時間尺度留給DI,這樣才能滿足時間尺度分離的要求.相比較而言,經(jīng)典LADRC僅有兩個時間尺度,設計的ESO位于更快的時間尺度上,而系統(tǒng)動態(tài)位于正常的時間尺度上.這種時間尺度分布的對比直觀地顯示在圖17上,通過圖17可見,經(jīng)典LADRC的系統(tǒng)動態(tài)響應可以比提出的LADRC實現(xiàn)更快的系統(tǒng)動態(tài)響應.

圖17 本文提出的引入動態(tài)逆的LADRC和經(jīng)典LADRC的時間尺度分布Fig.17 The time scale distribution of the dynamicinversion-based LADRC and the classical LADRC

2)控制系統(tǒng)的結構變得更加復雜,雖然提出的不需要控制增益標稱值b0這個參數(shù),但同時又引入了DI的時間尺度參數(shù)μ.雖然常取μ=是一個相對可行的方法,但是參數(shù)μ的選取方法沒有嚴格規(guī)范的標準,還有待進一步研究.

下面仍以直線電機伺服系統(tǒng)為例,說明提出的LADRC的局限性.在第3章的直線電機伺服系統(tǒng)實驗中,直線電機動子位移0.1 m 的調(diào)節(jié)時間為T=1 s.這里通過改變調(diào)節(jié)時間T來改變系統(tǒng)動態(tài)響應要求,分別考慮如下5種情況:

經(jīng)典LADRC中控制增益標稱值取為b0=3.95.提出的LADRC和經(jīng)典LADRC的實驗結果如圖18所示.根據(jù)圖18的實驗結果可知:當系統(tǒng)響應很低(T=2/1/0.5 s)時,提出的LADRC與經(jīng)典的LADRC相比,閉環(huán)系統(tǒng)性能相差無幾.但是當系統(tǒng)響應提高(T=0.25/0.2 s)后,提出的LADRC的跟蹤性能急劇下降,同時控制律波動加劇,此時,經(jīng)典ADRC依然可以保持良好的跟蹤性能,同時控制律變化也相對平緩.

圖18 提出的ADRC與經(jīng)典ADRC對比Fig.18 Comparison between the proposed ADRC and the classical ADRC

根據(jù)圖17和圖18,提出的LADRC更適合系統(tǒng)響應較低的閉環(huán)系統(tǒng),而對于系統(tǒng)響應要求較高的場合,經(jīng)典LADRC相比于提出的LADRC更有優(yōu)勢.那么一個很自然的問題就是:經(jīng)典LADRC能不能應用于不確定非仿射嚴反饋非線性系統(tǒng)以適應系統(tǒng)動態(tài)要求更高的場合?這個問題需要進一步研究.

8 結論

不可測量的系統(tǒng)狀態(tài),系統(tǒng)的不確定性以及非仿射輸入等因素對于非線性系統(tǒng)的控制設計來講都是很大的挑戰(zhàn).本文針對一類不確定非仿射嚴反饋非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制提出了一種LADRC設計方法.首先,利用微分同胚映射將嚴反饋非線性系統(tǒng)變換為積分串聯(lián)型系統(tǒng).然后,利用LESO估計轉化后的積分串聯(lián)型系統(tǒng)的狀態(tài)和總和擾動,基于扇區(qū)條件的DI用以求解非仿射情況下的控制律.利用奇異攝動理論分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能.最后,數(shù)值仿真和實驗結果驗證了提出的LADRC設計方法的可行性.

此外,雖然本文是針對非仿射非線性系統(tǒng)研究LADRC的設計問題,但是對于含有不確定控制增益的仿射非線性系統(tǒng),當在經(jīng)典ADRC框架下控制增益的標稱值選取困難時,本文提出的LADRC提供了一種額外的設計思路.