考慮通信時(shí)滯的分布式電力經(jīng)濟(jì)調(diào)度算法設(shè)計(jì)

孫妙平,姜 波

(中南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,湖南長沙 410000)

1 引言

經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題是電力系統(tǒng)中最基本也是最重要的問題之一,它本質(zhì)上是一個(gè)優(yōu)化問題.傳統(tǒng)的解決經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題的算法可以大致分為兩類,一類是分析法,包括牛頓迭代算法[1]、梯度下降搜索算法[2]等;另一類是在現(xiàn)代優(yōu)化理論基礎(chǔ)上建立起來的算法,如遺傳算法[3]、粒子群算法[4]等.這些算法屬于集中式調(diào)度算法,需要一個(gè)中心控制器來協(xié)調(diào)各個(gè)局部單元,當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中某個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障時(shí),中心控制器難以對故障節(jié)點(diǎn)進(jìn)行處理,網(wǎng)絡(luò)的即插即用性能也不好.另外,隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大,中心控制器的通信負(fù)擔(dān)增加,需要更高的通信成本,且由于中心控制器需要獲取所有局部發(fā)電單元的信息,使得信息在傳遞過程中容易泄漏[5].因此,分布式算法廣泛用來解決電力系統(tǒng)中的經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題.

近年來隨著多智能體分布式算法的發(fā)展,涌現(xiàn)出了許多基于分布式理論的經(jīng)濟(jì)調(diào)度算法.文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種以增量成本為一致變量的分布式電力經(jīng)濟(jì)調(diào)度算法,但是需要一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點(diǎn)獲得系統(tǒng)的不匹配功率.文獻(xiàn)[7–8]提出了一種引入創(chuàng)新項(xiàng)來確保功率供需平衡的分布式調(diào)度算法,并可利用該項(xiàng)來修正每臺(tái)發(fā)電機(jī)的輸出功率.文獻(xiàn)[9–10]設(shè)計(jì)了一種每臺(tái)發(fā)電機(jī)可計(jì)算自身的局部供需不平衡功率來調(diào)整輸出功率的分布式一致性算法.文獻(xiàn)[11]考慮網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化,設(shè)計(jì)了一種基于供需平衡的分布式算法,但是要求每個(gè)發(fā)電機(jī)獲取鄰居的成本增量信息.文獻(xiàn)[12]提出了一種解決一般凸成本函數(shù)的電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度算法,但是需要知道總負(fù)載需求.文獻(xiàn)[13–14]通過把負(fù)載節(jié)點(diǎn)并到相鄰的發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)來解決功率失衡的問題.文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間收斂算法,但是只能解決二次型成本函數(shù)系統(tǒng)的優(yōu)化問題.文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了一種考慮智能體輸出約束的算法,把輸出約束在一個(gè)凸集內(nèi)部.值得注意的是,以上分布式算法都沒有考慮鄰居間交換信息產(chǎn)生的通信時(shí)滯對算法的影響.

事實(shí)上,在實(shí)際電力系統(tǒng)中,這種通信時(shí)滯是不可避免的,它的存在會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能變差,甚至使得算法不收斂[17–18],因此在設(shè)計(jì)分布式算法時(shí),必須考慮時(shí)滯對算法的影響.文獻(xiàn)[19–20]考慮二次型成本函數(shù),提出了一種只考慮常數(shù)時(shí)滯的分布式經(jīng)濟(jì)調(diào)度算法.文獻(xiàn)[21]考慮時(shí)變拓?fù)浜屯ㄐ艜r(shí)滯,提出了一種梯度push-sum解決問題,但是當(dāng)時(shí)滯上界較大時(shí)會(huì)產(chǎn)生很多虛擬智能體,導(dǎo)致算法難以求解.文獻(xiàn)[22]設(shè)計(jì)了一種一致性算法,采用廣義拉奎斯特方法判斷得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,得到一個(gè)嚴(yán)格的時(shí)滯上界,但是該算法僅僅對分段常數(shù)時(shí)滯適應(yīng).文獻(xiàn)[23]考慮二次型成本函數(shù),得到了時(shí)變時(shí)滯下算法收斂的充分條件,并設(shè)計(jì)了一種發(fā)電機(jī)約束策略,但是該約束策略使得系統(tǒng)收斂速度變慢.

根據(jù)以上調(diào)研,本文考慮了發(fā)電機(jī)的輸出限制和鄰居間交換信息時(shí)的通信時(shí)滯,提出了一種新的對所有發(fā)電成本為凸函數(shù)的發(fā)電機(jī)組成的電力系統(tǒng)都適應(yīng)的權(quán)重平衡圖下的分布式經(jīng)濟(jì)調(diào)度算法,并通過凸分析和Lyapunov理論可以獲得算法收斂的充分條件.與目前存在的一些算法相比,本文的算法具有如下的優(yōu)勢:

①文獻(xiàn)[15,19–20]的算法只能處理二次可微型成本函數(shù)的優(yōu)化問題,而本文的算法對所有發(fā)電成本為凸函數(shù)的優(yōu)化問題都適應(yīng),并且不要求該成本函數(shù)可微,這就大大增加了算法的應(yīng)用范圍.

②文獻(xiàn)[19–20]的算法只考慮了常數(shù)時(shí)滯,而本文的算法考慮了時(shí)變時(shí)滯對系統(tǒng)的影響,并采用時(shí)滯分割的方法減小了系統(tǒng)保守性.

③文獻(xiàn)[15,23]的算法需要供需平衡后才處理發(fā)電機(jī)輸出約束問題,而本文的算法將輸出約束考慮在算法里面,因此可以保證在程序運(yùn)行中每臺(tái)發(fā)電機(jī)的輸出功率始終保持在限制范圍內(nèi).

符號(hào)說明:Rn表示維向量空間;Rn×m表示n行m列的矩陣空間;A ?B表示矩陣A與B的直積;C1×C2表示笛卡爾乘積;

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 圖論理論

2.2 凸分析理論

2.3 非光滑優(yōu)化理論

引理1[16]考慮微分包含

它的平衡點(diǎn)是集合{x ∈Rn|0∈F(x)}.如果對任意的初始條件x0∈S,存在該問題的解x(t),使得x(t)∈S,?t0則稱集合S是該微分包含的不變集.設(shè)F:Rn →Rn為凸集C上的集值映射,考慮如下形式的微分包含:

下面兩個(gè)結(jié)論是滿足的:

①x是式(2a)的解當(dāng)且僅當(dāng)它是式(2b)的解;

②如果F在C上有界,那么式(2a)和式(2b)存在解.

引理2[16]對于一個(gè)給定的徑向有界正定標(biāo)量函數(shù)V(x),它沿著軌跡(1)的導(dǎo)數(shù)為

假設(shè)S ∈Rn是式(1)情況下的不變集,V:Rn →R是連續(xù)可微函數(shù).如果式(1)中狀態(tài)量有界,并且LFV(x)0或者LFV(x)=?,對于所有的x ∈S都成立.那么所有從S出發(fā)的點(diǎn),最終收斂于最大不變集M中的點(diǎn),并且M ?S ∩{x ∈Rn|0∈LFV(x)},如果M是有限集,那么每個(gè)解的極限都存在且為M中的一個(gè)元素.

2.4 矩陣?yán)碚?/h3>

引理3[23](杰森不等式.)對于給定的標(biāo)量d>0,任意的正定矩陣M和函數(shù)f(s)∈L2[?d,0],有下面的不等式成立:

3 電力經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題的數(shù)學(xué)模型

考慮N個(gè)發(fā)電機(jī)的電力系統(tǒng),用一個(gè)無向圖G來描述該系統(tǒng)的通信拓?fù)?本文的目標(biāo)是滿足電網(wǎng)供需平衡與發(fā)電機(jī)局部約束,且使得所有發(fā)電機(jī)的發(fā)電成本之和最小,因此,它的數(shù)學(xué)模型可以描述為

其中:x=col(x1,···,xN),fi(xi)是強(qiáng)凸的,Ci為發(fā)電機(jī)的輸出功率限制.

4 考慮通信時(shí)滯的分布式經(jīng)濟(jì)調(diào)度算法

4.1 分布式電力經(jīng)濟(jì)調(diào)度算法設(shè)計(jì)

為了解決經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題(3),并考慮鄰居間交換信息時(shí)的通信時(shí)滯,設(shè)計(jì)如下算法:

其中:xi是發(fā)電機(jī)的輸出,zi是相鄰的發(fā)電機(jī)之間的共享信息,di為局部虛擬負(fù)載.為了簡化分析,本文假設(shè)各個(gè)發(fā)電機(jī)之間的通信時(shí)滯是相同的,均為τ(t),且滿足τ(t)∈[0,τˉ],(t)p.ki ∈R+,i=1,2,3,4為系統(tǒng)參數(shù).

為了便于分析,將式(4)表示成更加緊湊的形式:

4.2 主要結(jié)果

定理1系統(tǒng)(5)平衡狀態(tài)下的解x?即是問題(3)的優(yōu)化解.

證根據(jù)引理1,系統(tǒng)(5)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)有

注1因?yàn)閂的導(dǎo)數(shù)中各項(xiàng)整理后不存在系數(shù)k1,因此,系統(tǒng)穩(wěn)定性只受系數(shù)k2,k3,k4的影響,進(jìn)而影響算法的時(shí)滯上界.又根據(jù)V1的構(gòu)造可知,參數(shù)k1位于標(biāo)量∥ζ∥2的分母上,k1取較大值時(shí),V的初值偏離原點(diǎn)的距離就相對減小,所以使得系統(tǒng)收斂到原點(diǎn)的時(shí)間減小,因此,系數(shù)k1對系統(tǒng)收斂速度的影響很大.

5 算例仿真

考慮一個(gè)五機(jī)電力系統(tǒng),它的結(jié)構(gòu)示意圖和通信拓?fù)鋱D如圖1–2所示.

圖1 五電機(jī)通信網(wǎng)絡(luò)圖Fig.1 The Communication topology with fvie generators

圖2 五電機(jī)電力網(wǎng)絡(luò)圖Fig.2 The single-line diagram of power grid with fvie generators

每一臺(tái)發(fā)電機(jī)的成本函數(shù)及輸出功率限制如表1所示,其中發(fā)電機(jī)G1是風(fēng)力發(fā)電單元.

表1 發(fā)電機(jī)成本函數(shù)和輸出限制Table 1 The cost functions of generators and their output constrains

情況A假設(shè)k2=k3=k4=k,給定時(shí)變時(shí)滯導(dǎo)數(shù)最大值p為0.8,取τ(t)=+0.08|sin(10t)|,分析k1和k的變化對時(shí)滯上界和系統(tǒng)收斂速度的影響.假設(shè)負(fù)載總功率需求為250 MW,仿真結(jié)果如表2–3所示.

從表2可知,當(dāng)k1固定時(shí),參數(shù)k的取值對時(shí)滯上界和收斂速的影響很大,當(dāng)k的取值越大時(shí),時(shí)滯上界越來越小,但收斂時(shí)間變短,即收斂速度加快.從表3可知,當(dāng)k固定時(shí),參數(shù)k1的變化對時(shí)滯上界幾乎沒有影響,但是k1取值增大時(shí),算法的收斂速度明顯加快,這與注里的分析一致.但是無限增大k1并不能保證系統(tǒng)收斂速度一直加快,當(dāng)增加到某一數(shù)值時(shí),算法的收斂速度幾乎不再變化.

表2 k1固定,參數(shù)k對系統(tǒng)性能影響Table 2 The influence of parameter k on system performance with fixed k1

表3 k固定,參數(shù)k1對系統(tǒng)性能影響Table 3 The influence of parameter k1 on system performance with fixed k

情況B取k1=5,k=1,=0.1214 s.

情況b1算法有效性驗(yàn)證,仿真結(jié)果如圖3–4所示.

從圖3可以看出系統(tǒng)在8 s時(shí)達(dá)到穩(wěn)定,各個(gè)發(fā)電機(jī)的局部變量zi收斂到一致,在t=8 s時(shí)z?=?30.84,各個(gè)發(fā)電機(jī)的輸出始終限制在允許的范圍內(nèi),且滿足系統(tǒng)的供求平衡,達(dá)到穩(wěn)定時(shí)發(fā)電成本為0.191$/kWh,這表明所提算法是有效的.但是,當(dāng)超出允許的時(shí)滯上界時(shí),算法不再收斂.

圖3 一致性變量軌線圖Fig.3 The trajectory diagrams of consensus variables

圖4 發(fā)電機(jī)輸出功率曲線Fig.4 The power output curves of generators

情況b2系統(tǒng)在t=9 s時(shí)切除發(fā)電機(jī)G3,在t=18 s又將發(fā)電機(jī)G3重新投入,所得的仿真結(jié)果如圖5–6所示.

圖5 發(fā)電機(jī)G3切除–投入情況下變量z變化曲線Fig.5 The curves of variable z when G3 is cut off and switched on

圖6 發(fā)電機(jī)G3切除–投入情況下輸出功率變化曲線Fig.6 The power output curves when G3 is cut off and switched on

顯然,在G3沒有切除時(shí),t=8 s時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定,各個(gè)發(fā)電機(jī)的一致變量z收斂到?30.84,此時(shí)的發(fā)電成本為0.191$/kWh,t=9 s時(shí),切除G3,發(fā)電機(jī)G3的輸出變?yōu)?,發(fā)電成本為0.2$/kWh.t=15 s時(shí),一致變量重新收斂到?33.09,t=18 s重新投入G3,各個(gè)發(fā)電機(jī)一致變量與輸出又恢復(fù)到了切除前的狀態(tài),這表明本文的算法具有良好的即插即用性能.

情況b3t=10 s時(shí)將負(fù)載增加50 MW,即總負(fù)載從250 MW增加到300 MW得到,仿真結(jié)果如圖7–8所示.

圖7 負(fù)載突變情況下參數(shù)z變化軌線圖Fig.7 The trajectory diagrams of variable z when the loads change suddenly

圖8 負(fù)載突變情況下發(fā)電機(jī)輸出變化曲線Fig.8 The power output curves of generators when the loads change suddenly

從圖7–8可以看出,增加負(fù)載后各個(gè)發(fā)電機(jī)的輸出功率都有增加,且一致性變量z從?30.84變?yōu)?35.07,發(fā)電成本從0.191$/kWh變?yōu)?.204$/kWh.輸出總功率與負(fù)載需求保持平衡,發(fā)電機(jī)輸出在限制范圍內(nèi),這說明算法對于負(fù)載突變下的情況具有良好的魯棒性.

情況C與文獻(xiàn)[23]中的算法進(jìn)行比較,取文獻(xiàn)[23]中的各個(gè)發(fā)電機(jī)參數(shù)和輸出限制,考慮與文獻(xiàn)[23]中相同的時(shí)變時(shí)滯函數(shù)為τ(t)=0.85|sint|+0.2和總負(fù)載需求功率,得到的仿真結(jié)果如下圖9–10所示.

從圖9–10中可以發(fā)現(xiàn),本文設(shè)計(jì)的算法在程序運(yùn)行過程中,發(fā)電機(jī)輸出始終保持在限制的范圍內(nèi),并且以較快的收斂到最優(yōu)輸出狀態(tài),算法穩(wěn)定時(shí)間為15 s左右.而文獻(xiàn)[23]即使不考慮輸出限制,系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間也需要30 s左右,再加上有多個(gè)發(fā)電機(jī)輸出限制的情況下,會(huì)使收斂速度更慢,這表明本文所提算法要優(yōu)于文獻(xiàn)[23]中的算法.

圖9 本文發(fā)電機(jī)的輸出功率曲線Fig.9 The power output curves of generators in this paper

圖10 文獻(xiàn)[23]的發(fā)電機(jī)輸出功率曲線Fig.10 The power output curves of generators in reference 24

6 結(jié)論

本文提出了一種新的分布式電力經(jīng)濟(jì)調(diào)度算法,各個(gè)發(fā)電機(jī)之間不需要交換成本信息,且通過一個(gè)方向投影算子解決了發(fā)電機(jī)的輸出約束問題,適應(yīng)于成本函數(shù)為凸且函數(shù)不可微的情況,這樣應(yīng)用范圍更廣.利用時(shí)滯分割的方法減小了系統(tǒng)的保守性,增加了系統(tǒng)的時(shí)滯上界.仿真結(jié)果也驗(yàn)證了算法的有效性和優(yōu)越性.