2020年全國(guó)Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的命題手法探究*

福建省福清市教師進(jìn)修學(xué)校 (350300) 李云杰 福建省福清第三中學(xué) (350315) 何 燈

2020年高考數(shù)學(xué)試題設(shè)計(jì)圍繞高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔和育人導(dǎo)向作用.2020年的高考已經(jīng)落下了帷幕，很多省份將迎來(lái)新高考，這給我們帶來(lái)機(jī)遇的同時(shí)，也帶來(lái)了挑戰(zhàn).如何從容應(yīng)對(duì)？筆者認(rèn)為，加強(qiáng)試題研討，不失為應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn)的有效方法.

下面筆者以2020年全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題為例，探究其命題手法，借助此手法，實(shí)現(xiàn)試題的一般性拓展.文中所述只是筆者對(duì)命題者命題過(guò)程的思考、揣測(cè)、推演，可能并非命題者的命題意圖，僅供讀者參考.

試題已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

本題主要考查導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的恒成立等基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力等，同時(shí)考查函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想和邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

1.解法探究

(1)過(guò)程略.

2.手法探究

解法二采用分離參數(shù)法，將不等式恒等變形為a≥g(x)，其中g(shù)(x)的導(dǎo)函數(shù)可進(jìn)行因式分解，其中一個(gè)因式是關(guān)于x的一次表達(dá)式，另外一個(gè)因式符號(hào)恒定，從而可求g(x)的最大值.由解法二的過(guò)程，逆向推演，不難猜測(cè)命題者的命題手法.

第一步:尋找一個(gè)在區(qū)間[0,+∞)上符號(hào)恒定的函數(shù)h(x)，命題者取h(x)=2ex-x2-2x-2.

第五步：進(jìn)行合理設(shè)問(wèn).為了體現(xiàn)題目的梯度，一道試題幾個(gè)設(shè)問(wèn)往往具有一定的相關(guān)性，設(shè)問(wèn)與設(shè)問(wèn)之間呈現(xiàn)層層遞進(jìn)的關(guān)系，前一個(gè)設(shè)問(wèn)常常是后一個(gè)設(shè)問(wèn)的臺(tái)階，為后面問(wèn)題的解答提供思考方向，埋下伏筆[1].為了證明2ex-x2-2x-2≥0，需要構(gòu)造函數(shù)F(x)=2ex-x2-2x-2，研究其圖象的特性.由于F(x)與f(x)的形式相近，為了降低題目難度且呈現(xiàn)設(shè)問(wèn)的相關(guān)性，命題者設(shè)定第(1)小題研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性，為證明F(x)≥0埋下伏筆.

3.試題拓展

基于上述命題手法的分析，筆者得到原試題第(2)小題的如下拓展結(jié)論.

(ⅰ)若x=0，則λ∈R.

4.解后反思

本題在考查學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)等方面起到一定的作用.筆者認(rèn)為通過(guò)試題解析，是數(shù)學(xué)學(xué)科“立德樹(shù)人”的具體體現(xiàn)[2].學(xué)生通過(guò)研磨數(shù)學(xué)試題，有助于形成理性思維，樹(shù)立科學(xué)精神與科學(xué)態(tài)度，從而促進(jìn)智力發(fā)展，并形成正確的人生觀、價(jià)值觀、世界觀[3].這種基于探究策略的試題研究，對(duì)提升數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素養(yǎng)，提高審題能力、解題能力、析題能力、說(shuō)題能力、變題能力、命題能力和教題能力也有極大的裨益.