導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)對稱性探究

陜西省西安惠安中學(xué) (710302) 龍正祥

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解決函數(shù)的極值、 最值、零點等問題成為當(dāng)下高考關(guān)注的熱點，關(guān)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的研究頗深.但利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的對稱性的案例較少，導(dǎo)致在解決函數(shù)對稱性時很少考慮導(dǎo)數(shù)這條解題思路.本文通過梳理函數(shù)自對稱結(jié)論的基礎(chǔ)上，研究導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的對稱性關(guān)系及應(yīng)用，希望能給讀者在解決這類問題時提供一點啟示.

1 函數(shù)自對稱結(jié)論的梳理

定理1 函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的每一個x恒有f(a-x)=f(a+x)成立.

證明：(充分性)若f(a-x)=f(a+x)對定義域內(nèi)的每一個x恒成立，設(shè)點P(x,f(x))是y=f(x)圖像上任意一點，則它關(guān)于直線x=a的對稱點Q坐標(biāo)為 (2a-x,f(x))，∴f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x)，∴點Q(2a-x,f(x))的坐標(biāo)滿足方程y=f(x)，即點Q(2a-x,f(x))也在函數(shù)y=f(x)的圖像上，∴函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.

(必要性)若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，設(shè)M(x,y)是函數(shù)y=f(x)的圖像上的任意一點，則y=f(x)的圖像上點M(x,y)關(guān)于直線x=a的對稱點為N(2a-x,y)，∵y=f(x)的圖像上關(guān)于直線x=a對稱，點N在y=f(x)的圖像上，∴f(2a-x)=y， ∴f(2a-x)=f(x).∴f(a-x)=f(2a-(a+x))=f(a+x).

推論1.1 函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=0(y軸)對稱(偶函數(shù))的充要條件是對定義域內(nèi)的每一個x恒有f(-x)=f(x)成立.

推論1.2 函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的每一個x恒有f(2a-x)=f(x)成立.

定理2 函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,b)對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的每一個x恒有f(a-x)+f(a+x)=2b成立.

證明：(充分性)若f(a-x)+f(a+x)=2b對定義域內(nèi)的每一個x恒成立，設(shè)點P(x,f(x))是y=f(x)圖像上任意一點，則它關(guān)于點(a,b)的對稱點Q坐標(biāo)為 (2a-x,2b-f(x))，∴f(2a-x)=f[a+(a-x)]=2b-f[a-(a-x)]=2b-f(x)，∴點Q(2a-x,2b-f(x))也在函數(shù)y=f(x)的圖象上，∴函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,b)對稱.

(必要性)若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,b)對稱，設(shè)M(x,y)是函數(shù)y=f(x)的圖像上的任意一點，則y=f(x)的圖像上點M(x,y)關(guān)于點(a,b)的對稱點為N(2a-x,2b-y).∵y=f(x)的圖像上關(guān)于點(a,b)對稱，且點N在y=f(x)的圖像上，∴f(2a-x)=2b-y， ∴f(2a-x)=2b-f(x)，∴f(a-x)=f(2a-(a+x))=2b-f(a+x)，∴f(a-x)+f(a+x)=2b.

推論2.1 函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(0,0)(原點)對稱(奇函數(shù))的充要條件是對定義域內(nèi)的每一個x恒有f(-x)+f(x)=0成立.

推論2.2 函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,b)對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的每一個x恒有f(2a-x)+f(x)=2b成立.

2 兩個函數(shù)對稱性的關(guān)系

定理3 記定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,f(a))對稱的充要條件是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.

證明：(充分性)若f′(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則由推論1.2得f′(2a-x)=f′(x)，從而有

(必要性)若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,f(a))對稱，則由推論2.2得f(x)+f(2a-x)=2f(a)，從而兩邊求導(dǎo)可得f′(x)-f′(2a-x)=0，即f′(x)=f′(2a-x).故由推論1.2得函數(shù)f′(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.

推論3 若函數(shù)f(x)為可導(dǎo)的奇函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù).

定理4 記定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱.

(必要性)若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，則由推論1.2得f(x)=f(2a-x)，從而兩邊求導(dǎo)可得f′(x)=-f′(2a-x)，即f′(x)+f′(2a-x)=0.故由推論2.2得函數(shù)f′(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱.

推論4.1 若函數(shù)f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)為奇函數(shù).

推論4.2 記定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若函數(shù)f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱，則必有f′(a)=0.

3.實例分析

思路1：利用定理1，建立恒等式，從而得到實數(shù)a的值.

施工承建單位的項目經(jīng)理是項目建設(shè)質(zhì)量、進度和投資控制的關(guān)鍵。一個具有較豐富施工管理經(jīng)驗和質(zhì)量意識、敬業(yè)精神、責(zé)任心都強的項目經(jīng)理，在承擔(dān)中標(biāo)工程項目任務(wù)時，都會挑選自己信任的得力助手，包括主管生產(chǎn)的副經(jīng)理、總工、質(zhì)檢負(fù)責(zé)人等。這樣的經(jīng)理進場后，以他為核心的項目組會結(jié)合工程施工實際制定施工措施和質(zhì)量管理辦法等，并且能落到實處，保障工程施工建設(shè)得以順利進行。

思路2：利用推論4.2，通過求導(dǎo)函數(shù)，而得到實數(shù)a的值.

點評：思路1利用傳統(tǒng)方法(定理1)，建立恒等式，通過三角恒等變換，得到實數(shù)a的值，思路2利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)對稱性的關(guān)系，問題很容易得到了解決，這就是“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的數(shù)學(xué)文化，這就是“潤物細(xì)無聲”的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng).

例2 求函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖像的對稱中心.

思路1：利用待定系數(shù)法，通過定理2建立恒等式來解決.

解法1：設(shè)對稱中心為點(m,n),由f(m-x)+f(m+x)=2n,得a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d+a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d=2n,化簡得(3am+b)x2+am3+bm2+cm+d=n,要使上式恒成立，

思路2：利用定理3，通過探求導(dǎo)函數(shù)的對稱性，解決原函數(shù)的對稱性.

點評：思路1利用傳統(tǒng)方法(定理2)，建立恒等式，通過多項式的運算和化簡，得到了對稱中心，思路2利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)對稱性的關(guān)系，將三次函數(shù)的對存在性問題轉(zhuǎn)化成了二次函數(shù)的對稱軸問題，這就是“柳暗花明又一村”的數(shù)學(xué)文化，這就是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)(導(dǎo)數(shù))“四兩撥千斤”的價值體現(xiàn),這就是邏輯推理素養(yǎng)與“無形之有形”中的培養(yǎng).

4.考題鏈接

題1 (2017年Ⅱ卷文第13題)函數(shù)f(x)=2cosx+sinx的最大值.

題2 (2018年Ⅰ卷文第6題) 已知函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為( ).

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

解析：由推論3知，二次函數(shù)f′(x)=3x2+2(a-1)x+a為偶函數(shù)，從而得a=1，此時f(x)=x3+x，f′(x)=3x2+1，k=1，所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x，故選D.