以教材為藍本對一道習題的糾錯與思考

江蘇省蘇州第一中學 (215000) 王 耀

筆者在高考復習時，給學生布置了一道習題，遺憾的是這道求最值的小題讓不少同學犯錯，下面筆者針對這道問題開展糾錯工作，并結合教材內容，對問題從多角度分析．現將教學過程以及點滴思考整理成文，與讀者交流，并例舉幾道相似題供讀者品評．

2.問題探究

數學解題是一個嚴謹而細致的過程，需要循序漸進去分析，如果一個細節(jié)沒有把握好，都會導致失誤．筆者羅列了學生的典型錯誤，具體分析過程如下：

2.1 典型錯解分析

這個錯誤容易讓人聯想到2013年全國高考(新課標I理科卷)的一道考題：設當x=θ時，函數f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=.

事實上，在分析無理函數的最值時，首先應進行宏觀分析，運用觀察法，若具有明顯的單調性，那么問題就在很大程度上被簡化了，本題的分析過程也不例外，同樣可以先觀察，再分析，即如下解法：

圖1

評注1：這里要說明的是由上面2013年高考題的分析也可利用求導數的方法求最值或者取值范圍.

分析：在處理動態(tài)范圍的填空題時，數與形之間的轉化也是學生習慣思考的方向，但是必須時刻留意變量的范圍，這種錯誤的根源也是在于非等價轉化，且忽視檢驗造成失誤.針對這種問題，“形”的思路可用下面的解法5或6兩種方法，“數”的運算過程可以用解法7來完善：

圖2

圖3

2.2 其他解法賞析

眾所周知，蘇教版這套教材，跟以前的傳統(tǒng)教材相比，在必修4中，第一章和第三章是三角函數，第二章是向量，這樣的教材設計在證明兩角和與差的余弦公式時，通過構造向量的數量積來證明，既方便快捷，且又能很好地鍛煉學生的數學思維，那么文中研究的這個問題也能采用向量作為研究手段進行.

圖4

教材中，在第126頁上有份閱讀材料介紹萬能代換公式，其本質上即為通過利用二倍角的三角函數公式時，進行“齊次化”轉化，從而可用一個角的正切去表示二倍角的三角函數，這也是平時習題中教材用到的解題思路，充分體現了三角函數公式之間的和諧統(tǒng)一.

評注2：解法9體現了“齊次化”這個數學轉化思維的優(yōu)勢，在處理二元不等式的最值問題時，也通常會采用這樣的轉化策略，從而可進行“減元”操作，即如下解法10.

3 解法運用

眾所周知，會一題而通一類是數學解題的目標. 上文中，對一道習題進行了細致的錯因分析和方法糾錯，體現了不同的解題思維在數學解題中的統(tǒng)一美、和諧美. 同時，筆者也認為，對這道習題的深入思考，可以解決一系列本質相似的問題，例舉幾道試題如下：

(2)若方程|x2-2x-1|-t=0有四個不同的實數根x1,x2,x3,x4，且x1

圖5

4 題后感悟

感悟1 以發(fā)展的眼光看教材

數學解題教學是數學教學工作中的一項艱巨而重要的任務，尤其是面對像高考這種選拔性的考試，高考試題的命制理念之一就是試題源于教材，又要高于課本，顯而易見，高三一輪的復習過程中，應注意盡量不留死角，特別要關注教材，以教材為藍本幫助學生數學建好知識框架，文中研究的這道小題，對數學教學回歸教材、理解數學有著極好的引導作用．具體而言，理解數學要“把書讀薄”，即要明白知識的核心和本質是什么，不同知識結構之間的聯系，對教材內容的結構發(fā)展有著深刻的認識，充分明白數學教材中關鍵知識點之間的相互轉化過程．

因此，在教學中，教師要了解教材中的知識體系結構，深諳個中的關系，善于探究結構的“起源”或“發(fā)生”方法，通過轉換結構達到可理解性，促使學生完善、改良和發(fā)展對結構的認知能力，并自覺地指導和幫助學生認識問題，參悟本質，形成思維；作為求知者，學生要從被動的解題中解放出來，知曉知識的來龍去脈，深究核心知識的數學本質，從而做到了然于心，方能運用自如．

感悟2 用創(chuàng)新的思維看問題

數學問題總是千變萬化，解一題并通一類，是數學解題的終極目標．作為教者，首先要更新觀念，多學習，多思考、多準備，充分做到備教材、備學生、備教法. 具體而言，要想提升解題教學的效果，首先，教師應善于研究學生的思考方式值得仔細研究，它既是學生學習和解決問題的核心要素．本文以一道填空題為切入點，沿著學生的思路引導學生展開思考，探究解法，通過評析問題并解釋清楚其中的方法內涵，讓學生知曉解題思維的切入點、關鍵點，實現試題研究價值的最大化，實乃題目雖小，其容乃大.

再者，教者應善于通過滲透數學思想達到優(yōu)化解題思維的目的，分析一些經典的數學思想方法，讓學生能夠發(fā)現和體會，加強知識的梳理及應用，這樣提高知識運用效率，提升思維品質. 上文中，筆者從多視角切入分析并提供了多種解法，思維方式各不相同，解法也各具特點．這種多角度審視的原則，既能從縱向上追溯教材知識體系的認知與梳理，也能在橫向上加強知識點間的聯系與轉化，對加深對經典數學思想的理解與運用將大有裨益．